廣東省東莞市2021學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷

廣東省東莞市2020－2021學(xué)年下學(xué)期高一年級(jí)期末考試數(shù)學(xué)試卷一、單項(xiàng)選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑1已知，是虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限2已知向量，共線，則的值為A.0C3圖1是水平放置的的斜二測(cè)直觀圖，是的中點(diǎn)，則中長(zhǎng)度最長(zhǎng)的線段為圖14已知一組數(shù)據(jù)為85，87，88，90，92，則這組數(shù)據(jù)的第60百分位數(shù)為B5已知圓柱的底面半徑為1，母線長(zhǎng)為2，則該圓柱的外接球的體積為ABCD6“大美中國古建筑名塔”榴花塔以紅石為基，用青磚灰沙砌筑建成如圖2，記榴花塔高為OT，測(cè)量小組選取與塔底O在同一水平面內(nèi)的兩個(gè)測(cè)量點(diǎn)A和B，現(xiàn)測(cè)得，，，在點(diǎn)B處測(cè)得塔頂T的仰角為，則塔高OT為ABCD年3月，樹人中學(xué)組織三個(gè)年級(jí)的學(xué)生進(jìn)行“慶祝中國共產(chǎn)黨成立100周年”黨史知識(shí)競(jìng)賽經(jīng)統(tǒng)計(jì)，得到前200名學(xué)生分布的餅狀圖圖和前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖圖前200名學(xué)生分布的餅狀圖圖1前200名中高一學(xué)生排名分布的頻率條形圖圖2則下列命題錯(cuò)誤的是（）A成績(jī)前200名的200人中，高一人數(shù)比高二人數(shù)多30人B成績(jī)第名的100人中，高一人數(shù)不超過一半C成績(jī)第名的50人中，高三最多有32人D成績(jī)第名的50人中，高二人數(shù)比高一的多中，，，，，則AD的長(zhǎng)為（）ABCD二、多項(xiàng)選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，有選錯(cuò)的得0分，部分選對(duì)的得2分請(qǐng)把正確選項(xiàng)在答題卡中的相應(yīng)位置涂黑9袋子中有1個(gè)紅球，1個(gè)黃球，1個(gè)藍(lán)球，從中取兩個(gè)球，每次取一個(gè)球，取球后不放回，設(shè)事件第一個(gè)球是紅球，第二個(gè)球是黃球，則下列結(jié)論正確的是與B互為對(duì)立事件與B互斥CD10已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是A若，則B若，則C若，則D若，則11已知與均為單位向量，其夾角為，則下列結(jié)論正確的是BCD12如圖，在正方體中，M，N，P分別為棱，，的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是A平面到平面的距離相等C平面截正方體所得截面圖形為等腰梯形D平面將正方體分割成的上、下兩部分的體積之比為三、填空題：13如圖，由A，B兩個(gè)元件組成一個(gè)串聯(lián)電路，元件A，B正常工作的概率分別為和，則電路正常工作的概率為__________14廣場(chǎng)上的玩具石凳是由正方體截去八個(gè)一樣大的四面體得到的如圖如果被截正方體的棱長(zhǎng)為，那么玩具石凳的表面積為__________15已知點(diǎn)，，C為坐標(biāo)平面內(nèi)一點(diǎn)，且，則滿足條件的點(diǎn)C的一個(gè)坐標(biāo)為__________16“牟和方蓋”是我國古代數(shù)學(xué)家劉徽在研究球的體積的過程中構(gòu)造的一個(gè)和諧優(yōu)美的幾何體，它是由兩個(gè)相同的圓柱分別從縱橫兩個(gè)方向嵌入一個(gè)正方體時(shí)兩圓柱公共部分形成的幾何體如圖如圖2所示的“四腳帳篷”類似于“牟和方蓋”的一部分，其中APC與BPD為相互垂直且全等的半圓面，它們的圓心為O，半徑為用平行于底面ABCD的平面去截“四腳帳篷”所得的截面圖形為__________；當(dāng)平面經(jīng)過OP的中點(diǎn)時(shí)，截面圖形的面積為__________圖1圖2四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟必須把解答過程寫在答題卡相應(yīng)題號(hào)指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效17設(shè)復(fù)數(shù)，，記復(fù)數(shù)與分別對(duì)應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)和（1）根據(jù)復(fù)數(shù)及其運(yùn)算的幾何意義，求Z和兩點(diǎn)間的距離；（2）已知為正實(shí)數(shù)表示動(dòng)點(diǎn)Z的集合是以點(diǎn)為圓心，的集合是什么圖形并求出該圖形的面積18在中，角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，現(xiàn)有下列四個(gè)條件：①，②，③，④（1）③④兩個(gè)條件可以同時(shí)成立嗎請(qǐng)說明理由；（2）請(qǐng)?jiān)谏鲜鏊膫€(gè)條件中選擇使有解的三個(gè)條件，并求出的面積19如圖10，四棱錐中，ABCD為正方形，E為PC中點(diǎn)，平面平面ABCD，，（1）證明：平面（2）證明：（3）求三棱錐的體積20如圖，斜坐標(biāo)系Oy中，，分別是與軸、y軸正方向同向的單位向量，且，的夾角為，定義向量在斜坐標(biāo)系Oy中的坐標(biāo)為有序數(shù)對(duì)在斜坐標(biāo)系Oy中完成下列問題：（1）若向量的坐標(biāo)為，計(jì)算的大??；（2）若向量的坐標(biāo)為，向量的坐標(biāo)為，判斷下列兩個(gè)命題的真假，并說明理由命題①若，則命題②若，則月23日是世界讀書日，樹人中學(xué)為了解本校學(xué)生課外閱讀情況，按性別進(jìn)行分層，用分層隨機(jī)抽樣的方法從全校學(xué)生中抽出一個(gè)容量為100的樣本，其中男生40名，女生60名經(jīng)調(diào)查統(tǒng)計(jì)，分別得到40名男生一周課外閱讀時(shí)間單位：小時(shí)的頻數(shù)分布表和60名女生一周課外閱讀時(shí)間單位：小時(shí)的頻率分布直方圖：以各組的區(qū)間中點(diǎn)值代表該組的各個(gè)值女生一周自讀時(shí)間頰率分布直方圖（1）從一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中按比例分配抽取6人，從這6人中任意抽取2人，求恰好一男一女的概率；（2）分別估計(jì)男生和女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù)，（3）估計(jì)總樣本的平均數(shù)和方差參考數(shù)據(jù)和公式：男生和女生一周課外閱讀時(shí)間方差的估計(jì)值分別為和，和分別表示男生和女生一周閱讀時(shí)間的樣本，其中22如圖1，“雪糕筒”為校園中常見的交通標(biāo)識(shí)，其可以近似的看成一個(gè)圓錐如圖2，放置在水平地面上的某型號(hào)“雪糕筒”底面直徑，母線，該“雪糕筒”繞點(diǎn)B被放倒后A、B、在同一條直線上圖1 圖2（1）求“雪糕筒”被放倒后最高點(diǎn)離水平地面的距離；（2）求直線PB與圓面所成的角的余弦值；（3）若放倒后的“雪糕簡(jiǎn)”繞點(diǎn)沿水平地面旋轉(zhuǎn)一周，請(qǐng)說明旋轉(zhuǎn)一周形成的曲面所圍成的旋轉(zhuǎn)體的特征不用說明理由

【試題答案】一、單項(xiàng)選擇題題號(hào)12345678答案DADCBADB二、多項(xiàng)選擇題（全部選對(duì)的得5分，選對(duì)但不全的得2分，有選錯(cuò)的得0分）題號(hào)9101112答案CDABACBCD三、填空題（16題第一空2分，第二空3分）131415（形如的坐標(biāo)均正確）16正方形，四、解答題17解：（1）解法1：因?yàn)辄c(diǎn)對(duì)應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為， 1分所以點(diǎn)和之間的距離 3分 5分解法2：復(fù)數(shù)，分別對(duì)應(yīng)向量， 1分所以 3分 5分說明：直接寫出結(jié)果，只給2分（2）由題知方程表示的動(dòng)點(diǎn)的集合是以點(diǎn)為圓心、1為半徑的圓， 6分方程表示的動(dòng)點(diǎn)的集合是以點(diǎn)為圓心、3為半徑的圓， 7分故不等式表示的動(dòng)點(diǎn)的集合是以點(diǎn)為圓心、半徑分別為1和3的兩個(gè)圓所形成的圓環(huán)形圖形（含邊界）， 9分所以該圓環(huán)形圖形的面積為 10分18解：（1）由條件③及正弦定理得， 1分由，得， 2分展開得，即， 3分因?yàn)?，所以，即?4分因?yàn)?，所?5分由條件④得，， 7分因?yàn)?，所以?8分在中，不符合題意，所以不能同時(shí)滿足條件③④． 9分（2）因?yàn)橥瑫r(shí)滿足上述四個(gè)條件中的三個(gè)，不能同時(shí)滿足，則滿足三角形有解的所有組合為或．若選擇組合：由，得，解得， 10分因?yàn)樗?，即為直角三角形，解得?11分所以的面積 12分若選擇組合：由，即，解得， 10分由，且得， 11分所以的面積． 12分19證明：（1）連接交于點(diǎn)，連接， 1分因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以點(diǎn)為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，所以， 2分又因?yàn)椋?3分所以 4分（2）因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以?5分又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面?6分所以平面， 7分因?yàn)槠矫?，所?8分解：（3）取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?，又因?yàn)槠矫嫫矫?，平面平面，平面，所以平面?9分由，，得，， 10分記點(diǎn)到平面的距離為，因?yàn)闉榈闹悬c(diǎn)，所以， 11分所以 12分說明：若平面在第2問已經(jīng)證明，則前兩問共9分20解：（1）由題知， 1分故 3分 4分（2）由題知，命題①是真命題a當(dāng)時(shí)，即，顯然； 5分b當(dāng)時(shí)，即至少一個(gè)不為，不妨設(shè)，若，則存在，使得，故， 6分即，因?yàn)椴还簿€，所以， 7分由，帶入得，即綜上所述，命題“若，則”是真命題 8分命題②是假命題解法1：若，則， 10分當(dāng)時(shí)，結(jié)論不成立， 11分所以，命題“若，則”是假命題 12分解法2：令的坐標(biāo)為，的坐標(biāo)為，則， 9分因?yàn)?，所以?10分此時(shí)， 11分所以，命題“若，則”是假命題 12分21解：（1）一周課外閱讀時(shí)間為的學(xué)生中男生有3人，女生有人，若從中按比例分配抽取6人，則男生有1人，記為，女生有5人，記為，，，，， 1分則樣本空間， 2分記事件“恰好一男一女”，則， 3分所以，所以從這6人中任意抽取2人恰好一男一女的概率為 4分（2）估計(jì)男生一周課外閱讀時(shí)間平均數(shù)； 6分估計(jì)女生一周課外閱讀時(shí)間的平均數(shù) 8分（3）估計(jì)總樣本的平均數(shù)， 9分，，，， 10分，， 11分，所以估計(jì)總樣本的平均數(shù)和方差分別是和3 12分22解：（1）由圖可知，“雪糕筒”繞點(diǎn)被放倒后、、在同一條直線上，所以軸截面與地面垂直，故點(diǎn)為放倒后的最高點(diǎn)， 1分在中，，所以， 2分所以， 3分解得，即最高點(diǎn)離水平地面的距離為 4分（2）由題知，軸截面圓面，且軸截面水平地面，軸截面圓面，且軸截面水平地面，因?yàn)?、、在同一條直線上，所以五點(diǎn)共面， 5分故平面圓面，即直線在圓面內(nèi)的射影為直線，所以為直線與圓面所成的角， 6分解法1：在直角梯形中，， 7分可得， 8分