2021-2022學(xué)年福建省龍巖市武平縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析

2021-2022學(xué)年福建省龍巖市武平縣第三中學(xué)高三數(shù)學(xué)理月考試題含解析一、選擇題：本大題共10小題，每小題5分，共50分。在每小題給出的四個選項中，只有是一個符合題目要求的1.已知函數(shù),若函數(shù)有唯一零點(diǎn),則下列說法錯誤的是（

）A.

B.函數(shù)在處的切線與直線平行C.函數(shù)在上的最大值為D.函數(shù)在上單調(diào)遞減參考答案：C2.已知函數(shù)f（x）=，若關(guān)于x的方程f（f（x））=a存在2個實數(shù)根，則a的取值范圍為（）A．[﹣24，0） B．（﹣∞，﹣24）∪[0，2） C．（﹣24，3） D．（﹣∞，﹣24]∪[0，2]參考答案：B【考點(diǎn)】根的存在性及根的個數(shù)判斷；分段函數(shù)的應(yīng)用．【分析】畫出函數(shù)f（x）=的圖象，數(shù)形結(jié)合分類討論，可得不同情況下方程f（f（x））=a根的個數(shù)，綜合可得答案．【解答】解：f（x）=的圖象如下圖所示：令t=f（x），則t∈（﹣∞，3]，當(dāng)a＞3時，方程f（f（x））=f（t）=a無實根，方程f（f（x））=a存在0個實數(shù)根，當(dāng)2≤a≤3時，f（t）=a有1實根，t∈[0，1]，f（x）=t此時有1實根，故方程f（f（x））=a存在1個實數(shù)根，當(dāng)0≤a＜2時，f（t）=a有1實根，t∈[﹣2，0），f（x）=t此時有2實根，故方程f（f（x））=a存在2個實數(shù)根，當(dāng)﹣24≤a＜0時，f（t）=a有2實根，t1∈[﹣26，﹣2），f（x）=t此時有2實根，t2∈（1，3]，f（x）=t此時有1實根，故方程f（f（x））=a存在3個實數(shù)根，當(dāng)a＜﹣24時，f（t）=a有2實根，t1∈（﹣∞，﹣26），f（x）=t此時有2實根，t2∈（3，+∞），f（x）=t此時無實根，故方程f（f（x））=a存在2個實數(shù)根，綜上所述：a∈（﹣∞，﹣24）∪[0，2），故選：B3.對于函數(shù),“的圖象關(guān)于y軸對稱”是“=是奇函數(shù)”的（

）A．充分而不必要條件

B．必要而不充分條件

C．充要條件

D．既不充分也不必要條件參考答案：B略4.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于A．第四象限

B．第三象限

C．第二象限

D．第一象限參考答案：AA.5.已知直線a和平面，那么a//的一個充分條件是

A．存在一條直線b，a//b且b

B．存在一條直線b，ab且b

C．存在一個平面，a∥且//

D．存在一個平面，//且//參考答案：6.已知，且為第四象限角，則為（

）（A）

（B）

（C）

（D）參考答案：A7.已知函數(shù)f(x)＝，正實數(shù)a、b、c滿足f(c)＜0＜f(a)＜f(b)，若實數(shù)d是函數(shù)f(x)的一個零點(diǎn)，那么下列5個判斷：①d＜a；②d＞b；③d＜c；④c＜a；⑤a＞b.其中可能成立的個數(shù)為(

)(A)4 (B)3 (C)2

(D)1參考答案：B8.已知：均為正數(shù)，，則使恒成立的的取值范圍是（

） （）

B． C． D．參考答案：A9.若是的重心，分別是角的對邊，若，則角（）A.

B.

C.

D.參考答案：D略10.已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ為實數(shù)，(a＋λb)∥c，則λ＝()A．

B．C．1

D．2參考答案：B二、填空題:本大題共7小題,每小題4分,共28分11.

．參考答案：π+2【考點(diǎn)】定積分．【專題】計算題．【分析】根據(jù)定積分的定義，找出三角函數(shù)的原函數(shù)然后代入計算即可．【解答】解：（x+sinx）=+1﹣（﹣1）=π+2，故答案為π+2．【點(diǎn)評】此題考查定積分的性質(zhì)及其計算，是高中新增的內(nèi)容，要掌握定積分基本的定義和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是找出原函數(shù)．12.在中,分別是角的對邊,且,則角的大小為

參考答案：略13.設(shè)向量，滿足，，且與的方向相反，則的坐標(biāo)為

。參考答案：(-4,-2)14.在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c；若a2﹣c2=bc，sinB=2sinC，則角A=．參考答案：考點(diǎn)：正弦定理；余弦定理．專題：計算題；解三角形．分析：先利用正弦定理化簡sinB=2sinC得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得a2=7c2，然后利用余弦定理表示出cosA，把表示出的關(guān)系式分別代入即可求出cosA的值，根據(jù)A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的值．解答：解：由sinB=2sinC及正弦定理可得b=2c，再由a2﹣c2=bc可得a2=7c2，再由余弦定理可得cosA===，∵0＜A＜π∴A=．故答案為：．點(diǎn)評：本題主要考查了正弦、余弦定理，及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，屬于中檔題．15.拋物線有如下光學(xué)性質(zhì):由其焦點(diǎn)射出的光線經(jīng)拋物線反射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線，如圖，一平行x軸的光線射向拋物線上的點(diǎn)P，經(jīng)過拋物線的焦點(diǎn)F反射后射向拋物線上的點(diǎn)Q，再反射后又沿平行x軸方向射出，若兩平行光線間的最小距離為6，則此拋物線的方程為_______.參考答案：【分析】聯(lián)立直線與拋物線方程，消去得到關(guān)于的方程，利用韋達(dá)定理得到的值，然后表示兩平行光線距離，并求出其最小值為，而由題意可知最小值為，從而得到，拋物線方程得解.【詳解】設(shè)，設(shè)兩平行光距離為，由題意可知，，因為，而直線過點(diǎn)，則設(shè)直線方程為：，因為，消去得，由韋達(dá)定理可得，則，所以，故拋物線方程為.【點(diǎn)睛】本題主要考查了拋物線方程的求解，涉及到韋達(dá)定理的應(yīng)用，屬于難題.對于涉及到直線與曲線相關(guān)的距離問題，常常運(yùn)用到韋達(dá)定理以及弦長公式進(jìn)行求解.16.若命題“存在實數(shù)，使”的否定是假命題，則實數(shù)的取值范圍為

。參考答案：17.給出下列四個命題：①函教＝lnx－2＋x在區(qū)間（1，e）上存在零點(diǎn)：②若＝0，則函數(shù)y＝f（x）在處取得極值：③若m≥一1，則函數(shù).的值城為R;④‘“a＝1”是“函數(shù)＝在定義域上是奇函數(shù)”的充分不必要條件。其中正確的是＿＿＿＿＿＿參考答案：①③④三、解答題：本大題共5小題，共72分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟18.（12分）甲、乙兩位同學(xué)從A、B、C、D…共n（n≥2，n∈N+）所高校中，任選兩所參加自主招生考試（并且只能選兩所高校），但同學(xué)甲特別喜歡A高校，他除選A高校外，再在余下的n﹣1所中隨機(jī)選1所；同學(xué)乙對n所高校沒有偏愛，在n所高校中隨機(jī)選2所．若甲同學(xué)未選中D高校且乙選中D高校的概率為．（1）求自主招生的高校數(shù)n；（2）記X為甲、乙兩名同學(xué)中未參加D高校自主招生考試的人數(shù)，求X的分布列和數(shù)學(xué)期望．參考答案：19.（本小題滿分12分）在平面直角坐標(biāo)系中，從曲線上一點(diǎn)做軸和軸的垂線，垂足分別為，點(diǎn)（為常數(shù)），且（）（1）求曲線的軌跡方程，并說明曲線是什么圖形；（2）當(dāng)且時，將曲線繞原點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到曲線，曲線與曲線四個交點(diǎn)按逆時針依次為，且點(diǎn)在一象限①證明：四邊形為正方形；②若，求值．參考答案：解（1）設(shè)，所以，由得①當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸的雙曲線；②當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸的橢圓；③當(dāng)時，曲線是圓；④當(dāng)時，曲線是焦點(diǎn)在軸的橢圓；

………6分（2）①當(dāng)且時，曲線是橢圓，曲線方程為,設(shè)所以兩曲線四個交點(diǎn)坐標(biāo)，所以四邊形為正方形；

………9分②設(shè)，當(dāng)時，且解得．

………12分20.已知冪函數(shù)（p∈N）在（0，+∞）上是增函數(shù)，且在定義域上是偶函數(shù)．（1）求p的值，并寫出相應(yīng)的f（x）的解析式；（2）對于（1）中求得的函數(shù)f（x），設(shè)函數(shù)g（x）=﹣qf[f（x）]+（2q﹣1）f（x）+1，問：是否存在實數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（﹣4，0）上是增函數(shù)？若存在，請求出來；若不存在，請說明理由．參考答案：【考點(diǎn)】冪函數(shù)的性質(zhì)；二次函數(shù)的性質(zhì)．【專題】計算題．【分析】（1）因為冪函數(shù)因為函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)得：得到p2+p+＞0，求出p的解集，找出整數(shù)解即可．又因為函數(shù)是偶函數(shù)得到p的整數(shù)解，最后寫出相應(yīng)的f（x）的解析式；（2）對于存在性問題，可先假設(shè)存在，即假設(shè)存在實數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（﹣4，0）（10）上是增函數(shù)，再利用復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性，求出q的值，若出現(xiàn)矛盾，則說明假設(shè)不成立，即不存在；否則存在．【解答】解：（1）因為函數(shù)在（0，+∞）上是增函數(shù)得：∴p2+p+＞0，解得﹣1＜p＜3又因為p∈N則p=0，2函數(shù)為不為偶函數(shù)則p=1．故f（x）=x2．（2）存在．可設(shè)x2=t則函數(shù)g（x）=﹣qf（x）+（2q﹣1）x2+1=﹣qt2+（2q﹣1）t+1，t≥0，得其對稱軸為t=

又q＜0，所以拋物線開口向上，g（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣4）上是減函數(shù)，且在（﹣4，0）上是增函數(shù)所以t必須在區(qū)間（16，+∞）上是減函數(shù)，且在（0，16）上是增函數(shù)又t=x2本身是增函數(shù)，那么對稱軸要等于16即=16

解得q=﹣滿足（q＜0）的條件．

所以存在實數(shù)q（q＜0），使得g（x）在區(qū)間（﹣∞，﹣4]上是減函數(shù)，且在區(qū)間（﹣4，0）（10）上是增函數(shù)．【點(diǎn)評】考查學(xué)生冪函數(shù)的性質(zhì)掌握能力，函數(shù)奇偶性的判斷能力，以及函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用能力．21.[選修4-5：不等式選講]已知函數(shù)f（x）=|x﹣2a|+|x+|（1）當(dāng)a=1時，求不等式f（x）＞4的解集；（2）若不等式f（x）≥m2﹣m+2對任意實數(shù)x及a恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．參考答案：【考點(diǎn)】絕對值三角不等式；絕對值不等式的解法．【分析】（1）當(dāng)a=1時，分類討論，求不等式f（x）＞4的解集；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，利用不等式f（x）≥m2﹣m+2對任意實數(shù)x及a恒成立，求實數(shù)m的取值范圍．【解答】解：（1）當(dāng)a=1時，不等式f（x）＞4為|x﹣2|+|x+1|＞4．x＜﹣1時，不等式可化為﹣（x﹣2）﹣（x+1）＞4，解得x＜﹣，∴x＜﹣；﹣1≤x≤2時，不等式可化為﹣（x﹣2）+（x+1）＞4，不成立；x＞2時，不等式可化為（x﹣2）+（x+1）＞4，解得x＞，∴x＞；綜上所述，不等式的解集為{x|x＜﹣或x＞}；（2）f（x）=|x﹣2a|+|x+|≥|2a+|=|2a|+||，不等式f（x）≥m2﹣m+2對任意實數(shù)x及a恒成立，∴2m2﹣m+2，∴0≤m≤1．22.已知曲線C的極坐標(biāo)方程是ρ=4cosθ．以極點(diǎn)為平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)，極軸為x軸的正半軸，建立平面直角坐標(biāo)系，直線l的參數(shù)方程是（t為參數(shù)）．（1）將曲線C的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程；（2）若直線l與曲線C相交于A、B兩點(diǎn)，且，求直線的傾斜角α的值．參考答案：【考點(diǎn)】簡單曲線的極坐標(biāo)方程；參數(shù)方程化成普通方程．【分析】（1）由曲線C的極坐標(biāo)方程，得ρ2=4ρcosθ．由x2+y2=ρ2，x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出曲線C的直角坐標(biāo)方程．（2）將直線l的參數(shù)方程代入圓的方程，得：t2﹣2tcosα﹣3=0．利用韋達(dá)定理和弦長公式能求出直線的傾斜角α的值．【解答】