直線與平面的夾角

直線與平面的夾角第1頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第2頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六3．2.3直線與平面的夾角第3頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六如圖在正方體ABCD—A1B1C1D1中．問(wèn)題1：AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影嗎？提示：因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，所以AC是A1C在平面ABCD內(nèi)的射影．第4頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六問(wèn)題3：由問(wèn)題2你能得到什么結(jié)論？提示：斜線與射影的夾角小于斜線與平面內(nèi)其他直線的夾角．

提示：當(dāng)θ為銳角時(shí)α＋θ＝90°，當(dāng)θ為鈍角時(shí)，θ＝90°＋α.問(wèn)題2：你能比較∠A1CA與∠A1CB的大小嗎？第5頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

1．直線與平面的夾角(1)如果一條直線與一個(gè)平面垂直，這條直線與平面的夾角為

；(2)如果一條直線與一個(gè)平面平行或在平面內(nèi)，這條直線與平面的夾角為

；(3)斜線和它在平面內(nèi)的

所成的角叫做斜線和平面所成的角(或斜線和平面的夾角)；(4)直線與平面的夾角的范圍是

．0射影第6頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2．最小角定理(1)線線角、線面角的關(guān)系式：如圖，OB是OA在平面α內(nèi)的射影，OM?α，θ是OA與OM所成的角，θ1是OA與OB所成的角，θ2是OB與OM所成的角，則cosθ＝

．cosθ1cosθ2第7頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六它在平面內(nèi)的射影第8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1．斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的角是銳角．2．cosθ＝cosθ1·cosθ2中，θ1，θ2，θ分別是斜線與射影，射影與平面內(nèi)的直線，斜線與平面內(nèi)的直線所成的角，θ>θ1，θ>θ2.第9頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第10頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六[例1]

在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，AA1＝5，試求B1D1與面A1BCD1所成角的正弦值．[思路點(diǎn)撥]作出B1點(diǎn)在平面A1BCD1內(nèi)的射影，從而得到B1D1在平面A1BCD1內(nèi)的射影．第11頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六[精解詳析]

作B1E⊥A1B，垂足為E，又因?yàn)锳1D1⊥平面ABB1A1，∴A1D1⊥B1E.由B1E⊥A1B及B1E⊥A1D1得B1E⊥面A1BCD1，

所以，D1E就是D1B1在平面A1BCD1內(nèi)的射影，從而∠B1D1E就是D1B1與面A1BCD1所成的角．第12頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第13頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六[一點(diǎn)通]作直線與平面夾角的一般方法：在直線上找一點(diǎn)，通過(guò)這個(gè)點(diǎn)作平面的垂線，從而確定射影，找到要求的角．其中關(guān)鍵是作平面的垂線，此方法簡(jiǎn)稱為“一作，二證，三計(jì)算”．第14頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六1.如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面為直角梯形，AD∥BC，∠BAD＝90°，PA⊥底面ABCD，且PA＝AD＝AB＝2BC，M、N分別為PC、PB的中點(diǎn)．(1)求證：PB⊥DM；(2)求BD與平面ADMN所成的角．第15頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六解：(1)證明：∵N是PB的中點(diǎn)，PA＝AB，∴AN⊥PB.∵PA⊥底面ABCD，∴PA⊥AD，又∵∠BAD＝90°，∴AD⊥面PAB，∴AD⊥PB.∴PB⊥平面ADMN.∵DM?平面ADMN，∴PB⊥DM.第16頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第17頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六2．在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E、F分別為AA1、AB的中點(diǎn)，求EF和平面ACC1A1夾角的大?。?8頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第19頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六[例2]

∠BOC在平面α內(nèi)，OA是平面α的一條斜線，若∠AOB＝∠AOC＝60°，OA＝OB＝OC＝a，BC＝a，求OA與平面α所成的角．[思路點(diǎn)撥]根據(jù)定義或cosθ＝cosθ1·cosθ2求解．第20頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第21頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第22頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第23頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六

[一點(diǎn)通]

求線面角關(guān)鍵是確定斜線在平面上射影的位置，只有確定了射影，才能將空間角轉(zhuǎn)化為平面角．在本例中，也可以直接作AH⊥BC于H，進(jìn)而證明AH⊥平面α，從而證明H是點(diǎn)A在平面α內(nèi)的射影．解法二則靈活應(yīng)用公式cosθ＝cosθ1·cosθ2求線面角，也是常用的方法．第24頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六答案：C第25頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六4.如圖所示，四棱錐P－ABCD中，ABCD是正方形，PD⊥平面ABCD.若∠PBC＝60°，求直線PB與平面ABCD所成的角θ.第26頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第27頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第28頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第29頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第30頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第31頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六5.在正方體ABCD—A1B1C1D1中(如圖)，M、N分別是棱B1C1、AD的中點(diǎn)，求直線AD與平面BMD1N所成角的余弦值．第32頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第33頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第34頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六6.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體ABCD—

A1B1C1D1中，P是側(cè)棱CC1上的一點(diǎn)，

CP＝m，試確定m，使直線AP與平面

BDD1B1所成角的正切值為3.第35頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第36頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六第37頁(yè)，共39頁(yè)，2023年，2月20日，星期六求直線與平面所成角的方法：(1)定義法：找(或作)出直線在平面內(nèi)的射影，得到線面角，通過(guò)解三角形進(jìn)行計(jì)算．