中考數(shù)學(xué)二次函數(shù)專題復(fù)習(xí)超強(qiáng)整理

-.z初三——二次函數(shù)歸類復(fù)習(xí)一、二次函數(shù)與面積面積的求法：①公式法：S=1/2*底*高②分割法/拼湊法1、說(shuō)出如何表示各圖中陰影局部的面積.*yO*yOAB圖三*yOABD圖二E*yOABC圖一PP**yOMENA圖五O*yDC圖四*yODCEB圖六2、拋物線與軸交與A、B〔點(diǎn)A在B右側(cè)〕，與軸交與點(diǎn)C，D為拋物線的頂點(diǎn)，連接BD，CD，〔1〕求四邊形BOCD的面積.〔2〕求△BCD的面積.〔提示：此題中的三角形沒(méi)有橫向或縱向的邊，可以通過(guò)添加輔助線進(jìn)展轉(zhuǎn)化，把你想到的思路在圖中畫(huà)出來(lái)，并選擇其中的一種寫(xiě)出詳細(xì)的解答過(guò)程〕3、拋物線與軸交與A、C兩點(diǎn)，與軸交與點(diǎn)B，〔1〕求拋物線的頂點(diǎn)M的坐標(biāo)和對(duì)稱軸；〔2〕求四邊形ABMC的面積.4、已二次函數(shù)與軸交于A、B兩點(diǎn)〔A在B的左邊〕，與y軸交于點(diǎn)C，頂點(diǎn)為P.〔1〕結(jié)合圖形，提出幾個(gè)面積問(wèn)題，并思考解法；〔2〕求A、B、C、P的坐標(biāo)，并求出一個(gè)剛剛提出的圖形面積；CPOABy〔3〕在拋物線上〔除點(diǎn)CCPOABy假設(shè)存在，請(qǐng)寫(xiě)出點(diǎn)N的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。AyBOC變式一圖變式一：在拋物線的對(duì)稱軸上是否存點(diǎn)NAyBOC變式一圖A*yOBC變式二圖變式二：在雙曲線上是否存在點(diǎn)NA*yOBC變式二圖5、拋物線與軸交與A、B〔點(diǎn)A在B右側(cè)〕，與軸交與點(diǎn)C，假設(shè)點(diǎn)E為第二象限拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，△EBC的面積最大,并求出此時(shí)點(diǎn)E的坐標(biāo)和△EBC的最大面積．【模擬題訓(xùn)練】1．〔2021?三?！橙鐖D，直線y=﹣*+2與*軸交于點(diǎn)B，與y軸交于點(diǎn)C，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)B、C和點(diǎn)A〔﹣1，0〕．〔1〕求B、C兩點(diǎn)坐標(biāo)；〔2〕求該二次函數(shù)的關(guān)系式；〔3〕假設(shè)拋物線的對(duì)稱軸與*軸的交點(diǎn)為點(diǎn)D，則在拋物線的對(duì)稱軸上是否存在點(diǎn)P，使△PCD是以CD為腰的等腰三角形.如果存在，直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；〔4〕點(diǎn)E是線段BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)E作*軸的垂線與拋物線相交于點(diǎn)F，當(dāng)點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)到什么位置時(shí)，四邊形CDBF的面積最大.求出四邊形CDBF的最大面積及此時(shí)E點(diǎn)的坐標(biāo)．二、二次函數(shù)與相似【相似知識(shí)梳理】二次函數(shù)為背景即在平面直角坐標(biāo)系中，通常是用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式，在求點(diǎn)的坐標(biāo)過(guò)程中需要用到相似三角形的一些性質(zhì)，如何利用條件找到適宜相似三角形是需要重點(diǎn)突破的難點(diǎn)。其實(shí)破解難點(diǎn)以后不難發(fā)現(xiàn)，假設(shè)是直角三角形相似無(wú)非是如圖1-1的幾種根本型。假設(shè)是非直角三角形有如圖1-2的幾種根本型。利用幾何定理和性質(zhì)或者代數(shù)方法建議方程求解都是常用的方法?！纠}點(diǎn)撥】【例1】如圖1-3，二次函數(shù)的圖像與軸相交于點(diǎn)A、B，與軸相交于點(diǎn)C，經(jīng)過(guò)點(diǎn)A的直線與軸相交于點(diǎn)D，與直線BC垂直于點(diǎn)E，AB=3，求這個(gè)二次函數(shù)的解析式?！纠?】如圖1-4，直角坐標(biāo)平面，二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為C，且在軸上截得的線段AB的長(zhǎng)為6.求二次函數(shù)解析式；在軸上方的拋物線上，是否存在點(diǎn)D，使得以A、B、D三點(diǎn)為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似.假設(shè)存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)，假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由?！纠?】如圖1-6，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)-的圖像經(jīng)過(guò)點(diǎn)A〔4,0〕，C〔0,2〕。試求這個(gè)二次函數(shù)的解析式，并判斷點(diǎn)B〔-2,0〕是否在該函數(shù)的圖像上；設(shè)所求函數(shù)圖像的對(duì)稱軸與軸交于點(diǎn)D，點(diǎn)E在對(duì)稱軸上，假設(shè)以點(diǎn)C、D、E為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，試求點(diǎn)E的坐標(biāo)?！灸M題訓(xùn)練】2．〔2021?崇明縣一?！橙鐖D，拋物線y=*2+b*+c經(jīng)過(guò)直線y=﹣+1與坐標(biāo)軸的兩個(gè)交點(diǎn)A、B，點(diǎn)C為拋物線上的一點(diǎn)，且∠ABC=90°．〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕求點(diǎn)C坐標(biāo)；〔3〕直線y=﹣*+1上是否存在點(diǎn)P，使得△BCP與△OAB相似.假設(shè)存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出P點(diǎn)的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．三、二次函數(shù)與垂直【方法總結(jié)】①應(yīng)用勾股定理證明或利用垂直②三垂直模型【例1】：如圖，直線l過(guò)等腰直角三角形ABC頂點(diǎn)B，A、C兩點(diǎn)到直線l的距離分別是2和3，則AB的長(zhǎng)是〔〕【例2】：在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y=a*2+b*+c與*軸的兩個(gè)交點(diǎn)分別為A〔-3，0〕、B〔1，0〕，過(guò)頂點(diǎn)C作CH⊥*軸于點(diǎn)H.〔1〕直接填寫(xiě)：a=，b=，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)為；〔2〕在y軸上是否存在點(diǎn)D，使得△ACD是以AC為斜邊的直角三角形.假設(shè)存在，求出點(diǎn)D的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，說(shuō)明理由；【例3】、〔2021〕如圖，拋物線y=*2+b*-3a過(guò)點(diǎn)A〔1,0〕，B(0,-3),與*軸交于另一點(diǎn)C.〔1〕求拋物線的解析式；〔2〕假設(shè)在第三象限的拋物線上存在點(diǎn)P，使△PBC為以點(diǎn)B為直角頂點(diǎn)的直角三角形，求點(diǎn)P的坐標(biāo)；〔3〕在〔2〕的條件下，在拋物線上是否存在一點(diǎn)Q，使以P,Q,B,C為頂點(diǎn)的四邊形為直角梯形.假設(shè)存在，請(qǐng)求出點(diǎn)Q的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.【模擬題訓(xùn)練】3．〔2021?普陀區(qū)一?！橙鐖D，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，點(diǎn)A〔m，0〕和點(diǎn)B〔0，2m〕〔m＞0〕，點(diǎn)C在*軸上〔不與點(diǎn)A重合〕〔1〕當(dāng)△BOC與△AOB相似時(shí)，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)C的坐標(biāo)〔用m表示〕〔2〕當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，二次函數(shù)y=﹣*2+b*+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，求m的值，并求點(diǎn)C的坐標(biāo)〔3〕P是〔2〕的二次函數(shù)圖象上的一點(diǎn)，∠APC=90°，求點(diǎn)P的坐標(biāo)及∠ACP的度數(shù)．4．如圖，拋物線y=*2﹣1的頂點(diǎn)坐標(biāo)為M，與*軸交于A、B兩點(diǎn)．〔1〕判斷△MAB的形狀，并說(shuō)明理由；〔2〕過(guò)原點(diǎn)的任意直線〔不與y軸重合〕交拋物線于C、D兩點(diǎn)，連接MC、MD，試判斷MC、MD是否垂直，并說(shuō)明理由．四、二次函數(shù)與線段題目類型：①求解線段長(zhǎng)度〔定值，最值〕：充分利用勾股定理、全等、相似、特殊角〔30°，45°，60°，90°，120°等〕、特殊三角形〔等腰△、等腰直角△、等邊△〕、特殊線〔中位線、中垂線、角平分線、弦等〕、對(duì)稱、函數(shù)〔一次函數(shù)、反比例函數(shù)、二次函數(shù)等〕等知識(shí)。②判斷線段長(zhǎng)度關(guān)系：a=b,a=√2b,a+b=c,a+b=√2c,a2+b2=c2,a*b=c2【模擬題訓(xùn)練】5．〔2021?模擬〕如圖1，P〔m，n〕是拋物線y=*2﹣1上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)〔0，﹣2〕且與*軸平行的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．【特例探究】〔1〕填空，當(dāng)m=0時(shí)，OP=_________，PH=_________；當(dāng)m=4時(shí)，OP=_________，PH=_________．【猜想驗(yàn)證】〔2〕對(duì)任意m，n，猜想OP與PH大小關(guān)系，并證明你的猜想．【拓展應(yīng)用】〔3〕如圖2，如果圖1中的拋物線y=*2﹣1變成y=*2﹣4*+3，直線l變成y=m〔m＜﹣1〕．拋物線y=*2﹣4*+3的頂點(diǎn)為M，交*軸于A、B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，0〕，N是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，直線y=m〔m＜﹣1〕與對(duì)稱軸于點(diǎn)C，假設(shè)對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離．①用含m的代數(shù)式表示MC、MN及GN的長(zhǎng)，并寫(xiě)出相應(yīng)的解答過(guò)程；②求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．五、二次函數(shù)與角度結(jié)題方法總結(jié)角度相等的利用和證明：①直接計(jì)算②平行線③等腰三角形④全等、相似三角形⑤角平分線性質(zhì)⑥倒角〔∠1=∠3，∠2=∠3→∠1=∠2〕【構(gòu)造三垂直模型法】例1：如圖，在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，點(diǎn)P為拋物線上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)A的坐標(biāo)為〔4，2〕，假設(shè)∠AOP=45°，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

【直接計(jì)算】例2.如圖，拋物線與*軸交于A，B兩點(diǎn)，與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D是拋物線的對(duì)稱軸與*軸的交點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線上一點(diǎn)，且∠DCP=30°，則符合題意的點(diǎn)P的坐標(biāo)為()

【與幾何圖形結(jié)合】例4、二次函數(shù)的圖象與*軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)〕，與y軸交于C點(diǎn)，在二次函數(shù)的圖象上是否存在點(diǎn)P，使得∠PAC為銳角.假設(shè)存在，請(qǐng)你求出P點(diǎn)的橫坐標(biāo)取值圍；假設(shè)不存在，請(qǐng)你說(shuō)明理由?！纠孟嗨啤坷?、拋物線的圖象與軸交于、兩點(diǎn)〔點(diǎn)在點(diǎn)的左邊〕，與軸交于點(diǎn)C〔0，3〕，過(guò)點(diǎn)作軸的平行線與拋物線交于點(diǎn)，拋物線的頂點(diǎn)為，直線經(jīng)過(guò)、兩點(diǎn).〔1〕求此拋物線的解析式；〔2〕連接、、，試比較和的大小，并說(shuō)明你的理由.【模擬題訓(xùn)練】6．〔2021?松江區(qū)一模〕在平面直角坐標(biāo)系*Oy中，二次函數(shù)y=a*2+b*的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔1，﹣3〕和點(diǎn)〔﹣1，5〕；〔1〕求這個(gè)二次函數(shù)的解析式；〔2〕將這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，請(qǐng)用m的代數(shù)式表示平移后函數(shù)圖象頂點(diǎn)M的坐標(biāo)；〔3〕在第〔2〕小題的條件下，如果點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔2，3〕，CM平分∠PCO，求m的值．六、二次函數(shù)與平行四邊形解題方法總結(jié)：①平行線的性質(zhì)〔同位角，錯(cuò)角，同旁角〕②比較一次函數(shù)k值③平行四邊形的性質(zhì)④注意多解性【模擬題訓(xùn)練】7．如圖，拋物線y=*2+b*﹣3與*軸交于A、B兩點(diǎn)〔點(diǎn)A在點(diǎn)B左側(cè)〕，直線l與拋物線交于A、C亮點(diǎn)，其中C的橫坐標(biāo)為2．〔1〕求A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線AC的函數(shù)解析式；〔2〕P是線段AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作y軸的平行線交拋物線于點(diǎn)E，求△ACE面積的最大值；〔3〕點(diǎn)G是拋物線上的動(dòng)點(diǎn)，在*軸上是否存在點(diǎn)F，使以A、C、F、G四個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形.如果存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)F的坐標(biāo)；假設(shè)不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．七、二次函數(shù)與圖形轉(zhuǎn)換常見(jiàn)圖像變換：①平移〔上加下減，左加右減〕②軸對(duì)稱〔折疊〕【模擬題訓(xùn)練】8．〔2021?西城區(qū)一模〕拋物線y=*2﹣k*﹣3與*軸交于點(diǎn)A，B，與y軸交于點(diǎn)C，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為〔1+k，0〕．〔1〕求拋物線對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；〔2〕將〔1〕中的拋物線沿對(duì)稱軸向上平移，使其頂點(diǎn)M落在線段BC上，記該拋物線為G，求拋物線G所對(duì)應(yīng)的函數(shù)表達(dá)式；〔3〕將線段BC平移得到線段B′C′〔B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為B′，C的對(duì)應(yīng)點(diǎn)為C′〕，使其經(jīng)過(guò)〔2〕中所得拋物線G的頂點(diǎn)M，且與拋物線G另有一個(gè)交點(diǎn)N，求點(diǎn)B′到直線OC′的距離h的取值圍．模擬訓(xùn)練題參考答案1考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕分別令解析式y(tǒng)=﹣*+2中*=0和y=0，求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；〔2〕設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a*2+b*+c，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式，求出a、b、c的值，進(jìn)而求得解析式；〔3〕由〔2〕的解析式求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再由勾股定理求出CD的值，再以點(diǎn)C為圓心，CD為半徑作弧交對(duì)稱軸于P1，以點(diǎn)D為圓心CD為半徑作圓交對(duì)稱軸于點(diǎn)P2，P3，作CE垂直于對(duì)稱軸與點(diǎn)E，由等腰三角形的性質(zhì)及勾股定理就可以求出結(jié)論；〔4〕設(shè)出E點(diǎn)的坐標(biāo)為〔a，﹣a+2〕，就可以表示出F的坐標(biāo)，由四邊形CDBF的面積=S△BCD+S△CEF+S△BEF求出S與a的關(guān)系式，由二次函數(shù)的性質(zhì)就可以求出結(jié)論．解答：解：〔1〕令*=0，可得y=2，令y=0，可得*=4，即點(diǎn)B〔4，0〕，C〔0，2〕；〔2〕設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a*2+b*+c，將點(diǎn)A、B、C的坐標(biāo)代入解析式得，，解得：，即該二次函數(shù)的關(guān)系式為y=﹣*2+*+2；〔3〕∵y=﹣*2+*+2，∴y=﹣〔*﹣〕2+，∴拋物線的對(duì)稱軸是*=．∴OD=．∵C〔0，2〕，∴OC=2．在Rt△OCD中，由勾股定理，得CD=．∵△CDP是以CD為腰的等腰三角形，∴CP1=DP2=DP3=CD．如圖1所示，作CH⊥*對(duì)稱軸于H，∴HP1=HD=2，∴DP1=4．∴P1〔，4〕，P2〔，〕，P3〔，﹣〕；〔4〕當(dāng)y=0時(shí)，0=﹣*2+*+2∴*1=﹣1，*2=4，∴B〔4，0〕．∵直線BC的解析式為：y=﹣*+2．如圖2，過(guò)點(diǎn)C作CM⊥EF于M，設(shè)E〔a，﹣a+2〕，F(xiàn)〔a，﹣a2+a+2〕，∴EF=﹣a2+a+2﹣〔﹣a+2〕=﹣a2+2a〔0≤*≤4〕．∵S四邊形CDBF=S△BCD+S△CEF+S△BEF=BD?OC+EF?CM+EF?BN，=+a〔﹣a2+2a〕+〔4﹣a〕〔﹣a2+2a〕，=﹣a2+4a+〔0≤*≤4〕．=﹣〔a﹣2〕2+∴a=2時(shí)，S四邊形CDBF的面積最大=，∴E〔2，1〕．點(diǎn)評(píng)：此題考察了二次函數(shù)的綜合運(yùn)用，涉及了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，勾股定理的運(yùn)用，等腰三角形的性質(zhì)的運(yùn)用，四邊形的面積的運(yùn)用，解答時(shí)求出函數(shù)的解析式是關(guān)鍵．2．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕根據(jù)直線的解析式求得A、B的坐標(biāo)，然后根據(jù)待定系數(shù)法即可求得拋物線的解析式；〔2〕作CD⊥*軸于D，根據(jù)題意求得∠OAB=∠CBD，然后求得△AOB∽△BDC，根據(jù)相似三角形對(duì)應(yīng)邊成比例求得CD=2BD，從而設(shè)BD=m，則C〔2+m，2m〕，代入拋物線的解析式即可求得；〔3〕分兩種情況分別討論即可求得．解答：解：〔1〕把*=0代入y=﹣*+1得，y=1，∴A〔0，1〕，把y=0代入y=﹣*+1得，*=2，∴B〔2，0〕，把A〔0，1〕，B〔2，0〕代入y=*2+b*+c得，，解得，∴拋物線的解析式y(tǒng)=*2﹣*+1，〔2〕如圖，作CD⊥*軸于D，∵∠ABC=90°，∴∠ABO+∠CBD=90°，∴∠OAB=∠CBD，∵∠AOB=∠BDC，∴△AOB∽△BDC，∴==2，∴CD=2BD，設(shè)BD=m，∴C〔2+m，2m〕，代入y=*2﹣*+1得，2m=〔m+2〕2﹣〔m+2〕+1，解得，m=2或m=0〔舍去〕，∴C〔4，4〕；〔3〕∵OA=1，OB=2，∴AB=，∵B〔2，0〕，C〔4，4〕，∴BC=2，①當(dāng)△AOB∽△PBC時(shí)，則=∴=，解得，PB=，作PE⊥*軸于E，則△AOB∽△PEB，∴=，即=，∴PE=1，∴P的縱坐標(biāo)為±1，代入y=﹣*+1得，*=0或*=4，∴P〔0，1〕或〔4，﹣1〕；②當(dāng)△AOB∽△CBP時(shí)，則=，即=，解得，PB=4，作PE⊥*軸于E，則△AOB∽△PEB，∴=，即=，∴PE=4，∴P的縱坐標(biāo)為±4，代入y=﹣*+1得，*=﹣6或*=10，∴P〔﹣6，4〕或〔10，﹣4〕；綜上，P的坐標(biāo)為〔0，1〕或〔4，﹣1〕或〔﹣6，4〕或〔10，﹣4〕．點(diǎn)評(píng)：此題是二次函數(shù)和一次函數(shù)的綜合題，考察了待定系數(shù)法、三角形相似的判定和性質(zhì)，數(shù)形結(jié)合運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．3．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕分類討論：△BOC∽△BOA，△BOC∽△AOB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得答案；〔2〕根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得C點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；〔3〕根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，可得關(guān)于a的方程，根據(jù)解方程，可得a的值可得p點(diǎn)坐標(biāo)，分類討論：當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔，1〕時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠COP的度數(shù)，根據(jù)等腰三角形得到性質(zhì)，可得答案；當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣，1〕時(shí)，根據(jù)正弦函數(shù)據(jù)，可得∠AOP的度數(shù)，根據(jù)三角形外角的性質(zhì)，可得答案．解答：解：〔1〕點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔m，0〕或〔4m，0〕．或〔﹣4m，0〕；〔2〕當(dāng)△BOC與△AOB全等時(shí)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔m，0〕，二次函數(shù)y=﹣*2+b*+c的圖象經(jīng)過(guò)A、B、C三點(diǎn)，，解得．二次函數(shù)解析式為y=﹣*2+4，點(diǎn)C的坐標(biāo)為〔2，0〕；〔3〕作PH⊥AC于H，設(shè)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔a，﹣a2+4〕，∵∠AHP=∠PHC=90°，∠APH=∠PCH=90°﹣∠CPH，∴△APH∽△PCH，∴=，即PH2=AH?CH，〔﹣a2+4〕2=〔a+2〕〔2﹣a〕．解得a=，或a=﹣，即P〔，1〕或〔﹣，1〕，如圖：當(dāng)點(diǎn)P1的坐標(biāo)為〔，1〕時(shí)，OP1=2=OC，sin∠P1OE==∴∠COP=30°，∴∠ACP==75°當(dāng)點(diǎn)P的坐標(biāo)為〔﹣，1〕時(shí)，sin∠P2OF==，∠P2OF=30°．由三角形外角的性質(zhì)，得∠P2OF=2∠ACP，即∠ACP=15°．點(diǎn)評(píng)：此題考察了二次函數(shù)綜合題，〔1〕利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵；〔2〕利用全等三角形的性質(zhì)，解三元一次方程組；〔3〕利用了相似三角形的性質(zhì)，分類討論是解題關(guān)鍵，正弦函數(shù)及等腰三角形的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)．4．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕由拋物線的解析式可知OA=OB=OM=1，得出∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°從而得出△MAB是等腰直角三角形．〔2〕分別過(guò)C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交*軸于E、F，過(guò)M點(diǎn)作*軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D〔m，m2﹣1〕，C〔n，n2﹣1〕，通過(guò)EG∥DH，得出=，從而求得m、n的關(guān)系，根據(jù)m、n的關(guān)系，得出△CGM∽△MHD，利用對(duì)應(yīng)角相等得出∠CMG+∠DMH=90°，即可求得結(jié)論．解答：解：〔1〕△MAB是等腰直角三角形．理由如下：由拋物線的解析式為：y=*2﹣1可知A〔﹣1，0〕，B〔1，0〕，∴OA=OB=OM=1，∴∠AMO=∠MAO=∠BMO=∠MBO=45°，∴∠AMB=∠AMO+∠BMO=90°，AM=BM，∴△MAB是等腰直角三角形．〔2〕MC⊥MD．理由如下：分別過(guò)C點(diǎn)，D點(diǎn)作y軸的平行線，交*軸于E、F，過(guò)M點(diǎn)作*軸的平行線交EC于G，交DF于H，設(shè)D〔m，m2﹣1〕，C〔n，n2﹣1〕，∴OE=﹣n，CE=1﹣n2，OF=m，DF=m2﹣1，∵OM=1，∴CG=n2，DH=m2，∵EG∥DH，∴=，即=，解得m=﹣，∵==﹣n，===﹣n，∴=，∵∠CGM=∠MHD=90°，∴△CGM∽△MHD，∴∠CMG=∠MDH，∵∠MDH+∠DMH=90°∴∠CMG+∠DMH=90°，∴∠CMD=90°，即MC⊥MD．5．〔2021?模擬〕如圖1，P〔m，n〕是拋物線y=*2﹣1上任意一點(diǎn)，l是過(guò)點(diǎn)〔0，﹣2〕且與*軸平行的直線，過(guò)點(diǎn)P作直線PH⊥l，垂足為H．【特例探究】〔1〕填空，當(dāng)m=0時(shí)，OP=1，PH=1；當(dāng)m=4時(shí)，OP=5，PH=5．【猜想驗(yàn)證】〔2〕對(duì)任意m，n，猜想OP與PH大小關(guān)系，并證明你的猜想．【拓展應(yīng)用】〔3〕如圖2，如果圖1中的拋物線y=*2﹣1變成y=*2﹣4*+3，直線l變成y=m〔m＜﹣1〕．拋物線y=*2﹣4*+3的頂點(diǎn)為M，交*軸于A、B兩點(diǎn)，且B點(diǎn)坐標(biāo)為〔3，0〕，N是對(duì)稱軸上的一點(diǎn)，直線y=m〔m＜﹣1〕與對(duì)稱軸于點(diǎn)C，假設(shè)對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離．①用含m的代數(shù)式表示MC、MN及GN的長(zhǎng)，并寫(xiě)出相應(yīng)的解答過(guò)程；②求m的值及點(diǎn)N的坐標(biāo)．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕根據(jù)勾股定理，可得OP的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得可得PH的長(zhǎng)；〔2〕根據(jù)圖象上的點(diǎn)滿足函數(shù)解析式，可得點(diǎn)的坐標(biāo)，根據(jù)勾股定理，可得PO的長(zhǎng)，根據(jù)點(diǎn)到直線的距離，可得PH的長(zhǎng)；〔3〕①根據(jù)該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，可得CM=MN，根據(jù)線段的和差，可得GN的長(zhǎng)；②對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，可得方程，根據(jù)解方程，可得m的值，再根據(jù)線段的和差，可得GN的長(zhǎng)．解答：解：〔1〕當(dāng)m=0時(shí)，P〔0，﹣1〕，OP=1，PH=﹣1﹣〔﹣2〕=1；當(dāng)m=4時(shí)，y=3，P〔4，3〕，OP==5，PH=3﹣〔﹣2〕=3+2=5，故答案為：1，1，5，5；〔2〕猜想：OP=PH，證明：PH交*軸與點(diǎn)Q，∵P在y=*2﹣1上，∴設(shè)P〔m，m2﹣1〕，PQ=|*2﹣1|，OQ=|m|，∵△OPQ是直角三角形，∴OP====m2+1，PH=yp﹣〔﹣2〕=〔m2﹣1〕﹣〔﹣2〕=m2+1OP=PH．〔3〕①CM=MN=﹣m﹣1，GN=2+m，理由如下：對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，M〔2，﹣1〕，即CM=MN=﹣m﹣1．GN=CG﹣CM﹣MN=﹣m﹣2〔m﹣1〕=2+m．②點(diǎn)B的坐標(biāo)是〔3，0〕，BG=1，GN=2+m．由勾股定理，得BN==，對(duì)于拋物線上每一點(diǎn)都有：該點(diǎn)到直線y=m的距離等于該點(diǎn)到點(diǎn)N的距離，得即1+〔2+m〕2=〔﹣m〕2．解得m=﹣．由GN=2+m=2﹣=，即N〔0，﹣〕，∴m=﹣，N點(diǎn)的坐標(biāo)是〔0，﹣〕．點(diǎn)評(píng)：此題考察了二次函數(shù)綜合題，利用了勾股定理，點(diǎn)到直線的距離，線段中點(diǎn)的性質(zhì)，線段的和差，利用的知識(shí)點(diǎn)較多，題目稍有難度．6．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕根據(jù)待定系數(shù)法，可得函數(shù)解析式；〔2〕根據(jù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，可得頂點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)圖象的平移，可得M點(diǎn)的坐標(biāo)；〔3〕根據(jù)角平分線的性質(zhì)，可得全等三角形，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)，可得方程組，根據(jù)解方程組，可得答案．解答：解：〔1〕由二次函數(shù)y=a*2+b*的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)〔1，﹣3〕和點(diǎn)〔﹣1，5〕，得，解得．二次函數(shù)的解析式y(tǒng)=*2﹣4*；〔2〕y=*2﹣4*的頂點(diǎn)M坐標(biāo)〔2，﹣4〕，這個(gè)二次函數(shù)的圖象向上平移，交y軸于點(diǎn)C，其縱坐標(biāo)為m，頂點(diǎn)M坐標(biāo)向上平移m，即M〔2，m﹣4〕；〔3〕由待定系數(shù)法，得CP的解析式為y=*+m，如圖：作MG⊥PC于G，設(shè)G〔a，a+m〕．由角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相等，DM=MG．在Rt△DCM和Rt△GCM中，Rt△DCM≌Rt△GCM〔HL〕．CG=DC=4，MG=DM=2，，化簡(jiǎn)，得8m=36，解得m=．點(diǎn)評(píng)：此題考察了二次函數(shù)綜合題，〔1〕利用了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式，〔2〕利用了二次函數(shù)頂點(diǎn)坐標(biāo)公式，圖象的平移方法；〔3〕利用了角平分線的性質(zhì)，全等三角形的性質(zhì)．7．考點(diǎn)：二次函數(shù)綜合題．分析：〔1〕將A的坐標(biāo)代入拋物線中，易求出拋物線的解析式；將C點(diǎn)橫坐標(biāo)代入拋物線的解析式中，即可求出C點(diǎn)的坐標(biāo)，再由待定系數(shù)法可求出直線AC的解析式．〔2〕欲求△ACE面積的最大值，只需求得PE線段的最大值即可．PE的長(zhǎng)實(shí)際是直線AC與拋物線的函數(shù)值的差，可設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為*，用*分別表示出P、E的縱坐標(biāo)，即可得到關(guān)于PE的長(zhǎng)、*的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)所得函數(shù)的性質(zhì)即可求得PE的最大值．〔3〕此題要分兩種情況：①以AC為邊，②以AC為對(duì)角線．確定平行四邊形后，可直接利用平行四邊形的性質(zhì)求出F點(diǎn)的坐標(biāo)．解答：解：〔1〕將A〔﹣1，0〕，代入y=*2+b*﹣3，得1﹣b﹣3=0，解得b=﹣2；∴y=*2﹣2*﹣3．將C點(diǎn)的橫坐標(biāo)*=2代入y=*2﹣2*﹣3，得y=﹣3，∴C〔2，﹣3〕；∴直線AC的函數(shù)解析式是y=﹣*﹣1．〔2〕∵A〔﹣1，0〕，C〔2，﹣3〕，∴OA=1，OC=2，∴S△ACE=PE×〔OA+OC〕=PE×3=PE，∴當(dāng)PE取得最大值時(shí)，△ACE的面積取最大值．設(shè)P點(diǎn)的橫坐標(biāo)為*〔﹣1≤*≤2〕，則P、E的坐標(biāo)分別為：P〔*，﹣*﹣1〕，E〔*，*2﹣2*﹣3〕；∵P點(diǎn)在E點(diǎn)的上方，PE=〔﹣*﹣1〕﹣〔*2﹣2*﹣3〕=﹣*2+*+2，∴當(dāng)*=時(shí)，PE的最大值=．則S△ACE最大=PE=×=，即△ACE的面積的最大值是．〔3〕存在4個(gè)這樣的點(diǎn)F，分別是F1〔1，0〕，F(xiàn)2〔﹣3，0〕，F(xiàn)3〔4+，0〕，F(xiàn)4〔4﹣，0〕．①如圖，連接C與拋物線和y軸的交點(diǎn)，∵C〔2，﹣3〕，G〔0，﹣3〕∴CG∥*軸，此時(shí)AF=CG=2，∴F點(diǎn)的坐標(biāo)是〔﹣3，0〕；②如圖，AF=CG=2，A點(diǎn)的坐標(biāo)為〔﹣1，0〕，因此F點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1，0〕；③如圖，此時(shí)C，G兩點(diǎn)的縱坐標(biāo)關(guān)于*軸對(duì)稱，因此G點(diǎn)的縱坐標(biāo)為3，代入拋物線中即可得出G點(diǎn)的坐標(biāo)為〔1±，3〕，由于直線GF的斜率與直線AC的一樣，因此可設(shè)直線GF的解析式為y=﹣*+h，將G點(diǎn)代入后可得出直線的解析式為y=﹣*+4+．因此直線GF與*軸的交點(diǎn)F的坐標(biāo)為〔4+，0〕；④如圖，同③可求出F的坐標(biāo)為〔4﹣，0〕；綜合四種情況可得出，存在4個(gè)符合條件的F點(diǎn)．點(diǎn)評(píng)：此題考察了一次函數(shù)、二次函數(shù)解析式確實(shí)定、二次函數(shù)的應(yīng)用、平行四邊形的判定和性質(zhì)等知識(shí)，〔3〕題應(yīng)將所有的情況都考慮到，不要漏解．8．考點(diǎn)：二