【公開課】一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（第一課時）課件高二下學期數(shù)學人教A版（2019）選擇性必修第三冊

第八章成對數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析8.2.2一元線性回歸模型參數(shù)的最小二乘估計（第一課時）目錄CONTENT03040102典型例題課堂總結知識回顧最小二乘估計知識回顧PART.01知識回顧1.一元線性回歸模型是什么？問題引入在一元線性回歸模型中，表達式Y=bx+a+e刻畫的是變量Y與變量x之間的線性相關關系，其中參數(shù)a和b未知，需要根據(jù)成對樣本數(shù)據(jù)進行估計.由模型的建立過程可知，參數(shù)a和b刻畫了變量Y與變量x的線性關系，因此通過成對樣本數(shù)據(jù)估計這兩個參數(shù)，相當于尋找一條適當?shù)闹本€，使表示成對樣本數(shù)據(jù)的這些散點在整體上與這條直線最接近.探究:利用前面的散點圖找出一條直線，使各散點在整體上與此直線盡可能接近.問題引入可以采用測量的方法，先畫出一條直線，測量出各點到直線的距離，然后移動直線，到達一個使距離的和最小的位置.測量出此時的斜率和截距，就得到一條直線．問題引入可以在散點圖中選擇這樣的兩點畫一條直線，使得直線兩側點的個數(shù)基本相同，把這條直線作為所求直線．如圖所示.問題引入在散點圖中多取幾對點，確定出幾條直線的方程，再分別求出這些直線的斜率、截距的平均數(shù)，將這兩個平均數(shù)作為所求直線的斜率和截距．如圖所示.問題引入從成對樣本數(shù)據(jù)出發(fā)，用數(shù)學的方法刻畫“從整體上看,各散點與直線最接近”.通常，我們會想到利用點到直線y=bx+a的“距離”來刻畫散點與該直線的接近程度，然后用所有“距離”之和刻畫所有樣本觀測數(shù)據(jù)與該直線的接近程度.設一元線性回歸模型的兩個變量的n對樣本數(shù)據(jù)為(x1,y1)，(x2,y2），…，(xn,yn),由yi=bxi+a+ei(i=1，2，…，n)，得|yi?(bxi+a)|=|ei|.|ei|越小，表示點(xi，yi)與點(xi，bxi+a)的“距離”越小，即樣本數(shù)據(jù)點離直線y=bx+a的豎直距離越小。當ei=0時，表示點(xi，yi)在這條直線上.問題引入因此可以用這n個豎直距離之和

來刻畫各樣本觀測數(shù)據(jù)與直線y=bx+a的“整體接近程度”.

在實際應用中，因為絕對值使得計算不方便，所以人們通常用各散點到直線的豎直距離的平方之和

刻畫“整體接近程度”.

在上式中，xi，yi

(i=1，2，…，n)是已知的成對樣本數(shù)據(jù)，所以Q由a和b所決定，即它是a和b的函數(shù).所以我們取使Q達到最小的a和b值,作為截距a和斜率b的估計值.最小二乘法PART.02經驗回歸方程與最小二乘估計1.經驗回歸方程：2.最小二乘估計:經驗回歸方程與最小二乘估計3.經驗回歸方程的性質:經驗回歸方程與最小二乘估計商店名稱ABCDE銷售額x/千萬元35679利潤額y/百萬元23345典例1：某連鎖經營公司所屬5個零售店某月的銷售額和利潤額資料如下表:(1)畫出銷售額和利潤額的散點圖；(2)計算利潤額y對銷售額x的經驗回歸直線方程.經驗回歸方程與最小二乘估計經驗回歸方程與最小二乘估計典型例題PART.03經驗回歸方程與最小二乘估計例1：某研究機構對高三學生的記憶力x和判斷力y進行統(tǒng)計分析，得下表數(shù)據(jù)：x681012y2356(1)請畫出上表數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)上表提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的經驗回歸方程；(3)試根據(jù)求出的經驗回歸方程，預測記憶力為9的同學的判斷力．經驗回歸方程與最小二乘估計經驗回歸方程與最小二乘估計例2:下表提供了某廠節(jié)能降耗技術改造后生產甲產品過程中記錄的產量x(噸)與相應的生產能耗y(噸標準煤)的幾組對應數(shù)據(jù)．x3456y2.5344.5(1)請畫出表中數(shù)據(jù)的散點圖；(2)請根據(jù)表中提供的數(shù)據(jù)，用最小二乘法求出y關于x的經驗回歸方程；(3)已知該廠技改前100噸甲產品的生產能耗為90噸標準煤，試根據(jù)(2)中求出的經驗回歸方程，預測生產100噸甲產品的生產能