精選第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用近年試題

精選第9章多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用近年試題0809B一、填空題〔每題3分，共18分〕2、設(shè)，那么其全微分．3、函數(shù)的所有間斷點(diǎn)是.二、選擇題〔每題3分，共15分〕1、，那么極限〔Ａ〕〔A〕不存在〔B〕1〔C〕2〔D〕0A當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向時(shí)，顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以不存在．2、在曲線所有切線中，與平面平行的切線〔Ａ〕〔A〕只有一條；〔B〕只有兩條；〔C〕至少有3條；〔D〕不存在曲線的切向量,平面的法向量,,所以只有一條切線滿足條件.3、點(diǎn)是函數(shù)的〔Ｂ〕〔A〕極值點(diǎn)；〔B〕.駐點(diǎn)但不是極值點(diǎn)；〔C〕是極值點(diǎn)但不是駐點(diǎn)；〔D〕以上都不對(duì)分析:令,得(0,0)是駐點(diǎn),但點(diǎn)(0,0)是的鞍點(diǎn),不是極值點(diǎn).四、計(jì)算題〔每題8分，共32分〕1、設(shè)求和解五、解答題〔每題分10，共20分〕1、要造一個(gè)容積為定數(shù)a的長(zhǎng)方形無(wú)蓋容器，如何設(shè)計(jì)它的尺寸才能使它的外表積最??？此時(shí)最小外表積為多少？解：設(shè)長(zhǎng)方體的長(zhǎng)寬高分別為那么問(wèn)題就是在條件下求函數(shù)的最小值.作拉格朗日函數(shù)求其對(duì)的偏導(dǎo)數(shù)，并使之為零，得到因?yàn)槎疾坏扔诹?，得代?得這是唯一可能的極值點(diǎn).由問(wèn)題本身可知最小值一定存在，所以最小值就在這個(gè)可能的極值點(diǎn)處取得.即長(zhǎng)寬高為時(shí),最小外表積0910B一、填空題〔每題2分，共10分〕2、設(shè)函數(shù)是由方程給出，那么全微分．,.3、曲面在點(diǎn)處的切平面方程為.切平面得法向量切平面方程為二、選擇題〔每題2分，共10分〕1、二元函數(shù)在點(diǎn)處可微是兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)都存在的〔Ａ〕〔A〕充分條件〔B〕必要條件〔C〕充分必要條件〔D〕既非充分又非必要條件.四、計(jì)算題〔每題10分，共40分〕1、設(shè)，而、，求:、．解：，1011B一、填空題〔每題3分，共15分〕(1)設(shè)二元函數(shù)，那么.(2)旋轉(zhuǎn)拋物面在點(diǎn)處的法線方程是.法線的方向向量法線方程是.二、單項(xiàng)選擇題〔每題3分，共15分〕(4)設(shè)的全微分為那么點(diǎn)(C)不是的連續(xù)點(diǎn)；不是的極值點(diǎn)；是的極小值點(diǎn)；是的極大值點(diǎn).分析:,得,由,那么點(diǎn)是的極小值點(diǎn).三、求偏導(dǎo)數(shù)〔每題10分，共20分〕〔1〕設(shè)，其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù).求；；.解:(2)設(shè)是方程在點(diǎn)確定的隱函數(shù)，求及解:令…1分那么…6分；…8分…10分六、應(yīng)用題〔此題總分值10分〕從斜邊長(zhǎng)為的一切直角三角形中，求有最大周長(zhǎng)的直角三角形，并求出最大周長(zhǎng).解：設(shè)另兩邊長(zhǎng)分別為，那么，周長(zhǎng)…2分設(shè)拉格朗日函數(shù)…4分令…6分解方程組得為唯一駐點(diǎn)，且最大周長(zhǎng)一定存在…8分故當(dāng)時(shí)，最大周長(zhǎng)為…10分1112B一、填空題〔每題2分，共10分〕1.在點(diǎn)處的2.設(shè)函數(shù)在點(diǎn)取得極值，那么常數(shù).,,所以例36設(shè)函數(shù)在處取得極值，試求常數(shù)a，并確定極值的類型．分析這是二元函數(shù)求極值的反問(wèn)題，即知道取得極值，只需要根據(jù)可導(dǎo)函數(shù)取得極值的必要條件和充分條件即可求解此題．解因?yàn)樵谔幍钠珜?dǎo)數(shù)均存在，因此點(diǎn)必為駐點(diǎn)，那么有，因此有，即．因?yàn)椋?，，，，所以，函?shù)在處取得極小值．二、選擇題〔每題2分，共10分〕3.在點(diǎn)處函數(shù)的全微分存在的充分條件為〔Ｃ〕(A)均存在(B)連續(xù)(C)的全部一階偏導(dǎo)數(shù)均連續(xù)(D)連續(xù)且均存在三、計(jì)算題〔每題8分，共40分〕1.設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，計(jì)算的值.解:設(shè)，那么，，4.求函數(shù)在點(diǎn)沿著從該點(diǎn)到點(diǎn)的方向?qū)?shù).解方向,.五、證明題〔每題7分，共7分〕證明在點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在，但不可微.證:,...................3分當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向時(shí)，.顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以不存在．這表示當(dāng)時(shí),1213B一、填空題〔每題2分，共10分〕(2)極限..分子有理化(3)設(shè)二元函數(shù)，那么.二、選擇題〔每題2分，共10分〕(1)設(shè)函數(shù)，那么極限(Ｄ)(A).(B).(C).(D)不存在.當(dāng)點(diǎn)沿曲線趨向時(shí)，顯然，當(dāng)k取值不同是，極限也不相同。所以不存在．(2)二元函數(shù)在點(diǎn)處的全微分存在是它在該點(diǎn)連續(xù)的(

Ａ)(A)充分條件.(B)必要條件.(C)充分必要條件.(D)既非充分也非必要條件.如果函數(shù)在一點(diǎn)可微分,那么函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)三、計(jì)算題〔每題8分，共40分〕(1)設(shè)，求，，和.解:(2)設(shè)是由方程所確定的隱函數(shù)，求和.解I：用隱函數(shù)求導(dǎo)公式， 解II：將看作的函數(shù)，兩邊對(duì)求導(dǎo)，得：即，同理兩邊對(duì)求導(dǎo)得解III：將方程兩邊求全微分，得：，解出得：，將z看作的函數(shù)，繼續(xù)求導(dǎo)，即得二階偏導(dǎo)數(shù)：，，四、應(yīng)用題〔每題10分，共20分〕(1)求旋轉(zhuǎn)拋物面上垂直于直線的切平面方程.解:令,任取旋轉(zhuǎn)拋物面上一點(diǎn)，該點(diǎn)的法向量,直線的方向向量因?yàn)樗笃矫娴姆ㄏ蛄颗c直線的方向向量平行,,所以代入,得,所以所求的切平面方程為或.注:直線的方向向量也可以按下面的兩種方式求1.把看成是的函數(shù)，在方程組中對(duì)求導(dǎo)，得，解得．那么方向向量2.令，，直線的方向向量，(2)求函數(shù)在條件下的最大值與最小值.解令，于是由解得即,為可能的極值點(diǎn)，可能的極值,,從而所求函數(shù)的最大值是，最小值是.．五、綜合題〔每題10分，共20分〕(2)設(shè)是定義在上的連續(xù)函數(shù)，是由圓和直線，所圍成的區(qū)域在第一象限局部〔，〕.記，求.解:區(qū)域用極坐標(biāo)表示0607高數(shù)A一、填空題〔每題4分，共32分〕填空題〔此題共5小題，每題4分，總分值20分〕1.函數(shù)的定義域?yàn)開______.5.曲面上點(diǎn)P(1,1,2)處的切平面方程為.切平面的法向量切平面方程或.二、單項(xiàng)選擇題〔此題共5小題，每題4分，總分值20分〕1.考慮二元函數(shù)的下面4條性質(zhì)：①②③④假設(shè)用表示可由性質(zhì)推出性質(zhì)，那么有[A](A)②③①;(B)③②①;(C)③④①;(D)③①④.2.坐標(biāo)原點(diǎn)(0,0)是函數(shù)的[B](A)既是駐點(diǎn)也是極值點(diǎn)；(B)駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)；(C)極值點(diǎn)但非駐點(diǎn)；(D)既非駐點(diǎn)也非極值點(diǎn).,所以(0,0)是駐點(diǎn)但非極值點(diǎn)三、計(jì)算題一〔此題共兩小題，總分值15分〕1.、；解:2.，求.解:注意在方程組中對(duì)求導(dǎo)，得，解得0708高數(shù)A一、填空題〔此題共5小題，每題4分，總分值20分〕1.極限2.曲面上點(diǎn)P(2,1,0)處的切平面方程為.設(shè),切平面的法向量切平面方程或.二、單項(xiàng)選擇題〔此題共5小題，每題4分，總分值20分〕1.設(shè),那么它在點(diǎn)(1,0)處(B).(A)取得極大值;(B)無(wú)極值;(C)取得極小值;(D)無(wú)法判定是否有極值.解:,.,,所以函數(shù)在點(diǎn)(1,0)處無(wú)極值.三、計(jì)算題〔此題共兩小題，總分值14分〕1.(7分)設(shè)函數(shù)其中具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),求.1(7分)解:3分7分2.(7分)設(shè)函數(shù)，求.解:令,1分2分4分將看作的函數(shù),繼續(xù)求導(dǎo),得7分0809A一、填空題〔每題2分，總分值10分〕1.極限2.曲面在點(diǎn)(1,1,2)處的切平面方程為.設(shè),切平面的法向量切平面方程或.二、選擇題〔每題2分，總分值10分〕1.函數(shù)在可微是它在該點(diǎn)兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在的(A).(A)充分條件;(B)必要條件;(C)充要條件;(D)非充分亦非必要條件.2.設(shè)在點(diǎn)(0,0)處(C).(A)取得極大值;(B)取得極小值;(C)無(wú)極值;(D)無(wú)法判定是否有極值.三、求偏導(dǎo)數(shù)或全微分〔每題8分，總分值24分〕1.設(shè)函數(shù),求dz和.解:2.設(shè)，求.解：，3設(shè)由確定，有一階連續(xù)偏導(dǎo)，求解:設(shè)那么六、〔8分〕求函數(shù)的極值解：解方程組求得以下五組解于是駐點(diǎn),又所以1.在處,故不是極值；2.在處故不是極值；3.在處故不是極值；4.在處故不是極值；5.在處故函數(shù)在點(diǎn)取得極大值，極大值為36.綜上所述，函數(shù)的極大值為36，無(wú)極小值.0910高數(shù)A一、填空題〔每題3分，共18分〕1.設(shè)，那么..3.函數(shù)的全微分為.二、選擇題〔每題3分，共18分〕4.曲面在任一點(diǎn)處的切平面與坐標(biāo)軸的截距之和為[B](A)；(B)3；(C)9；(D)1.三、計(jì)算題〔每題8分，共32分〕1.設(shè).解：；四、應(yīng)用題〔每題8分，共16分〕1.在已給的橢球面內(nèi)的一切內(nèi)接長(zhǎng)方體〔各邊分別平行于坐標(biāo)軸〕中，求其體積最大者.解：[此題是條件極值，約束條件是內(nèi)接于橢球面]由橢球的對(duì)稱性，不妨設(shè)是該球面上位于第Ⅰ卦限的任一點(diǎn)，那么約束條件為，此題不易變?yōu)橐辉瘮?shù)，采用拉格朗日數(shù)乘法解之。設(shè)內(nèi)接長(zhǎng)方體的相鄰邊長(zhǎng)為，其體積為：.構(gòu)造拉格朗日函數(shù)求得,=六、〔8分〕設(shè)函數(shù)f(u)在(0,+)內(nèi)具有二階偏導(dǎo)數(shù)，且滿足等式.驗(yàn)證；②假設(shè)求函數(shù)f(u)的表達(dá)式.解：①設(shè)，那么........2分同理，由...................4分②設(shè)，那么原方程化為：積分得：，即......................6分由得C=1.于是代入得：C1=0.函數(shù)f(u)的表達(dá)式為：.....................8分1011高數(shù)A一、填空題〔每題3分，共15分〕1、.2二、選擇題〔每題3分，共15分〕1、設(shè)可導(dǎo)函數(shù)滿足那么(B)是的極值點(diǎn)是的駐點(diǎn)是的連續(xù)點(diǎn)在處可微分三、求以下函數(shù)的導(dǎo)數(shù)〔每題6分，共18分〕1、，求解:2、，求解:設(shè)那么,3、，求，解:1112高數(shù)A一、填空題〔每題2分，共10分〕(1)極限.0二、選擇題〔每題2分，共10分〕(1)函數(shù)在點(diǎn)處的全微分存在的充分條件是(

Ｃ)(A)在點(diǎn)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在.(B)在點(diǎn)處連續(xù).(C)在點(diǎn)處的兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都連續(xù).(D)在點(diǎn)處連續(xù)并且兩個(gè)一階偏導(dǎo)數(shù)都存在.(2)設(shè),那么它在點(diǎn)處(

Ｂ

)(A)取得極大值.(B)無(wú)極值.(C)取得極小值.(D)無(wú)法判定是否有極值.解：解方程組求得解于是駐點(diǎn)又所以在處,可能是極值點(diǎn),也可能不是極值點(diǎn).但是在附近函數(shù)有大于0的點(diǎn)也有小于0的點(diǎn).所以在處無(wú)極值三、計(jì)算題〔每題10分，共40分〕(1)設(shè)，求，，和.(1)解：，…………5分，……………10分(2)求函數(shù)的極值.解：解方程組求得解于是得唯一駐點(diǎn)又,故函數(shù)在點(diǎn)取得極小值，極小值為五、應(yīng)用題〔10分〕設(shè)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿足.求所滿足的一階微分方程，并求其通解.(2)解：，………3分滿足的一階微分方程是.………5分通解.………10分1213高數(shù)A一、填空題〔每題2分，共10分〕(2)設(shè)二元函數(shù)，那么.二、選擇題〔每題2分，共10分〕(1)設(shè)函數(shù)，那么極限(A).(B).(C).(D)不存在.D(2)二元函數(shù)在點(diǎn)處的全微分存