第十章曲線積分與曲面積分

章 積 -1 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度(x,y,z),求第章曲 “大化小,常代變,近似和,求極限積的方法,曲 曲 Mlim

分

k 其中,表示n小塊曲面的直徑 -2 定義為有界光滑曲面

f(xy,z上的一個(gè)有界函數(shù) 若對(duì)做任意分割和局部區(qū)十章 線

k

記作fxyz)d分積都存在f(xy,z上分曲與的曲面積分或第一類曲面積分f(xy,z叫做曲積分積分函數(shù),叫做積分曲面.dS叫做曲面面積元素?fù)?jù)此定義曲面面積為SdSMxyz)d-3 積分的存在性.fxyz連續(xù),則對(duì)面積的曲面積分存在十 ?對(duì)積分域的可加性.若是分片光滑的,例如分成線 1,2 線分 f(x,y,z)dS f(x,y,z)dSf(x,y,分 面曲線性性質(zhì)面積

設(shè)k1k2為常數(shù), k1f(x,y,z)k2g(x,y,z)dk1f(x,y,z)dSk2g(x,y,z)dS -4 定理: :zz(x,y),(x,y)Dx章十f(xy,z在上連續(xù)章

則曲面積分fxyz)dS曲存在,線分 f(x,y,z)dS分11zx(x,y)zy(x,y)dxd22面 f(x,y,z(x,y))面 證明:由定義nf(x,y,z)dS

limf(k,k,k

k-5則Sk

1z2z2dxd 十章fx,yz)dS

n n 0

分與

k

f

,,z(,

1z2(,)z2(,)( 積

(光滑k -6 f(x,y,z(x,y)

1zx(x,y)zy(x,y)dxd 同理如果:yy(x,z),(x,z) 章十章f(x,y, 線

f(x,y(x,z), 1y2 分 :xx(y,z),(y,z)分與曲

1x2積 積分

f(x,y, f(x(y,z),y, -7 例1計(jì)算曲面積分dS,其中是球面x2y2

zh(0

截出的頂部第 解::z章

,(x,y)Dx曲曲zhzhoxy

Dxd

:x2y2a2a2xa2x21z2xya2x2adxd xy a2a2 a0

a22a2 a22a ln(a22)

-8 例2計(jì)算xyzdS,其中xyz1第 第 解:設(shè)章

,

,

,

分別表示在平 x0,y0,z0,xyz1上的部分, 線曲線 原式=

xyz 與

面 xyzd面

0y1 4:z1x

(x,y)Dxy:

0x

3 x3

y(1xy)dy -9

計(jì)算 dS,其中 x2y2z2z第z0zH

x2y2R2o 1oR2R2y21:x曲積 1:x積

(y,z)R2y2 (y,zR2y2y與 與

:RyR,0z RR2y2 在1,2R2y2

1x2x2dydz

積面積 原式

RH RH

R2R2

R2 R2R2-10 計(jì)算(x2y2z2)dS, 其中是由平|x||y||z|第

圍成的正八面體的表面.z章1 設(shè)章1

:z1x (x,y) Dxy:0y1x,0x 分 (x2y2z2)dS, 分 面曲8(x2y2z2 面 分8x2y2(1xy)233

1

133

(12x2y2xy2x22y2 -11 例5求拋物面殼z1x2y20z1)的質(zhì)量,2zozoy

十 M十 Dxy:x2y2線 分 dS 1z2z2 分 面 1x2y2面1積D D33

(x2y2 1x2y2dxdy12d

12d2

2

-12 例5 第章 xy章

z

R2R2x2線分 MxyzdS線分R2x2R2x2R2x2面 分

A

oyx dxdyzMxy -13 三十定義設(shè)Q為一可以度量的有界的幾何形狀，fM)第定義在Q上的有界函數(shù)，如果將Q任意分割成n個(gè)小的章Qk,（其度量仍記為Qk)在每個(gè)十曲Qk上任取一點(diǎn)Mk