數(shù)學文化解析幾何的產(chǎn)生

數(shù)學文化解析幾何的產(chǎn)生第1頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六解析幾何解析幾何產(chǎn)生的歷史解析幾何的基本思想解析幾何的發(fā)展解析幾何的產(chǎn)生對數(shù)學發(fā)展的影響解析幾何的應用解析幾何的基本內(nèi)容幾何學的起源第2頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六幾何學的起源幾何學的起源也十分久遠，它產(chǎn)生于早期人類的社會實踐，從人類對實物形狀的認識開始。而促進幾何學產(chǎn)生的直接原因與土地測量與天文活動有關。今天的“幾何”（Geometry）一詞，源于希臘語，本意是指測量術。早期文明中的幾何學內(nèi)容基本都是與幾何形體的度量計算以及測量有關。第3頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六解析幾何產(chǎn)生的歷史十六世紀以后，由于生產(chǎn)和科學技術的發(fā)展，天文、力學、航海等方面都對幾何學提出了新的需要。比如，德國天文學家開普勒發(fā)現(xiàn)行星是繞著太陽沿著橢圓軌道運行的，太陽處在這個橢圓的一個焦點上；意大利科學家伽利略發(fā)現(xiàn)投擲物體是沿著拋物線運動的。這些發(fā)現(xiàn)都涉及到圓錐曲線，要研究這些比較復雜的曲線，原先的一套方法顯然已經(jīng)不適應了，這就導致了解析幾何的出現(xiàn)。第4頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六

笛卡爾1637年，法國的哲學家和數(shù)學家笛卡爾發(fā)表了他的著作《方法論》，這本書的后面有三篇附錄，一篇叫《折光學》，一篇叫《流星學》，一篇叫《幾何學》。笛卡爾的中心思想是建立起一種“普遍”的數(shù)學，把算術、代數(shù)、幾何統(tǒng)一起來。第5頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六費爾瑪雖是一位業(yè)余數(shù)學家，在牛頓、萊布尼茲大體完成微積分之前，他是為創(chuàng)立微積分作出貢獻最多的人．對數(shù)論、解析幾何、概率論三個方面都有重要貢獻。第6頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六解析幾何的基本思想笛卡爾從天文和地理的經(jīng)緯制度出發(fā)，指出平面上的點和實數(shù)對(x,y)的對應關系。x,y的不同數(shù)值可以確定平面上許多不同的點，這樣就可以用代數(shù)的方法研究曲線的性質(zhì)。這就是解析幾何的基本思想。具體地說，平面解析幾何的基本思想有兩個要點：第一，在平面建立坐標系，一點的坐標與一組有序的實數(shù)對相對應；第二，在平面上建立了坐標系后，平面上的一條曲線就可由帶兩個變數(shù)的一個代數(shù)方程來表示了。第7頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六解析幾何的基本內(nèi)容坐標系解析法變量數(shù)學的時期學習用品中的圓錐曲線第8頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六解析幾何的發(fā)展歐幾里得幾何非歐幾何坐標幾何群的概念幾何局部化幾何整體化第9頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六歐幾里得幾何

歐幾里得在公元前300年左右寫了《幾何原本》。它的主要結(jié)論有兩個:

(1)畢達哥拉斯定理這條定理就是我們常說的勾股定理:設有一直角三角形，則長邊的平方等于其它兩邊的平方和。

(2)三角形三內(nèi)角之和等于180°如果以弧度為單位，也可以說三角形三內(nèi)角之和等于π。

第10頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六非歐幾何從三角形三內(nèi)角之和等于180°這個結(jié)論，而有接下來的重要發(fā)展:

(1)球面幾何我們所討論的三角形，并不一定都要在平面上，也可以是一個球面三角形，在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和必然大于180°，并且有一個非常重要的公式:

A+B+C-π=S/R2(2)雙曲型的非歐幾何在這種情形下，三角形三內(nèi)角之和是小于180°的，即有如下的重要公式:

A+B+C-π=-S/R2

在空間或者“平面”的曲率，可以是正的，像球面幾何；也可以是負的，像雙曲幾何。而其相對應的三角形三內(nèi)角和，也分別有大于或小于180°的情形，不再滿足歐幾里得的平行公理，因此它們也被稱作“非歐幾何”。第11頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六坐標幾何歐幾里得幾何之后，第二個重要的發(fā)展是坐標幾何。有了解析幾何，即可用解析的方法進行幾何學的討論。這樣的發(fā)展不但使幾何問題的處理容易些，而且更有其重大的意義:

(1)解析化之后，可擴大所研究的圖形的范圍。

(2)研究的圖形不再局限在二維的平面上，而可推廣至高維空間。第12頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六群的概念第三個發(fā)展是群的概念，這是數(shù)學上一個基本的結(jié)構(gòu)。數(shù)學總是要運算，加、減、乘、除。要把一個物體從甲地移到乙地，再移到丙地，亦可直接把物體從甲地移到丙地，即兩個運動的結(jié)果，可經(jīng)由一次運動來達成；具有這個特殊性質(zhì)的，便稱為一個群，幾何學研究的對象，應是經(jīng)運動群變換后不變的幾何性質(zhì)。研究幾何性質(zhì)在投影群變換之下不變的是投影幾何。第13頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六在幾何學的發(fā)展之中，有許許多多不同的幾何學，像歐幾里得幾何學、投影幾何學……及其他種種幾何學，自然就要有一個人把它綜合集結(jié)起來，他就是德國的數(shù)學家克萊因?？巳R因把幾何學建立在群的觀念上:一個空間有一個變換群，允許把空間的圖形從這個位置移到另一個位置；因此有了一個群之后，便有一種幾何，研究經(jīng)過這個變換群變換之后保持不變的所有圖形的幾何性質(zhì)。第14頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六幾何局部化黎曼所創(chuàng)立的幾何把幾何局部化，可以說是幾何學的第四個發(fā)展，這是笛卡爾坐標幾何的自然推廣。1854年，黎曼在為取得大學教授資格的公開演講上，發(fā)表了關于黎曼幾何的第一篇論文。真正使黎曼幾何受到重視的是愛因斯坦的廣義相對論。第15頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六幾何整體化

黎曼幾何把幾何局部化，但我們不能永遠只在一個小區(qū)域里面，所以局部化之后又要整體化，又要把它擴充到全空間。幾何整體化可說是幾何學的第五個發(fā)展。而在這個整體化的擴充中，最要緊的就是拓撲學，即俞大維先生說的“橡皮幾何學”。大家覺得微分幾何應該是很有用的，因為在物理學發(fā)展之中，電磁學對人類日常生活是最有影響的；而在遺傳工程及其他方面，DNA的結(jié)構(gòu)也是生物科學對人類生活最有影響的一門學問。而微分幾何就是研究這兩門學問的數(shù)學基礎。第16頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六

談到微分幾何，人們經(jīng)常會想到陳省身先生，會提到楊振寧先生贈陳省身先生的一首詩:

天衣豈無縫，匠心剪接成。渾然歸一體。廣邃妙絕倫。造化愛幾何，四力纖維能。千古寸心事，歐高黎嘉陳。第17頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六幾何原本

《幾何原本》（TheElements）由希臘數(shù)學家歐幾里得（Euclid，公元前330年～公元前275年）所著。《幾何原本》采用了前所未有的獨特編寫方式，先提出公理、公設、定義，然后由簡到繁證明一系列定理。對這本書英國的數(shù)學家羅素在《西方哲學史》中是這樣評價的：歐幾里得的《（幾何）原本》毫無疑義是古往今來最偉大的著作之一，是希臘理智最完美的紀念碑之一。它敘述并證明了幾千年來人類有關點、線、圓和一些簡單的立體幾何知識，全書共13卷。

第18頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六

《幾何原本》是數(shù)學史上的一個偉大的里程碑，問世以來，受到廣泛的重視與傳播，除《圣經(jīng)》之外，沒有任何一本著作，其使用、研究與印行之廣泛能與《幾何原本》相比。因此，有人稱《幾何原本》為數(shù)學的《圣經(jīng)》。它的偉大意義在于，它第一次全面系統(tǒng)地總結(jié)了古希臘的數(shù)學知識，而且是用公理法建立起來的數(shù)學演繹體系的最早的典范。它不僅影響到數(shù)學，還有哲學等在內(nèi)的許多論著也采取此法。第19頁，共21頁，2023年，2月20日，星期六解析幾何的應用

解析幾何又分作平面解析幾何和空間解析幾何。解析幾何運用坐標法可以解決兩類基本問題：一類是滿足給定條件點的軌跡，通過坐標系建立它的方程；另一類是通過方程的討論，