浙江省溫州市蒼南縣金鄉(xiāng)衛(wèi)城中學(xué)2022-2023學(xué)年高一上學(xué)期第一次月考數(shù)學(xué)試題（解析版）

蒼南縣衛(wèi)城中學(xué)2022學(xué)年第一學(xué)期第一次月考高一數(shù)學(xué)試題考生須知：1．本卷共4頁(yè)，滿(mǎn)分100分，考試時(shí)間90分鐘；2．答題前，在答題卷指定區(qū)域填寫(xiě)班級(jí)、姓名、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)及準(zhǔn)考證號(hào)并填涂相應(yīng)數(shù)字；3．所有答案必須寫(xiě)在答題紙上，寫(xiě)在試卷上無(wú)效；4．考試結(jié)束后，只需上交答題紙.選擇題部分一、選擇題Ⅰ（本大題共8小題，每題4分，共32分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的．）1.已知全集，集合，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】利用補(bǔ)集概念求解即可.【詳解】.故選：C2.“”是“”的（）A充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】根據(jù)充分條件和必要條件的定義即可得解.【詳解】解：由得，所以“”是“”的必要不充分條件.

故選：B.3.若，，則A、B的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用作差比較法及配方法即可求解.【詳解】解：∵，∴．故選：B．4.適合條件的集合A的個(gè)數(shù)是（）A.15 B.16 C.31 D.32【答案】C【解析】【分析】根據(jù)子集、真子集的定義及真子集個(gè)數(shù)的求解公式即可得答案.【詳解】解：因?yàn)?所以集合A中必須包含元素1，可從元素2、3、4、5、6中至多選取4個(gè)，即集合的真子集個(gè)數(shù)，所以集合A的個(gè)數(shù)個(gè)．故選：C．5.不等式的解集為（）A. B.(－∞，1) C.∪(1，＋∞) D.【答案】A【解析】【分析】化簡(jiǎn)不等式為，結(jié)合分式不等式的解法，即可求解.【詳解】原不等式，可化為，即，結(jié)合分式不等式的解法，解得，即不等式的解集為.故選：A.6.在數(shù)學(xué)漫長(zhǎng)的發(fā)展過(guò)程中，數(shù)學(xué)家發(fā)現(xiàn)在數(shù)學(xué)中存在著神秘的“黑洞”現(xiàn)象．?dāng)?shù)學(xué)黑洞：無(wú)論怎樣設(shè)值，在規(guī)定的處理法則下，最終都將得到固定的一個(gè)值，再也跳不出去，就像宇宙中的黑洞一樣．目前已經(jīng)發(fā)現(xiàn)的數(shù)字黑洞有“123黑洞”、“卡普雷卡爾黑洞”、“自戀性數(shù)字黑洞”等．定義：若一個(gè)n位正整數(shù)的所有數(shù)位上數(shù)字的n次方和等于這個(gè)數(shù)本身，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是自戀數(shù)．已知所有一位正整數(shù)的自戀數(shù)組成集合A，集合，則的子集個(gè)數(shù)為（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】D【解析】【分析】根據(jù)自戀數(shù)的定義可得集合，再根據(jù)交集的定義求出，從而可得答案.【詳解】解：依題意，，，故，故的子集個(gè)數(shù)為8．故選：D．7.對(duì)，不等式恒成立，則a取值范圍是（）A. B. C.或 D.或【答案】A【解析】【分析】對(duì)討論，結(jié)合二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解不等式即可得到的取值范圍.【詳解】不等式對(duì)一切恒成立，當(dāng)，即時(shí)，恒成立，滿(mǎn)足題意；當(dāng)時(shí)，要使不等式恒成立，需，即有，解得.綜上可得，的取值范圍為.故選：A.8.已知實(shí)數(shù)滿(mǎn)足，則的最小值為()A.2 B.1 C.4 D.5【答案】A【解析】【分析】將a-1和b-1看作整體，由構(gòu)造出，根據(jù)即可求解．【詳解】由得，因式分解得，則，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得最小值．故選：A．二、選擇題Ⅱ（本大題共4小題，每題4分，共16分．在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，至少兩項(xiàng)是符合題目要求的．）9.已知集合，集合，下列關(guān)系正確的是（）．A. B. C. D.【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)集合的定義判斷，注意集合中代表元形式．【詳解】由已知集合，集合是由拋物線(xiàn)上的點(diǎn)組成的集合，A正確，B錯(cuò)，C正確，D正確，故選：ACD．【點(diǎn)睛】本題考查集合的概念，確定集合中的元素是解題關(guān)鍵．10.已知且，則下列不等式正確的是（）A. B. C. D.【答案】AD【解析】【分析】由不等式的性質(zhì)即可判斷.【詳解】由不等式的性質(zhì)容易判斷AD正確；對(duì)B，若b=0，不等式不成立，錯(cuò)誤；對(duì)C，若c=0，不等式不成立，錯(cuò)誤.故選：AD.11.若“”為真命題，“”為假命題，則集合可以是（）A. B. C. D.【答案】ABD【解析】【分析】分別求出所給真命題、假命題成立的條件，再求出它們的交集即可得集合M滿(mǎn)足的條件.【詳解】因?yàn)槊}“”為假命題，則命題“，”為真命題，可得，解不等式，可得或，因?yàn)槊}“”為真命題，則或，因?yàn)榛蚧?，顯然，ABD選項(xiàng)中的區(qū)間為的子集.故選：ABD.12.已知關(guān)于的不等式，關(guān)于此不等式的解集有下列結(jié)論，其中正確的是（）A.不等式的解集可以是B.不等式的解集可以是C.不等式的解集可以是D.不等式的解集可以是【答案】BD【解析】【分析】選項(xiàng)A先假設(shè)結(jié)論成立，再得到不等式為并求解，最后與解集產(chǎn)生矛盾判斷選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，判斷選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C當(dāng)時(shí)不等式成立，判斷選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D先假設(shè)結(jié)論成立，再求解得，符合題意，判斷選項(xiàng)D正確；【詳解】解：選項(xiàng)A：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，則不等式為，解得，與解集是矛盾，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；選項(xiàng)B：當(dāng)，時(shí)，不等式恒成立，則解集是，故選項(xiàng)B正確；選項(xiàng)C：當(dāng)時(shí)，不等式，則解集不可能為，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；選項(xiàng)D：假設(shè)結(jié)論成立，則，解得，符合題意，故選項(xiàng)D正確；故選：BD【點(diǎn)睛】本題考查一元二次不等式的解集問(wèn)題，是基礎(chǔ)題.非選擇題部分三、填空題（本大題共4小題，共12分）13.命題，，則___________.【答案】，【解析】【分析】根據(jù)特稱(chēng)命題的否定變量詞否結(jié)論即可求解.【詳解】命題，，則為：，.故答案為：，.14.已知全集，集合，，則下列Venn圖中陰影部分的集合為_(kāi)__________．【答案】【解析】【分析】由給定條件求出集合M，再由Venn圖中陰影部分表示的意義求解即得．【詳解】由題意，集合，則Venn圖中陰影部分表示的集合是．故答案為：.15.已知，，，則的最小值為_(kāi)_________．【答案】【解析】【詳解】由得,故.16.《幾何原本》中的幾何代數(shù)法（用幾何方法研究代數(shù)問(wèn)題）成了后世西方數(shù)學(xué)家處理問(wèn)題的重要依據(jù)，通過(guò)這一方法，很多代數(shù)公理、定理都能夠通過(guò)圖形實(shí)現(xiàn)證明，并稱(chēng)之為“無(wú)字證明”.設(shè)，稱(chēng)為、的調(diào)和平均數(shù).如圖，C為線(xiàn)段AB上的點(diǎn)，且AC=，CB=，且，O為AB中點(diǎn)，以AB為直徑作半圓.過(guò)點(diǎn)C作AB的垂線(xiàn)，交半圓于D，連結(jié)OD，AD，BD.過(guò)點(diǎn)C作OD的垂線(xiàn)，垂足為E.則圖中線(xiàn)段OD的長(zhǎng)度是、的算術(shù)平均數(shù)，線(xiàn)段CD的長(zhǎng)度是、的幾何平均數(shù)，線(xiàn)段______的長(zhǎng)度是、的調(diào)和平均數(shù),該圖形可以完美證明三者的大小關(guān)系為_(kāi)________.【答案】①.##②.【解析】【分析】根據(jù)給定條件結(jié)合圓的有關(guān)性質(zhì)、直角三角形射影定理用a，b表示出相關(guān)線(xiàn)段長(zhǎng)即可作答.【詳解】依題意，，，由直角三角形射影定理得，即，而點(diǎn)C與點(diǎn)O不重合，在中，即，則，在中，因，，由直角三角形射影定理得，，又，則，即，所以線(xiàn)段的長(zhǎng)度是、的調(diào)和平均數(shù)，該圖形可以完美證明三者的大小關(guān)系為.故答案為：；四、解答題（本大題共4小題，共40分．解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算過(guò)程．）17已知，，求，.【答案】或，或.【解析】【分析】求出集合、，然后利用交集和并集的定義可求出集合，.【詳解】或，或.因此，或，或.【點(diǎn)睛】本題考查交集與并集的計(jì)算，同時(shí)也涉及了一元二次不等式的求解，在求解無(wú)限數(shù)集之間的運(yùn)算時(shí)，可充分利用數(shù)軸來(lái)理解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.18.設(shè)集合.（1）若，求a的值.（2）若，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）計(jì)算得到，根據(jù)到，利用韋達(dá)定理得到答案.（2）根據(jù)得到，討論，，，四種情況分別計(jì)算得到答案.【詳解】（1），由，知根據(jù)韋達(dá)定理得到解得（2），當(dāng)時(shí)，，即；當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理得到解得；當(dāng)時(shí)，利用韋達(dá)定理得到無(wú)解；當(dāng)時(shí)，由（1）知：；綜上，實(shí)數(shù)a的取值范圍是：【點(diǎn)睛】易錯(cuò)點(diǎn)睛：本題考查利用集合子集關(guān)系確定參數(shù)問(wèn)題，易錯(cuò)點(diǎn)是要注意：是任何集合的子集，所以要分集合和集合兩種情況討論，考查學(xué)生的邏輯推理能力，屬于中檔題.19.經(jīng)過(guò)長(zhǎng)期觀(guān)測(cè)得到：在交通繁忙的時(shí)段內(nèi)，某公路段汽車(chē)的車(chē)流量y（千輛/小時(shí)）與汽車(chē)的平均速度（千米/小時(shí)）之間的函數(shù)關(guān)系為：（＞0）．（1）在該時(shí)段內(nèi)，當(dāng)汽車(chē)的平均速度為多少時(shí)，車(chē)流量最大？最大車(chē)流量為多少？（保留分?jǐn)?shù)形式）（2）若要求在該時(shí)段內(nèi)車(chē)流量超過(guò)10千輛/小時(shí)，則汽車(chē)的平均速度應(yīng)在什么范圍內(nèi)？【答案】（1）當(dāng)v＝40km/h時(shí)，車(chē)流量最大，最大車(chē)流量約為千輛/時(shí)；（2）25＜v＜64．【解析】【分析】（1）根據(jù)基本不等式性質(zhì)可知，進(jìn)而求得y的最大值．根據(jù)等號(hào)成立的條件求得此時(shí)的平均速度．（2）解不等式，即可求出v的范圍．【詳解】（1）依題意知，，當(dāng)且僅當(dāng)v，即v＝40時(shí)，上式等號(hào)成立，∴ymax（千輛/時(shí)）．∴當(dāng)v＝40km/h時(shí)，車(chē)流量最大，最大車(chē)流量約為千輛/時(shí)．（2）由條件得，整理得v2﹣89v+1600＜0，即．解得25＜v＜64．20.已知二次函數(shù).（1）若的解集為，求不等式的解集；（2）若對(duì)任意，恒成立，求的最大值；（3）若對(duì)任意，恒成立，求的最大值.【答案】（1）（2）1（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)已知條件，利用“三個(gè)二次”關(guān)系，得到的根為1和2，且，進(jìn)而求得的關(guān)系，化簡(jiǎn)不等式后，求解即得;（2）利用不等式恒成立的條件，得到，進(jìn)而得到，從而得到結(jié)合基本不等式求得的最大值；（3）令，可得，根據(jù)恒成立，可以得到，進(jìn)而