數(shù)學(xué)建模食堂排隊(duì)問題

數(shù)學(xué)建模食堂排隊(duì)問題第1頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六引言

在學(xué)校，我們常?？梢钥吹竭@樣的情景：下課后，許多同學(xué)爭(zhēng)相跑向食堂去買飯，為數(shù)不多的食堂窗口前很快就排滿了長(zhǎng)長(zhǎng)的隊(duì)伍。所以增加窗口數(shù)量，減少排隊(duì)等待時(shí)間，是同學(xué)們十分關(guān)心的問題。然而就食堂角度來看，雖然可以贏得更多同學(xué)到該食堂來就餐。但同時(shí)也會(huì)增加食堂的運(yùn)營(yíng)成本。因此，我們將根據(jù)綜合食堂中午的擁擠狀況建立數(shù)學(xué)模型，為其擁擠狀況找到一個(gè)比較合理的解決方案。第2頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六摘要首先，我們分析了一些調(diào)查數(shù)據(jù)，發(fā)現(xiàn)學(xué)生流符合泊松分布，服務(wù)時(shí)間符合指數(shù)分布，由此，我們的模型就變成了排隊(duì)理論模型。根據(jù)模型求解得到的數(shù)據(jù)，我們對(duì)模型分析后發(fā)現(xiàn)，解決本模型的關(guān)鍵就在于分析學(xué)生平均排隊(duì)時(shí)間，如果對(duì)其窗口數(shù)進(jìn)行關(guān)系擬合，就兩者之間的關(guān)系進(jìn)行分析。針對(duì)窗口數(shù)與顧客平均排隊(duì)時(shí)間之間的關(guān)系，比較增加窗口后成本的增加量與減少排隊(duì)等待時(shí)間所帶來的收益之間的關(guān)系。第3頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型的建立與分析我們假設(shè)食堂的座位數(shù)是足夠的，不需要添加新的桌椅。所以解決食堂擁擠狀況，主要解決排長(zhǎng)隊(duì)的問題。就此問題建立模型，進(jìn)行分析。食堂窗口與就餐人員之間是服務(wù)機(jī)構(gòu)與顧客的關(guān)系,可以按如下示意圖表示等待服務(wù)顧客接受服務(wù)到達(dá)排隊(duì)規(guī)則服務(wù)時(shí)間服務(wù)系統(tǒng)離開第4頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

我們假設(shè)學(xué)生到食堂就餐的時(shí)刻是隨機(jī)的,用N(t)表示[0,t)時(shí)間內(nèi)到達(dá)該服務(wù)系統(tǒng)的顧客數(shù),用V(n)表示第n位顧客所需的服務(wù)時(shí)間,則有隨機(jī)變量{V(n),n=1,2,…}.

因此,由排隊(duì)論的有關(guān)知識(shí),t時(shí)刻到達(dá)服務(wù)系統(tǒng)的人數(shù)為k的概率為:

P(N(t)=k)=,k=1,2…,其中λ＞0,

第n位顧客所需的服務(wù)時(shí)間不超過t的概率服從負(fù)指數(shù)分布:P(V(n)≤t)=其中μ＞0.第5頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六為了使模型便于求解,我們假定：

每個(gè)工作人員的打飯效率相同。每個(gè)窗口的飯菜相同。食堂打飯服務(wù)系統(tǒng)的容量無(wú)限,來到食堂就餐的學(xué)生不會(huì)在未打好飯之前離去.

這樣,得到一個(gè)輸入過程為最簡(jiǎn)單流,服務(wù)時(shí)間為負(fù)指數(shù)分布,1個(gè)服務(wù)臺(tái),系統(tǒng)容量無(wú)限,顧客數(shù)無(wú)限的等待制排隊(duì)模型.第6頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六這里,對(duì)有關(guān)符號(hào)的數(shù)量指標(biāo)加以說明:λ——單位時(shí)間內(nèi)平均到達(dá)的顧客數(shù),即平均到達(dá)率;μ——單位時(shí)間內(nèi)受到服務(wù)的顧客數(shù),即平均服務(wù)率;1/μ——每位顧客的平均服務(wù)時(shí)間;Lq——等待隊(duì)長(zhǎng)的期望值;Wq——等待時(shí)間的期望值.第7頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六模型求解假設(shè)食堂有4個(gè)服務(wù)窗口,對(duì)該食堂進(jìn)行討論.在12:00至12:40之間,每4分鐘為1個(gè)時(shí)段,統(tǒng)計(jì)到達(dá)人數(shù),如下表.求得平均到達(dá)率為:λ=(68+93+105+118+134+147+136+113+89+47)/(10×4×4)=5.94(人/分鐘)第8頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六相應(yīng)地,對(duì)50名顧客接受服務(wù)的時(shí)間進(jìn)行統(tǒng)計(jì),得到下表.1/μ=(2×2.5+35×7.5+8×12.5+3×17.5+1×22.5+1×27.5)/(50×60)=9.42（秒）=0.157(分鐘)求得平均服務(wù)時(shí)間為:所以平均服務(wù)率為:μ=6.37(顧客/分鐘)第9頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六結(jié)果分析上述模型求出的平均服務(wù)時(shí)間為9.4秒,這與實(shí)際情況大體吻合;等待隊(duì)長(zhǎng)的期望值為12.88顧客,明顯偏長(zhǎng),但實(shí)際上,高峰期往往排隊(duì)會(huì)更長(zhǎng)些,這主要是因?yàn)樵诟叻迤?用餐人數(shù)比閑時(shí)明顯增多(如下圖所示),且持續(xù)時(shí)間較長(zhǎng);相應(yīng)地,現(xiàn)實(shí)中高峰期的等待時(shí)間也比求得的平均等待時(shí)間(2.17分鐘)要久.第10頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六時(shí)段到達(dá)人數(shù)第11頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六窗口設(shè)置改進(jìn)現(xiàn)假設(shè)各時(shí)段內(nèi)的用餐人數(shù)是均勻增加的,根據(jù)各時(shí)段的到達(dá)人數(shù)分別求出每個(gè)時(shí)段需要的窗口數(shù),如下表所示.窗口數(shù)時(shí)段第12頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六所以時(shí)間12:00←←12:05←12:1512:35→12:40→窗口344454時(shí)段12344578910服務(wù)76.44101.9101.9101.9127.4127.4127.4127.4127.450.96排隊(duì)003.0816.086.619.68.6000第13頁(yè)，共14頁(yè)，2023年，2月20日，星期六給食堂管理部門的建議按就餐人員到達(dá)時(shí)間設(shè)置窗口:12:00前２個(gè),12:00后3個(gè),12:05后4個(gè),12:15后5個(gè),