黑龍江省齊齊哈爾三立高級中學2021學年下學期高二年級6月月考數(shù)學試卷（理科）

黑龍江省齊齊哈爾三立高級中學2020-2021學年下學期高二年級6月月考數(shù)學試卷（理科）時間：120分鐘滿分：150分第I卷（選擇題）一、單選題（本大題共12個小題，每小題5分，共60分）1．若純虛數(shù)滿足，則（）A． B． C． D．2．極坐標系中，點到極軸和極點的距離分別為（）A．B．C．D．3．展開式中的系數(shù)為（）A． B．14 C． D．844．從甲、乙等位同學中任選人參加志愿者服務，則選中的人中甲、乙至少有人的情況有（）A．種 B．種 C．種D．種5．若函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，則（）A．1 B．2 C．3 D．46．計算定積分（）A． B． C． D．7．設，，隨機變量X的分布列是（）a則方差（）A．既與有關，也與有關 B．與有關，但與無關C．與有關，但與無關 D．既與無關，也與無關8．設隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1，4，則的值為（）參考數(shù)據(jù)：A．B．C．D．9．下列關于回歸分析的說法中錯誤的是（）A．回歸直線一定過樣本中心B．殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適C．甲、乙兩個模型的分別約為和，則模型乙的擬合效果更好D．兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好10．第屆冬季奧林匹克運動會將于年在北京舉辦．為了解某城市居民對冰雪運動的關注情況，隨機抽取了該市人進行調查統(tǒng)計，得到如下列聯(lián)表．男女合計關注冰雪運動不關注冰雪運動合計根據(jù)列聯(lián)表可知（）參考公式：，其中．附表：A．該市女性居民中大約有的人關注冰雪運動B．該市男性屆民中大約有的人關注冰雪運動C．有的把握認為該市居民是否關注冰雪運動與性別有關D．有的把握認為該市居民是否關注冰雪運動與性別有關11．同宿舍六位同學在食堂排隊取餐，其中A，B，C三人兩兩不相鄰，A和D是雙胞胎必須相鄰，這樣的排隊方法有（）A．24種 B．48種 C．72種D．96種12．若函數(shù)存在零點，則的取值范圍為（）A．B．C． D．第II卷（非選擇題）二、填空題（本大題共4個小題，每小題5分，共20分）13．某班班會準備從含甲、乙、丙的6名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，則甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為______．14．i表示虛數(shù)單位，則______．15．的展開式中常數(shù)項為___________16．設隨機變量ξ服從二項分布，則等于__________三、解答題（本大題共6個小題，17題10分，18-22題每題12分，共70分）17．為了解某小區(qū)業(yè)主對物業(yè)滿意度情況之間的關系，某興趣小組按性別采用分層抽樣的方法，從全小區(qū)中抽取容量為200的樣本進行調查被抽中的居民分別對物業(yè)服務進行評分，滿分為100分調查結果顯示：最低分為40分，最高分為90分隨后，興趣小組將男、女居民的評分結果按照相同的分組方式分別整理成了頻數(shù)分布表和頻率分布直方圖，圖表如下：男居民評分結果的頻數(shù)分布表分數(shù)區(qū)間頻數(shù)33163820為了便于研究，興趣小組將居民對物業(yè)服務的評分轉換成了“滿意度情況”，二者的對應關系如下：分數(shù)滿意度情況不滿意一般比較滿意滿意非常滿意（1）求的值；（2）為進一步改善物業(yè)服務狀況，從評分在的男居民中隨機抽取3人進行座談，記這3人中對物業(yè)服務“不滿意”的人數(shù)為，求的分布列與數(shù)學期望；（3）以調查結果的頻率估計概率，從該小區(qū)所有居民中隨機抽取一名居民，求其對物業(yè)服務“比較滿意”的概率18．高一某學生參加學校的數(shù)學競賽選拔考試，本次考試共有道選擇題組成得分規(guī)定：做對一道題得分，做錯一道題得分，不做得分，分及格該學生的目標至少得分，且確定該學生前道題的均正確，而剩下的道題每道題做對的概率均為（1）若該學生道題全都做，求得分的分布列和數(shù)學期望；（2）該學生做多少道題時及格的概率最大19．中國是世界上沙漠化最嚴重的國家之一，沙漠化造成生態(tài)系統(tǒng)失衡，可耕地面積不斷縮小，對中國工農(nóng)業(yè)生產(chǎn)和人民生活帶來嚴重影響．隨著綜合國力逐步增強，西北某地區(qū)大力興建防風林帶，引水拉沙，引洪淤地，開展了改造沙漠的巨大工程，該地區(qū)于2017年投入沙漠治理經(jīng)費2億元，從2018年到2020年連續(xù)3年每年增加沙漠治理經(jīng)費1億元，近4年沙漠治理經(jīng)費投入（億元）和沙漠治理面積（萬畝）的相關數(shù)據(jù)如下表所示：年份2017201820192020234526394954（1）通過繪制散點圖看出，可用線性回歸模型擬合與的關系，請用相關系數(shù)加以說明；（結果保留3位小數(shù)）（2）建立關于的回歸方程；（3）若保持以往的沙漠治理經(jīng)費增加幅度，請預測到哪一年沙漠治理面積突破100萬畝．參考數(shù)據(jù)：，；參考公式：相關系數(shù)，，．20．某小區(qū)準備在小區(qū)廣場安裝運動器材，為了解男女業(yè)主對安裝運動器材的意愿情況，隨即對該小區(qū)100名業(yè)主做了調查，得到如下2×2列聯(lián)表：愿意不愿意合計男業(yè)主301545女業(yè)主451055合計7525100（Ⅰ）判斷能否有的把握認為“是否愿意安裝運動器材與業(yè)主性別有關”；（Ⅱ）從不愿意安裝運動器材的業(yè)主中按性別用分層抽樣的方法抽取5人，了解不愿意安裝運動器材的原因，再從這5人中選2人參觀其他小區(qū)的運動場所，求這2人中恰好有1人為女業(yè)主的概率參考公式：，其中參考數(shù)據(jù)：21．已知函數(shù)（Ⅰ）求的單調遞減區(qū)間；（Ⅱ）若當時，恒成立，求實數(shù)a的取值范圍22．已知函數(shù)．（1）討論的單調性；（2）是否存在實數(shù)a，使得有兩個零點說明理由．

參考答案一、選擇題1．A【分析】設，代入即可,【詳解】設則，所以，故選：2．C【分析】根據(jù)極坐標的定義求解【詳解】點到極軸的距離，到極點的距離故選：C3．B【分析】求得二項展開式的通項，結合通項公式，確定的值，代入即可求解【詳解】由題意，二項展開式的通項公式為，令，得，所以的系數(shù)為故選：B4．D【分析】列舉法寫出所有情況即可【詳解】設這五位同學分別是甲、乙、丙、丁、戊，則從這人中任選人且選中的人中甲、乙至少有人的情況有：甲乙、甲丙、甲丁、甲戊、乙丙、乙丁、乙戊，共種情況故選：D．5．B【分析】由切點在切線上可得，可得，根據(jù)導數(shù)的幾何意義，導數(shù)值就是該點處的切線的斜率，即可得解【詳解】函數(shù)的圖象在點處的切線方程是，可得，，則故選：B6．B【分析】利用微積分的基本定理求解【詳解】，，故選：B7．B【分析】根據(jù)方差公式求出方差，再判斷即可【詳解】由分布列可得，故故選：B【點睛】關鍵點點睛：解決本題的關鍵是熟練掌握期望和方差的公式8．D【分析】由已知得，，再根據(jù)正態(tài)分布密度函數(shù)的對稱性和參考數(shù)據(jù)可得選項【詳解】因為隨機變量ξ服從正態(tài)分布N1，4，所以，即，所以，故選：D9．C【分析】根據(jù)回歸直線過樣本中心點可判斷A選項的正誤；利用殘差圖與模型的擬合效果的關系可判斷B選項的正誤；利用相關指數(shù)與模型擬合效果的關系可判斷C選項的正誤；利用殘差平方和與模型擬合效果之間的關系可判斷D選項的正誤【詳解】對于A選項，回歸直線一定過樣本中心，A選項正確；對于B選項，殘差圖中殘差點比較均勻地落在水平的帶狀區(qū)域中，說明選用的模型比較合適，B選項正確；對于C選項，甲、乙兩個模型的分別約為和，則模型甲的擬合效果更好，C選項錯誤；對于D選項，兩個模型中殘差平方和越小的模型擬合的效果越好，D選項正確故選：C10．C【分析】計算出的觀測值，結合臨界值表可得出結論【詳解】由列聯(lián)表中的數(shù)據(jù)可得，因此，有的把握認為該市居民是否關注冰雪運動與性別有關故選：C11．C【分析】根據(jù)題意分3步進行分析：將除A，B，C之外的三人全排列，A必須安排在D相鄰的兩個空位中，將B，C安排在剩下的3個空位中，利用分步計數(shù)原理可得【詳解】根據(jù)題意分3步進行分析：第一步，將除A，B，C之外的三人全排列，有種情況，第二步，由于必須相鄰，則A必須安排在D相鄰的兩個空位中，有2種情況，第三步，將B，C安排在剩下的3個空位中，有種情況，則共有種不同的安排方法故選：C12．B【分析】函數(shù)存在零點，即有根，構造同構的形式，利用換元法轉化為，利用導數(shù)研究函數(shù)的值域即可【詳解】方法一：函數(shù)存在零點，即有根因為，所以有根設，則，即令，則，當時，，所以在上單增；當時，，所以在上單減；所以當時，y有最小值1要使有解，只需故選：B方法二：因為，所以令，因為在上單調遞增，所以，即當時，;當時，所以在上單調遞減，在上單調遞增所以要使代存在零點，只需，即故選：B【點睛】思路點睛：利用導數(shù)硏究函數(shù)零點或方程根，通常有三種思路：①利用最值或極值研究；②利用數(shù)形結合思想研究；③構造輔助函數(shù)硏究二、填空題13．【分析】根據(jù)題意利用排列組合首先求出基本事件總數(shù)，再求出要求的條件所包含的基本事件個數(shù)，利用古典概型即可求得結果【詳解】某班班會準備從含甲、乙、丙的6名學生中選取4人發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一個發(fā)言，且甲、乙都發(fā)言時丙不能發(fā)言，所以基本事件總數(shù)，甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰包含的基本事件個數(shù)，所以甲、乙兩人都發(fā)言且發(fā)言順序不相鄰的概率為故答案為：14．1【分析】根據(jù)虛數(shù)單位的運算性質求解出原式的結果【詳解】解：因為，所以且，所以，故答案為：【點睛】結論點睛：虛數(shù)單位的常見運算性質：（1）；（2）15．【分析】直接利用二項展開式的通項公式即可求解【詳解】，故展開式中常數(shù)項為：故答案為：【點睛】二項式定理類問題的處理思路：利用二項展開式的通項進行分析．16．【分析】將轉化為求，即可得到答案；【詳解】，故答案為：三、解答題17．（1）；（2）分布列見解析，；（3）【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖中各個小矩形的面積和為1求解即可；（2）根據(jù)題意，隨機變量服從超幾何分布，進而求解即可；（3）由頻率分布直方圖得女居民對物業(yè)服務“比較滿意”的人數(shù)共有人，由頻率分布表得男居民對物業(yè)服務“比較滿意”的共有16人，進而得答案【詳解】（1）因為，所以（2）依題意，隨機變量的所有可能取值為0，1，2，3則，，，所以隨機變量的分布列為0123故的分布列與數(shù)學期望（3）設事件{隨機抽取一名居民，對物業(yè)服務“比較滿意”}因為樣本人數(shù)200人，其中男居民共有80人，所以樣本中女居民共有120人由頻率分布直方圖可知，女居民對物業(yè)服務“比較滿意”的人數(shù)共有：人由頻數(shù)分布表，可知男居民對物業(yè)服務“比較滿意”的共有16人，所以隨機抽取一名居民，對物業(yè)服務“比較滿意”的概率為【點睛】本題考查頻率分布直方圖中的數(shù)據(jù)計算，超幾何分布，頻率估計概率等問題，考查數(shù)據(jù)處理能力，運算求解能力，是中檔題本題解題的關鍵在于認真閱讀試題，理清數(shù)據(jù)，合理的進行數(shù)據(jù)處理，求解18．（1）分布列見解析，數(shù)學期望；（2）該學生解答道題時及格的概率最大【分析】（1）首先確定所有可能的取值，利用二項分布概率公式可求得每個取值對應的概率，由此得到分布列；利用數(shù)學期望的計算公式可求得；（2）分別計算出該學生再做對時及格的概率，由此可得結果【詳解】（1）由題意知：可能取值為，；；；；；的分布列為：（2）該學生前道題的均正確，再做道題及格的概率為；再做道題及格的概率為；再做道題及格的概率為；再做道題及格的概率為，該學生解答道題時及格的概率最大【點睛】方法點睛：求解離散型隨機變量分布列的步驟為：1首先確定隨機變量的所有可能取值；2計算取得每一個值的概率，可通過所有概率和為來檢驗是否正確；3進行列表，畫出分布列的表格；4最后扣題，根據(jù)題意求數(shù)學期望或者其它．19．（1）答案見解析；（2）；（3）到2025年沙漠治理面積可突破100萬畝．【分析】（1）根據(jù)數(shù)據(jù)，求得，再分別求得、，代入公式，即可求得相關系數(shù)r，分析即可得答案（2）將數(shù)據(jù)代入公式，即可求得，進而可得，即可得答案（3）當，求得，當時，，即可得答案【詳解】（1）由已知數(shù)據(jù)和參考數(shù)據(jù)得，，，，則所以．因為與的相關系數(shù)近似為，說明與的線性相關程度相當高，從而可以用線性回歸模型擬合與的關系．（2），．所以回歸方程為．（3）當時，，當時，，所以到2025年沙漠治理面積可突破100萬畝．20．（Ⅰ）沒有；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）由已知求得的值，與臨界值比較可得結論；（Ⅱ）分別列舉從5人中選2人的事件，得到2人中恰好有1人為女業(yè)主的事件，再由古典概型概率計算可得．【詳解】（Ⅰ）由表中數(shù)據(jù)可得的觀測值，∴沒有的把握認為“是否愿意安裝運動器材與業(yè)主性別有關”（Ⅱ）∵不愿意安裝運動器材的業(yè)主中，男業(yè)主與女業(yè)主的人數(shù)之比為，∴抽取的5人中男業(yè)主有3人，女業(yè)主有2人設這3名男業(yè)主分別為A，B，C，這2名女業(yè)主分別為a，b，從5人中選2人有共10種選法，其中恰有1名女業(yè)主的選法有，共6種，∴所求概率為21．（Ⅰ）單調遞減區(qū)間為；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）求函數(shù)的導函數(shù)，求的區(qū)間即為所求減區(qū)間；（Ⅱ）化簡不等式，變形為，即求，令，求的導函數(shù)判斷的單調性求出最小值，可求出的范圍【詳解】（Ⅰ）由題可知令，得，從而，∴的單調遞減區(qū)間為