數(shù)值計(jì)算方法地學(xué)

數(shù)值計(jì)算方法地學(xué)第1頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所謂函數(shù)逼近是求一個(gè)簡(jiǎn)單的函數(shù),例如是一個(gè)低次多項(xiàng)式,不要求通過(guò)已知的這n＋1個(gè)點(diǎn),而是要求在整體上“盡量好”的逼近原函數(shù)。這時(shí),在每個(gè)已知點(diǎn)上就會(huì)有誤差,函數(shù)逼近就是從整體上使誤差盡量的小一些。2.數(shù)學(xué)描述“對(duì)函數(shù)類(lèi)A中給定的函數(shù)，要求在另一類(lèi)較簡(jiǎn)單的便于計(jì)算的函數(shù)類(lèi)B中，求函數(shù)，使與之差在某種度量意義下最小。”第2頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第3頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六函數(shù)類(lèi)A通常是區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)，記作；函數(shù)類(lèi)B通常是代數(shù)多項(xiàng)式，分式有理函數(shù)或三角多項(xiàng)式。區(qū)間上的所有實(shí)連續(xù)函數(shù)組成一個(gè)空間，記作。的范數(shù)定義為:稱(chēng)其為—范數(shù)，它滿(mǎn)足范數(shù)的三個(gè)性質(zhì)：

I），當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)才有；

II）對(duì)任意成立，為任意實(shí)數(shù)；

III）對(duì)任意，有

第4頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六度量標(biāo)準(zhǔn)最常用的有兩種，一種是在這種度量意義下的函數(shù)逼近稱(chēng)為一致逼近或均勻逼近；

另一種度量標(biāo)準(zhǔn)是

用這種度量的函數(shù)逼近稱(chēng)為均方逼近或平方逼近。這里符號(hào)及是范數(shù)。本章主要研究在這兩種度量標(biāo)準(zhǔn)下用代數(shù)多項(xiàng)式逼近。第5頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3.維爾斯特拉斯定理用一致逼近,首先要解決存在性問(wèn)題，即對(duì)上的連續(xù)函數(shù),是否存在多項(xiàng)式一致收斂于？維爾斯特拉斯（Weierstrass）給出了下面定理：定理1設(shè)，則對(duì)任何,總存在一個(gè)代數(shù)多項(xiàng)式，使在上一致成立。

證明：略。（伯恩斯坦構(gòu)造性證明）

第6頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六假定函數(shù)的定義區(qū)間是[0,1],可通過(guò)線性代換:

把映射到。對(duì)給定的，構(gòu)造伯恩斯坦多項(xiàng)式,此為n次多項(xiàng)式:其中，且

這不但證明了定理1，而且給出了的一個(gè)逼近多項(xiàng)式。多項(xiàng)式有良好的逼近性質(zhì)，但它收斂太慢，比三次樣條逼近效果差得多，實(shí)際中很少被使用。

第7頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§2最佳一致逼近多項(xiàng)式

2-1最佳一致逼近多項(xiàng)式的存在性切比雪夫從另一觀點(diǎn)研究一致逼近問(wèn)題，他不讓多項(xiàng)式次數(shù)n趨于無(wú)窮，而是固定n，記次數(shù)小于等于n的多項(xiàng)式集合為,顯然。記是上一組線性無(wú)關(guān)的函數(shù)組，是中的一組基。中的元素可表示為其中為任意實(shí)數(shù)。要在中求逼近，使其誤差第8頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

這就是通常所謂最佳一致逼近或切比雪夫逼近問(wèn)題。

第9頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為了說(shuō)明這一概念，先給出以下定義。定義1，稱(chēng)為在上的偏差。

顯然的全體組成一個(gè)集合，記為,它有下界0。若記集合的下確界為則稱(chēng)之為在上最小偏差。第10頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定義2假定，若存在則稱(chēng)是在上的最佳一致逼近多項(xiàng)式或最小偏差逼近多項(xiàng)式，簡(jiǎn)稱(chēng)最佳逼近多項(xiàng)式。注意，定義并未說(shuō)明最佳逼近多項(xiàng)式是否存在，但可證明下面的存在定理。

定理2若,則總存在，使.證明略。第11頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2-2切比雪夫定理為研究最佳逼近多項(xiàng)式的特性，先引進(jìn)偏差點(diǎn)定義。

定義3設(shè)，若在上有則稱(chēng)是的偏差點(diǎn)。若，稱(chēng)為“正”偏差點(diǎn)。

若，稱(chēng)為“負(fù)”偏差點(diǎn)。由于函數(shù)在上連續(xù)，因此,至少存在一個(gè)點(diǎn)，使第12頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六也就是說(shuō)的偏差點(diǎn)總是存在的。下面討論最佳逼近多項(xiàng)式的偏差點(diǎn)性質(zhì)。第13頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理3若是的最佳逼近多項(xiàng)式，則同時(shí)存在正負(fù)偏差點(diǎn)。證明:因是的最佳逼近多項(xiàng)式，故。由于在上總有偏差點(diǎn)存在,用反證法，無(wú)妨假定只有正偏差點(diǎn)，沒(méi)有負(fù)偏差點(diǎn)，于是對(duì)一切都有因在上連續(xù)，故有最小值大于，用表示，其中。于是對(duì)一切都有第14頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六故

，

即

.

它表示多項(xiàng)式與的偏差小于

,與是最小偏差的定義矛盾。同樣可證明只有負(fù)偏差點(diǎn)沒(méi)有正偏差點(diǎn)也是不成立的。

定理得證。

第15頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六下面給出反映最佳逼近多項(xiàng)式特征的切比雪夫定理。

定理4.是的最佳逼近多項(xiàng)式的充分必要條件是在上至少有n+2個(gè)輪流為“正”、“負(fù)”的偏差點(diǎn)，即有n+2個(gè)點(diǎn)，使，使

這樣的點(diǎn)組稱(chēng)為切比雪夫交錯(cuò)點(diǎn)組。

證明:只證充分性。假定在上有n+2個(gè)點(diǎn)使上式成立。要證明是在上的最佳逼近多項(xiàng)式。用反證法，若存在

第16頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六在點(diǎn)上的符號(hào)與一致，故也在n+2個(gè)點(diǎn)上輪流取“+”、“－”號(hào)。由連續(xù)函數(shù)性質(zhì)，它在內(nèi)有n+1個(gè)零點(diǎn)。但因是不超過(guò)n次的多項(xiàng)式，它的零點(diǎn)不超過(guò)n。這矛盾說(shuō)明假設(shè)不對(duì)，故就是所求最佳逼近多項(xiàng)式。充分性得證。必要性證明較繁，思想類(lèi)似定理3，此處略.

第17頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理4說(shuō)明用逼近的誤差曲線是均勻分布的。由這定理可得以下重要推論。推論1若,則在中存在唯一的最佳逼近多項(xiàng)式。推論2若，則其最佳逼近多項(xiàng)式就是的一個(gè)拉格朗日插值多項(xiàng)式。證明

由定理4可知，在上要么恒為0，要么有n+2個(gè)輪流取“正”、“負(fù)”的偏差點(diǎn)，于是存在n+1個(gè)點(diǎn)，使。第18頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六以為插值節(jié)點(diǎn)的拉格朗日插值多項(xiàng)式就是。第19頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2-3最佳一次逼近多項(xiàng)式定理4給出了最佳逼近多項(xiàng)式的特性，但要求出卻相當(dāng)困難。下面先討論n=1的情形。假定，且在內(nèi)不變號(hào)，求最佳一次逼近多項(xiàng)式。根據(jù)定理4可知至少有3個(gè)點(diǎn)，使第20頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第21頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六代入方程2，得這就得到最佳一次逼近多項(xiàng)式。幾何意義。第22頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第23頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第24頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六最佳一致逼近多項(xiàng)式定理4.充分必要條件是至少有n+2個(gè)輪流為“正”、“負(fù)”的偏差點(diǎn)第25頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§3函數(shù)平方逼近用均方誤差最小作為度量標(biāo)準(zhǔn)，研究函數(shù)的逼近多項(xiàng)式，就是最佳平方逼近問(wèn)題。若存在，使

就是在上的最佳平方逼近多項(xiàng)式.第26頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第27頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由于是關(guān)于的二次函數(shù)，利用多元函數(shù)求極值的必要條件于是有

(內(nèi)積定義)第28頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這是關(guān)于的線性方程組，稱(chēng)為法方程，由于線性無(wú)關(guān)，故系數(shù)行列式，于是此方程組有唯一解，從而得到第29頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六定理5.在上線性無(wú)關(guān)的充分必要條件是它的克來(lái)姆（Gramer）行列式，其中證：在上線性無(wú)關(guān)，則由方程

知

第30頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六將此方程兩邊分別乘以之后再積分，便得到下列方程組：即

此齊次方程組只有零解，故其系數(shù)行列式的值一定不為0，即。反之，若，同樣對(duì)可經(jīng)過(guò)適當(dāng)變換得到在上線性無(wú)關(guān)。證畢第31頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六證明為最佳平方逼近函數(shù),即對(duì)任何，有

為此只考慮第32頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由于的系數(shù)是方程的解，故從而上式第二個(gè)積分為0，于是這就證明了是在中的最佳平方逼近函數(shù)。

第33頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若令，則平方誤差為由于

所以第34頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六若取，則要在中求n次最佳平方逼近多項(xiàng)式

若用H表示對(duì)應(yīng)的矩陣，即第35頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六此為希爾伯特（Hilbert）矩陣，記，則的解即為所求。

第36頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例:設(shè)，求[0,1]上的一次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解:利用公式得

方程組為解出

第37頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六平方誤差最大誤差

用做基，求最佳平方逼近多項(xiàng)式，當(dāng)n較大時(shí)，系數(shù)矩陣是高度病態(tài)的，求法方程的解，舍入誤差很大，這時(shí)要用正交多項(xiàng)式做基，才能求得最小平方逼近多項(xiàng)式。第38頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六§4正交多項(xiàng)式若首項(xiàng)系數(shù)的n次多項(xiàng)式,滿(mǎn)足就稱(chēng)多項(xiàng)式序列，在[a,b]上帶權(quán)正交，并稱(chēng)是[a,b]上帶權(quán)的n次正交多項(xiàng)式。

第39頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六構(gòu)造正交多項(xiàng)式的格拉姆－施密特（Gram-Schmidt）方法定理：按以下方式定義的多項(xiàng)式集合是區(qū)間[a,b]上關(guān)于權(quán)函數(shù)的正交函數(shù)族。

第40頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：求在［0，1］上的二次最佳平方逼近多項(xiàng)式。解：

構(gòu)造正交多項(xiàng)式

第41頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第42頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六最佳一致逼近:最佳平方逼近第43頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4-1勒讓德多項(xiàng)式當(dāng)區(qū)間為［－1,1］，權(quán)函數(shù)時(shí)，由正交化得到的多項(xiàng)式就稱(chēng)為勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式，并用表示。是n次多項(xiàng)式，對(duì)其n次求導(dǎo)后得第44頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六首項(xiàng)的系數(shù)

顯然最高項(xiàng)系數(shù)為1的勒讓德多項(xiàng)式為

第45頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六勒讓德(Legendre)多項(xiàng)式具體表達(dá)式為第46頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)1正交性證明：反復(fù)用分部積分公式，略。

性質(zhì)2奇偶性n為偶數(shù)時(shí)為偶函數(shù)，n為奇數(shù)時(shí)為奇函數(shù)。

性質(zhì)3遞推關(guān)系證明略。

第47頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)4在所有最高項(xiàng)系數(shù)為1的n次多項(xiàng)式中，勒讓德多項(xiàng)式在［－1，1］上與零的平方誤差最小。證：設(shè)是任意一個(gè)最高項(xiàng)系數(shù)為1的多項(xiàng)式，可表示為于是

證畢。性質(zhì)5在區(qū)間［－1，1］內(nèi)有n個(gè)不同的實(shí)零點(diǎn)。

第48頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4-2第一類(lèi)切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式

當(dāng)區(qū)間為[-1,1]，權(quán)函數(shù)時(shí)，由序列正交化得到的正交多項(xiàng)式就是第一類(lèi)切比雪夫（Chebyshev）多項(xiàng)式。它可表示為若令當(dāng)在[-1,1]上變化時(shí)，對(duì)應(yīng)的在［0，π］上變化，其可改寫(xiě)成第49頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六具體表達(dá)式為是首項(xiàng)系數(shù)為的n次多項(xiàng)式。第50頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)1遞推關(guān)系這只要由三角恒等式

性質(zhì)2最高項(xiàng)系數(shù)為1的對(duì)零的偏差最小。即在區(qū)間[-1,1]上所有最高項(xiàng)系數(shù)為1的一切n次多項(xiàng)式中，與零的偏差最小，偏差為其

第51頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第52頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六例：求在[-1,1]上的最佳2次逼近多項(xiàng)式。解：最佳逼近多項(xiàng)式應(yīng)滿(mǎn)足由性質(zhì)2知，當(dāng)即時(shí)，與零偏差最小，故就是在［-1,1］上的最佳2次逼近多項(xiàng)式。第53頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)3切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)正交，且第54頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六性質(zhì)4只含的偶次冪，只含的奇次冪.

性質(zhì)5在區(qū)間［-1，1］上有個(gè)n零點(diǎn)第55頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六可用的線性組合表示，其公式為具體表達(dá)式為

第56頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4-3其他常用的正交多項(xiàng)式

一般說(shuō)，如果區(qū)間[-1,1]及權(quán)函數(shù)不同,則得到的正交多項(xiàng)式也不同。除上述兩種最重要的正交多項(xiàng)式外，下面再給出三種較常用的正交多項(xiàng)式。1、第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式在區(qū)間[-1,1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為第二類(lèi)切比雪夫多項(xiàng)式，其表達(dá)式為第57頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六由，可得即是[-1,1]上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式族，還可得到遞推關(guān)系式第58頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2.拉蓋爾多項(xiàng)式

在區(qū)間上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為拉蓋爾（Laguerre）多項(xiàng)式，其表達(dá)式為

它也具有正交性質(zhì)

和遞推關(guān)系第59頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

3、埃爾米特多項(xiàng)式在區(qū)間上帶權(quán)的正交多項(xiàng)式稱(chēng)為埃爾米特（Hermite）多項(xiàng)式，其表達(dá)式為它滿(mǎn)足正交關(guān)系并有遞推關(guān)系第60頁(yè)，共69頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4-4函數(shù)按正交多項(xiàng)式展開(kāi)設(shè)，用正交多項(xiàng)式作基，求最佳平方逼近多項(xiàng)式由的正交