#福建省泉州市安溪永春德化三縣聯(lián)盟2012屆高中畢業(yè)班聯(lián)考數(shù)學理

泉州市安溪永春德化三縣聯(lián)盟201屆2高中畢業(yè)班聯(lián)考數(shù)學試題（理科）本試卷分第I卷（選擇題）和第II卷（非選擇題）兩部分，本卷滿分150分，測試時間120分鐘。第卷（選擇題，共50分）一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。―一,一〃1+2i…，一、一i在復平面內(nèi)，復數(shù)――對應的點位于 （ ）A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限2．下列命題中，真命題是 （）A3XGR,x2>x B命題“若x=1,則x2=1”的逆命題CvxGR,x2>x D命題“若x豐y,則sinx豐siny”的逆否命題3設M=（平面內(nèi)的點（a,b）｝N=f（x）f（x）名cos2xbin2x｝，給出M到N的映射f:（a,b）ff（x）=acos2x+bsin2x,則點（1,.0）的象f（x）的最小正周期為兀 兀.2 .4 ?兀設，是平面a設，是平面a內(nèi)的兩條不同直線，l,1一個充分而不必要條件是（） m//P且l//a m//1且/〃1 121是平面P內(nèi)的兩條相交直線，則a//P的2m//P且〃P m//P且//12函數(shù)f（x）=e-x+ax存在與直線2x-y=0平行的切線，則實數(shù)a的取值范圍是（）A.(-3,21 B.(t,2) C.(2,+8) D.[2,E).對一位運動員的心臟跳動檢測了8次，得到如下表所示的數(shù)據(jù)：檢測次數(shù)檢測數(shù)據(jù)a（次分鐘）i4上述數(shù)據(jù)的統(tǒng)計分析中，一部分計算見如右圖所示的程序框圖（其中a是這 個數(shù)據(jù)的平

TOC\o"1-5"\h\z均數(shù))，則輸出的的值是( ).已知等比數(shù)列｛a｝的前項和為S=21,且4aaa成n 6 1 22等差數(shù)列，則a ()nn-1A3-2n-1 B——C3,2n D3-21-n某所學校計劃招聘男教師x名，女教師j名，x和y須滿足'2x-y>5,約束條件(x-y<2,則該校招聘的教師人數(shù)最多是x<6.如圖，正方形的頂點，弓，(-,)頂點 位于第一象限，直線i=Wwj將部分的面積為，則函數(shù)= 的圖象大致是正方形 分成兩部分，記位于直線左側(cè)陰影部分的面積為，則函數(shù)= 的圖象大致是①f(x)=sinx②f(x)=x2+2x-1③f(x)=一x3+4x+2 ④f(x)=logx性質(zhì)A存在不相等的實數(shù)x、x，使得f(x1)+f(x2)=f(x二)1 2 2f(2)性質(zhì)：對任意0<x<x<1,總有f(x)<f(x)12 1 2以上四個函數(shù)中同時滿足性質(zhì)和性質(zhì)的函數(shù)個數(shù)為

第11卷（非選擇題，共 分）、填空題：本大題共5小題，每小題4分，共20分，把答案填寫在答題卡的相應位置。設拋物線的頂點在原點，其焦點在軸上，拋物線上的點尸（2,k）與點的距離為，則拋物線方程為。12二如圖是一個幾何體的三視圖，若它的體積是正視圖側(cè)視圖.請閱讀下列材料：3y’3,則Ua=.正視圖側(cè)視圖.請閱讀下列材料：TOC\o"1-5"\h\z對命題“若兩個正實數(shù)a,a滿足a2+a2=1,那么a+a<、二。"證明如下：構(gòu)造函數(shù)1 2 1 2 1 2f(x)=(x—ai)2+(x—aJ2,因為對一切實數(shù)X，恒有f(X)>0,又f(X)=2X2-2(a+a)x+1,從而得4(a+a)2一8<0,所以a+a<22。根據(jù)上述

1 2 1 2 1 2證明方法，若n個正實數(shù)滿足a2+a2+……+a2=1時，你可以構(gòu)造函數(shù)12 ng（x）=,進一步能得到的結(jié)論為（不必證明）。三、解答題：本大題共6小題,共80分,解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。把解答過程填寫在答題卡的相應位置。（本題滿分分）某區(qū)組織群眾性登山健身活動招募了N名師生志愿者將所有志愿

者現(xiàn)按年齡情況分為15口20,20口25,25口30,30口35,35口40,40口45等六個層次其頻率分布直方圖如圖所示已知3。口35之間的志愿者共8人(I)求N和2030之間的志愿者人數(shù)Ni(11)已知20125和30Q35之間各有2名英語教師，現(xiàn)從這兩個層次各選取2人擔任接待工作設兩組的選擇互不影響求兩組選出的人選中都至少有名英語教師的概率是多少(III)組織者從35145之間的志愿者(其中共有4名女教師，名擔任后勤保障工作其中女教師的數(shù)量為己求己的概率和分布列..(本小題滿分分)已知在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是邊長為4的正方形，△PAD是正三角形，平面PAD±平面ABCD,E、F、G分別是PA、PB、BC的中點.(I)求證：EF1平面PAD；(II)求平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的大?。?III)若M為線段AB上靠近A的一個動點，問當AM長度其余全為男教師)中隨機選取3等于多少時，直線MF與平面EFG所成角的正弦值等于其余全為男教師)中隨機選取3<15.(本小題滿分 分)如圖，焦距為2的橢圓E的兩個頂點分別為A和B,且AB與n=（6-1）共線.(I)求橢圓E的標準方程;(II)若直線J=kx+m與橢圓(I)求橢圓E的標準方程;點P和Q,且原點?？傇谝訮Q為直徑的圓的內(nèi)部，求實數(shù)(本小題滿分13分)如圖所示，某市準備在一個湖m(本小題滿分13分)如圖所示，某市準備在一個湖泊的一側(cè)修建一條直路OC;另一側(cè)修建一條觀光大道，它的前一段OD是以O為頂點，x軸為對稱軸，開口向右的拋物線的一部分，后一段DBC是函數(shù)y=Asin(①x+①)(A〉0g〉0,|O|<-),%e[4,8]時的圖象，圖象的最高點為2B(5,3^3),DF10。，垂足為F。(I)求函數(shù)y=Asin(3%+①)的分析式；(II)若在湖泊內(nèi)修建如圖所示的矩形水上樂園PMFE，問點P落在曲線OD上何處時，水上樂園的面積最大？．1(本小題滿分分)已知函數(shù)．1(本小題滿分分)已知函數(shù)f(%)=3%3+a—3

"T"I如果對任意%e[1,2],f'(x)>a2恒成立，求實數(shù)的取值范圍;II設實數(shù)f(%)的兩個極值點分別為%,%判斷①%+%+a,②%2+%2+a2,③12 1 2 1 2%3+%3+a3是否為定值？若是定值請求出；若不是定值，請把不是定值的表示為函數(shù)g(a),12并求出g(a)的最小值；1ni對于()中的g(a),設H(a)=g[g(a)—27],m,ne(0,1)且m中n，試比較IH(m)—H(n)|與|em—en|(為自然對數(shù)的底)的大小，并證明。21．本題有(1)、(2)、(3)三個選擇題，每題7分，請考生任選2題作答，滿分14分．如果多做，則按所做的前兩題記分．(1)．選修4－2：矩陣與變換」. 「1 a1 ?- 「21已知矩陣A= 的一個特征值九=2,其對應的特征向量是a=1—1b 1 1「71I求矩陣A;II)若向量P=4,計算A5P的值

(2)．選修4－4：坐標系與參數(shù)方程已知橢圓的極坐標方程為P2="^，點，為其左、右焦點,直線的參數(shù)方程為xy2+紅2(為參數(shù)，疔數(shù)方程為xy2+紅2(為參數(shù)，疔R).求點到直線l的距離之和.(3)．選修4－5：不等式選講已知，，均為正數(shù).求證：—+—+—三1+1+1yzzxxyxyz參考答案一、選擇題二、填空題y二、填空題y2=4x\Z3 6f(x)=(x—a)2+(x—a)2+(x—a)2 a+a+...+a＜、；nTOC\o"1-5"\h\z1 2 n， 1 2 n三、解答題 …解：(I)設頻率分布直方圖中6個層次的頻率分別為P,P,P,P,P,P1234568P=0.04x5=0.2，所以N=—=40 分4 0.2由題意P+P+P+P+P+P=1123456而p+p=1—(p+p+p+P)=1—5(0.01+0.04+0.02+0.01)=0.623 1456所以20030之間的志愿者人數(shù)N=40x(p+p)=40x0.6=24 分1 2 3(II)p=0.3...20n25之間有40x0.3=12人 分2設從20125之間取2人擔任接待工作其中至少有名英語教師的事件為B從30D35之間取2人擔任接待工作其中至少有名英語教師的事件為C因為兩組的選擇互不影響為相互獨立事件22C2p(B)=1—p(B)=1—-402212TOC\o"1-5"\h\zC2 13—6-- C2 288B與C為相互獨立事件，同時發(fā)生可記做BC71313所以，p(BC)=p(B)p(C)--.---* 分222888III35口45之間共有5x(0.01+0.02)x40=6人，其中4名女教師，名男教師從中選取三人，則女教師的數(shù)量為自的取值可為1,2,3所以p慮-1)-CC2-1；p慮-2)-CC-3；p慮-3)-C3-1C3 5 C3 5 C3 56 66所以，分布列為

123P化=k)131555131所以，數(shù)學期望為E^=1x5+2x5+3x5=2 17.方法1：(I)證明：???平面PAD，平面ABCD,AB1ADTOC\o"1-5"\h\z：.AB1平面PAD, （2分）/E、F為PA、PB的中點，??EF//AB，二EF1平面PAD； （4分），(II)解：過P作AD的垂線，垂足為O,，?,平面PAD1平面ABCD，則PO1平面ABCD.連OG,以OG,OD,OP為％、y、z軸建立空間坐標系， (6分)「PA=PD=AD=4，二OP=2v3,OD=OA=2,得A(0,-2,0),B(4,-2,0),C(4,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2V3),E(0,-1,<3),F(2,-1,、①),G(4,0,0)，故EF=(2,0,0),EG=(4,1,-、/3),n-EF=0…設平面EFG的一個法向量為n=(九y,z),則〈 一，即n-EG=0,取z=1,得n=(0,-s;3,1), (7分)平面ABCD的一個法向量為n=(0,0,1),1平面EFG與平面ABCD所成銳二面角的余弦值是：n-n1Icos<n,n>= 1=-，銳二面角的大小是60。； (8分)1 |n||n|21（Ill）解：設=工，M（x,-2,0）,則而=（2—工］,看），設癡1與平面區(qū)咫所成角為風TOC\o"1-5"\h\zmil.白| I□?礪I/ J15則sin^=|cos<n,MF>= -= =--―，||n||^||收-力+4 51=1或1=3, 靠近工，.,.工=1 （1口分），當班0=1時，EP與平面即G所成角正弦值等于士二 （12分）方法2：（I）證明：過尸作尸匕1月9于a,「平面戶月門1平面月則尸匕_L平面工BCD連口琳以O000,OP為工、4m軸建立空間坐標系, ㈡分）'：PA=PL=AD=4,：.OP=2J'3,OD=OA=2,得A（0-2,0）,5（4-2,0）,C（4,2,0）,口（0,2,0）,戶（口,Q2后,￡電一1,指）耳已一1,后）,仃（4,0,口），故的賓口口），工"=（口,4,0）『力=（0,2-275）,.'麗亞=口,而?而=口，TOC\o"1-5"\h\z，區(qū)F1平面PADm （4分）" h I—（II）解:EF=（2,0,0）,EG=（4,1,-不3）,設平面EFG的一個法向量為n=（九y,z）,n.EF=0r12%=0 l則］一，即［ ,取z=1,得n=（0,M3,1）, （7分）n-EG=0, 14%+y—<3z=0平面ABCD的一個法向量為n=（0,0,1）,……【以下同方法1】1方法3：（I）證明：???平面PAD，平面ABCD,AB1AD,TOC\o"1-5"\h\z??AB1平面PAD, （2分）/E、F為PA、PB的中點，??EF//AB，二EF1平面PAD； （4分）（II）解：：EF//HG,AB//HG,：.HG是所二面角的棱， （6分）??HG//EF,：HG1平面PAD, ：DH1HG,EH1HG,：/：/EHA是銳二面角的平面角，等于60。； （8分）（III）解：過M作MK，平面EFG于K,連結(jié)KF,則/則/KFM即為MF與平面EFG所成角，（10分）因為AB//EF,故AB/平面EFG,故AB/的點M到平面EFG的距離等于A到平面EFG的距離，：HG1平面PAD，：.平面EFGH1平面PBD于EH,

???A到平面EFG的距離即三角形EHA的高，等于於，即MK=<3,.?.15L=亙，fm=.；5，在直角梯形EFMA中，AE=EF=2,5FM???AM=1或AM=3VM靠近A，二AM=1 （11分）15TOC\o"1-5"\h\z?,.當AM=1時，MF與平面EFG所成角正弦值等于35 （12分）x2y2解：（I）設橢圓的標準方程為—+2=（a〉b〉0）,由已知得A（a,0）、B（0,b）a2b2??.AB=（—a,b）,VAB與n=（.漢-1）共線，,a=<2b，又a2—b2=1 （3分）x2/.a2=2,b2=1,，橢圓E的標準方程為 +y2=1 （5分）2x2(II)設尸(x,y),Q(x,y)，把直線萬程y=kx+m代入橢圓萬程二-+y2=1,11 22 2消去y,得，(2k2+1)x2+4kmx+2m2—2=0,(7分)4km 2m2(7分)..x+x= ,xx= 1 2 2k2+1 122k2+1TOC\o"1-5"\h\zA=16k2m2—4x(2k2+1)(2m2—2)=16k2—8m2+8〉0(*) (8分)1V原點O總在以PQ為直徑的圓內(nèi)，???OP-OQ<0，即x1x2+y1y2<0 （9分）又y1y2=(kx1+m)(kx1+m)=k2x1x2+mk(x1+x2)+m2=m2—2k22m2—2 2 2 、 2,一由 + <0得m2<—k2+-,依題意m2<—且滿足(*) (11分)2k2+12k2+1 3 3 3故實數(shù)m的取值范圍是（(12故實數(shù)m的取值范圍是（(12分) , )33解:（I）對于函數(shù)尸Asin（（ux+0）,由圖象知,.873 277 27rit 4=亍所亍=訴r不 將B（5,"I?用代入到尸竽sin管%+9）中，得得+<p=2kn+與（keZ）（P=2/t7t-y TOC\o"1-5"\h\z又I如?，所以@=_a,故y= （差X_『） 6分（U）在尸哈in（專一/）中令［=4,得。（4,4） 7分從而得曲路。。的方程為y2=4x（0w*w4） 8分設點P（￡J）（0這區(qū)4）,則矩形PMFE的面積為5=（4-￡）/（0WY4） 9分因為5=4-亨，由5'=0,得"竽,且當%（0,竽）時S>0,S遞增；當止（罕,4）時5<0,5遞減,所以當巾竽時,5最大,此時點尸的坐標為（寺，竽） 12分2L解：U）=/十3）#十-勿由『也）/得d十色一3）耳十白,一幼:口，所以3）（了十力）:口對*丘［L2］恒成立. 之分又--?*-3工口恒成立>..工十以七口對士丘［1P引恒成立，..g《-h及-士丘［-￡.-I卜.&—2. …4分⑵俵題息原.N恰為方程門>）=比、匕一%十"一％=D兩根，?由N=（8燈--%）之口得l-I￡0￡3, 5 分由韋達定理得:①.+與+/-3,再剪一加一功” .6分..②?十始十〃=〃"!"（五十句y一三叫&=g —嚇分③而短+X：+4=（j3+（天+心乂］；—而力4君）=均》一加空+27N分設乳耳呈+2九求導得；乳司=91-18◎=9試彳-田當口之以引B才,/⑷就團遞墻當比丑口』時，<口，忒0遞減；當口之［-1⑼時.。⑷皿—遞稀..目⑷在r司上的最小值為加閨后（-1）忐⑷}■皿山口5,1力=15