雙因素試驗的方差分析

雙因素試驗的方差分析（―）摘要：實際問題中往往要同時考慮兩個因素對試驗指標的影響，此時即使用雙因素方差分析。主要方法為建立合適的假設(shè)，并對分析已有數(shù)據(jù)的各部分方差平方和、自由度、均方，求得F比后利用檢驗方法判斷原假設(shè)是否成立。雙因素試驗的方差分析可分為無重復試驗和等重復試驗兩部分討論，無重復試驗只需檢驗兩個因素對實驗結(jié)果有無顯著影響，等重復試驗還要考慮兩個因素的交互作用對實驗結(jié)果有無顯著影響。（二） 關(guān)鍵詞：雙因素方差分析EXCEL應(yīng)用（三） 弓丨言：在科學試驗和生產(chǎn)實踐中，影響一事物的因素往往是很多的。每一因素的改變都有可能影響產(chǎn)品的數(shù)量和質(zhì)量。有些因素影響較大，有些較小，為了優(yōu)化生產(chǎn)過程，通過進行試驗找出對產(chǎn)品質(zhì)量有顯著影響的那些因素。根據(jù)試驗結(jié)果進行分析，鑒別各個有關(guān)因素對實驗結(jié)果影響的有效方法即為方差分析。本文雙因素方差分析同時考慮兩個因素的影響，涉及因素間的交互作用，在實際生產(chǎn)實踐中較為實用。（四） 算法原理：雙因素方差分析有兩種類型：一個是無交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的效應(yīng)之間是相互獨立的，不存在相互關(guān)系；另一個是有交互作用的雙因素方差分析，它假定因素A和因素B的結(jié)合會產(chǎn)生出一種新的效應(yīng)。（一）雙因素等重復試驗的方差分析設(shè)有兩個因素A，B作用于試驗的指標。因素A有r個水平A,AA,因素B有1 2 rs個水平B,B，…B.現(xiàn)對因素A,B的水平的沒對組合（A,B），1 2 s iji=l,2,...r,j=l,2,...,s都作（t$2）次試驗（稱為等重復試驗），得到如下表的結(jié)果。因素A因素BBiB2BsAiX,X,111112…,X11tX,X,121122…,X12tX,X,1s1 1s2…,X1stA2X,X,211212…,X21tX,X,221222…,X22tX,X,2s1 2s2...,X2stAsX,X,r11 r12…,Xr1tX,X,r21 r22…,Xr2tX,X,rs1 rs2...,Xrst并設(shè)X?N(卩Q2),i二1,2,...,r；j=1,2,...,s；k=1,2,...,t，各X獨立。這里,ijk ij ijk卩,b2均為未知參數(shù)?；?qū)懗蒳jX=卩+8,jkj ijk8?N(0,b2)，各8獨立，ijk ijki=1,2,.??,r；j=1,2,.??,s；引入記號y=—另另p,rs iji=1j=11yy二一乙卩，"Sijj=1卩=-另卩，j=h2，...,sTOC\o"1-5"\h\z?jr iji=1a=y—y，i=1,2,...,ri [?卩=y-y，j=1,2,...,s。j ?j易見另a=0，另B=0.i j匸=1,2,...,r;=1,2,...,r;j=1,2,...,s.稱y為總平均，稱a為水平A的效應(yīng)，稱卩為水平B的效應(yīng)。這樣可將y表I I j j ij示成y=y+a+B+(y—y—y+y),ij ijij i??ji己 Y=卩-卩-卩+卩,i=1,2,...,r,j=1,2,...,s,TOC\o"1-5"\h\zij ij i? ?j此時H二y+a+P+y.ij ij ijY稱為水平A和水平B的交互效應(yīng)，這是由A,B搭配起來聯(lián)合其作用而引ij i j ij起的。易見f丫=0,j=1,2,...,s，iji=1另Y=0,i=1,2,...,r.ijj=1這樣(2.1)可寫成X=y+a+P+y+￡，ijk ijijijk￡?N(0,b2)，各￡獨立，ijk ijki=1,2,...,r；j=1,2,...,s；k=1,2,...,t，丈a=0，fp=0，丈Y=0，fy=0.TOC\o"1-5"\h\zi j ij iji=1 j=1 i=1 j=1其中y，a，P,y及b2都是未知參數(shù)。ij ij(2.5)式就是我們所要研究的雙因素試驗方差分析的數(shù)學模型。對于該模型我們要檢驗三個假設(shè)：H:a=a二.??二a=0，01 1 2 rH:a，a，...，a不全為零，1 2 rH:p=p二…二P=0,02 1 2 sH:p,pP不全為零，1 2 sH:y=y二.??二Y=0，03 1 2 rsH:y，Y，...，Y不全為零.1 2 rs平方和的分解：X=丄另ffx，rst jkX二-￡X,i=1,2,...,r；j=1,2,...,s;ij? tijkk=1色販=+Xijk,i=1,2,…,r'j=1k=1X.=丄另Yx,j=1,2,...,s;?.?rt ijki=1k=1再引入總偏差平方和(稱為總變差)s=另乞工（x-X）2T ijki=1j=1k=1TOC\o"1-5"\h\z￡￡￡［（x—X..）+（x—x）+（X.-X）+（X..-X-X+X）］2ijk ij■ i\ ?j. / 1J? 1.. ?j?i=1j=1k=1￡￡￡（x—X）2+st￡（x—x）2+rt￡（x—X）2ijk ij. i?? ?j?i=1j=1k=1 i=1 j=1+1￡￡（x-x-x+x）2ij.i” ?j?i=1j=1即得平方和的分解式S=S+S+S+S,TEABAxB其中 s=￡￡￡（x—x）2,TOC\o"1-5"\h\zE ijk ij.i=1j=1k=1s=st￡（x —x）2,A i??i=1S=rt￡（X—X）2,B ?j?j=1s=t￡￡(x-x-x+x)2.AxB IJ* w ?j?i=1j=1S稱為誤差平方和，S,S分別稱為因素A、因素B的效應(yīng)平方和，S稱為E A B AxBA，B交互效應(yīng)平方和?？梢宰C明S八SESA,SB,SAxB的自由度依次為rst—1，rs(t—1)，r—1，s—1，（r—1）（s—1），且有

SE(亦))=52,54)st￡a2SE(上」)=62+—i (2.15)r一1 r一1rt￡卩2-j-，(2.16)s-1tY2ijE((r-1)(s-1))=62+ iE((r-1)(s-1)(r-1)(s-1)當Ha=a= =a=0為真時，可以證明01: 1 2 r(2.18)S/(r一1)(2.18)F=A~F(r-1,rs(t-1)).AS/(rs(t-1))E取顯著性水平為a，得假設(shè)H的拒絕域為01F= F= 'Fa(r-1，心一1)).E(2.19)類似的，在顯著性水平a下，假設(shè)H的拒絕域為02(2.20)FB=Sn^'Fa(s-1，噸-1)).(2.20)E在顯著性水平a下，假設(shè)H的拒絕域為03(2.21)F=沐B/((r一1)(s-D)>F((r-1)(s-1),rs(t-1)).AxB S/(rs(t-1))(2.21)E上述結(jié)果可匯總成下列的方差分析表：表9-9雙因素試驗的方差分析表方差來源方差和自由度均方F比因素ASAr一1SSA=r-1FSFA=亍E

因素BSBs—1SSSB=十s-1FS役=亍E父互作用SAxB(r-1)(s-1)S =丄》T2 T2Asti"i=1SAxB=(r-1)(s-1)F SAxB=E誤差SErs(t一1)S SS —E-=rs(t-1)總和STrst一1T...=工工》Xjk,i=1j=1k=1Tij-=￡Xijk,i=1,2，?…,r;j=1,2，?…,s,k=1Ti?.=工工Xj, i=1,2,…,rj=1k=1T?j-=^ Xk,j=】2…，s.i=1k=1我們可以按照下述（2.22）式來計算上表中的各個平方和.S=工藝Kx2-仝,t ijkrstS=1工T2Brt-j-S=1工T2Brt-j-j=1-T2rst5(2.22)S=AxB(1血sT2-ti=1j=1T)-S-S,ijrstABS=S-S-S-SETAB AxB.（二）雙因素無重復試驗的方差分析因 素A因素BB1B2???BsA1X11X12???X1sA2X21X22???X2sArXr1Xr2???Xrs并設(shè)XN(卩,o2),ijij ij各X獨立，i=l,2,...,r；j=l,2,...,s,其中,o2均為未知參數(shù)。或?qū)懗蒵X=卩+8,i=1,2,...,r；ij ijijj=1,2,???,s,8~N(0,o2),ij各8獨立.ij沿用(一)中的記號，注意到現(xiàn)在假設(shè)不存在交互作用，此時Y=0,i=1,2,...,ijr；j=1,2,???，s.故由卩=|n+a+B+y知卩=卩+a+B.于是上式可與成ij ijij ij ijX=|Li+a+B+8,ij ij ij8~N(0,o2),各8獨立，ijiji—1,2,???,r；j—1,2,???,s,工a二0,工B二0.ijTOC\o"1-5"\h\zi=1 j=1這就是現(xiàn)在要研究的方差分析的模型。對這個模型我們所要檢驗的假設(shè)有以下兩個：H:a=a=…=a=0,01 1 2 rH:a,a，…,a不全為零.1 2 rh:B=B=…=B=0,02 1 2 s

H:p,p，…,p不全為零.12 1 2 s與在（一）中同樣的討論可得方差分析表如下:方差來源平方和自由度均方F比因素ASAr一1S SS=—a—Ar—1F=S/SA A E因素BSBs—1S=+Bs—1F=S/SB B E誤差SE(r—1)(s-1)S=SEE(r—1)(s-1)總和STrs—1取顯著性水平為?，得假設(shè)H:a=a=…二a二0的拒絕域為01 1 2 rF二￡a>F(r-1(-1)C-1))ASaE假設(shè)H:p=p=...=p=0的拒絕域為02 1 2 sF二￡b>F(s-1(-1)(s-1))BSaE上表中的平方和可按下述式子來計算：其中，T其中，T二工工X,- iji=1j=1T=工X,i=1,2,...,r,i ijj=1-j -j ijj=1,2,???,s,S-工乞X2T2Tiji=1j=1rsS=1D2-T2As Li=1rsS=1工T2-T2，Br ?jj=1rs（五）例題：在某種金屬材料的生產(chǎn)過程中，對熱處理溫度（因素B）與時間（因素A）各取兩個水平，產(chǎn)品強度的測定結(jié)果（相對值）如下表所示。在同一條件下每個試驗重復兩次。設(shè)各水平搭配下強度的總體服從正態(tài)分布且方差相同。各樣本獨立。問熱處理溫度、時間以及這兩者的交互作用對產(chǎn)品強度是否有顯著地影響（取a=0.05）?ABB1B2Ti??A138.047.0(76.6)168.438.6(91.8)44.8A245.042.4(88.8)17243.8(83.2)40.8T?j?165.4175340.4解：按題意需檢驗假設(shè)H:a=a二.??二a=0，TOC\o"1-5"\h\z01 1 2 rH:a，a，...，a不全為零，1 2 rH:p=p二…二卩=0,02 1 2 sH:p,pP不全為零，1 2 sH:丫二y二.??二丫=0，03 1 2 rsH:y，y，...，y不全為零.1 2 rs作計算如下：34042S=(38.02+38血+...+40.82)-―—=71.82,T8

1 34042S=—(168.42+1722)-——=1.62,A4 8— 34042SB=4(—65-42+—752)-亍=—1-52,S 二14551.24-14484.02-1.62-11.52二54.0&AxBS二S-S-S-S二71.82-1.62-11.52-54.08二4.6.ETAB AxB的方差分析表如下：方差來源平方和自由度均方F比因素A1.6211.62F=1.4A因素B11.52111.52F=10.0BAxB54.08154.08F=47.0AxB誤差4.641.15總和71.827由于F（1,4）二7.71，所以認為時間對強度的影響不顯著，而溫度的影響顯著,0.05且交互作用的影響顯著。（六）實驗分析:例溫度（因素B）10C24C38C52C濃度2%14 1011111391012（因4%97108711610素A)6%51113 1412 1314 10試在顯著性水平a=0.05下檢驗：在不同濃度下得率的均值是否有顯著差異，在不同溫度下得率的均值是否有顯著差異，交互作用的效益是否顯著。方差分析：可重復雙因素分析SUMMAR10°C24°C38C52C總計0.02觀測數(shù)22228求和2422222290平均1211111111.252.78571428方差808260.04觀測數(shù)22228求和1618181668平均89988.53.14285714方差228830.06觀測數(shù)22228求和1627252492平均813.512.51211.58.85714285方差180.50.587總計觀測數(shù)6666求和566765629.:333333