矩形知識點及同步練習

學科：學教學內(nèi)：矩形學目1．了解矩形的概念及與平行四形的關系．2．掌握矩形的性質(zhì)及識別方法3．能靈活地運用矩形的有關知的計算和證明．學指矩形是特殊的平行四邊形行邊形具有的性質(zhì)矩形也具有且還具有自己的特殊性．基知講1．矩形的概念有一個角為直角的平行四邊形叫矩形．由概念可知，矩形首先是平行四邊形，只是增加一個角是直角這個特殊條件．2．矩形的性質(zhì)（）有平行四邊形的一切性質(zhì)．（）形的四個內(nèi)角是直角．（）形的對角線相等且互相平分．（）形即是中心對稱圖形又是軸對稱圖形．3．矩形的識別方法（）一個內(nèi)角是直角的平行四邊形是矩形．（）角線相等且互相平分的平行四邊形為矩形．4．矩形的識別方法運用時應注以下幾點（）有一個內(nèi)角是直角的平行四邊形來判定一個四邊形是否是矩形時須同時滿足兩個條件一是有一個角是直角二是平行四邊形也就是說有一個角是直角的四邊形不一定是矩形，必須加上平行四邊形這個條件才是矩形．（）“對角線相等的平行四邊形是矩形”來判定一個四邊形是否是矩形時也必須滿足兩個條件：一是對角線相等，二是平行四邊形．重難重點：矩形的定義，性質(zhì)及識別方法．難點：矩形的性質(zhì)及識別方法的靈活運用．易誤分運用矩形的識別方法來判斷四邊形是否是矩形時易忽略滿足的條件例1．對角線相等的四邊形是矩，這個結(jié)論正確嗎？錯解：這個結(jié)論正確正解：這個結(jié)論不正確分析：對角線相等的平行四邊形才是矩形．典例例1如12-2-1所示已矩ABCD的兩條對角線ACBD相交于O∠AOD=120°，

AB＝4cm，矩形對角線長．分析：注意到矩形的對角線相等且平分這個特性，不難求解．解∵ABCD為形1∴AC＝，且OA=AC，OB=BD∴OA=OB，2∵∠AOD=120°，∴∠AOB=60°∴△AOB等邊三角形∴OB＝＝＝，BD＝＝×＝8cm例2．如圖12-2-2所eq\o\ac(□,：)ABCDACBD直交EFBD垂足OEF分交AD，BC于點E，，AE=EO=

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DE.求證eq\o\ac(□,：)ABCD為矩形分析：觀察給出的已知圖象的特征，要ABCD矩形，顯然只要證AC＝BD即可若eq\o\ac(△,Rt)的邊上的中線OM，易證AOE△DOM∴OA＝OD問題證．證明：取DE的中點M，結(jié)OM，1∴在eq\o\ac(△,Rt)DOE中，DE=DM，2∴

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DE，∠OME=∠OEA∴OM＝，＝，∠＝OEM∴△OMD≌△OEA，∴OA=OD，在中，∵OA=

1AC，BD，2∴AC＝∴ABCD為矩形．例3．已知：如圖所示E是已矩形ABCD的邊CB延長上的一點，＝，是AE的中點．求證：BF⊥分析：由于CE＝，是AE的點，若連結(jié)，則CFAE．所示∠AFC＝.所以要證BF⊥FD，只須再證∠CFB＝∠．易知，只要AFD△BCF．證法一：連結(jié)CF．因為CE＝CA，F(xiàn)是AE中點所以CFAE．所以∠AFD+∠DFC＝90因四形為矩形所＝BC∠＝∠BAD＝.又∵F是eq\o\ac(△,Rt)ABE斜BE的中點BF＝AF∠FAB∠FBA∠FAD=∠FBC

以△FAD≌△FBC．所以∠CFB=∠，所以CFB+DFC90，即⊥．證法二：如圖所示：延長BF交長線于點，連結(jié)BD．為四邊形ABCD是形，所以BC，AC＝，以∠AGF＝∠EBF∠GAF=BEF因為F是AE的點，所以＝FE．以AGF≌EBF所GFBF，AG＝BE．所以GDEC．因為CA＝，＝，所以BF⊥DF.例4．已知如圖：矩形ABCD中E為CD的中點．求證：EAB∠EBA．分析：證角相等．若兩角在同一個三角形中，可證三角形為等腰三角形．證明：∵四邊形ABCD為矩形∴∠＝∠C90，＝BC∵為DC的點，∴△ADE≌△BCE∴＝BE∴∠EAB=EBA．例5如已矩形ABCD中CF⊥BD于，DAB的平分線AE與FC的延長線相交于點E，判斷與CE的小關系并說明理由．分析：要判斷CA與CE的小關系，如果能證到EAO∠可得CA＝解：OA＝CO過點A作AM⊥DB，可得AM∥，∠MAE∠∴∠DAM＝∠DBA＝∠OAB，∴∠MAE＝∠EAO∴∠EAO＝∠∴CE=CA創(chuàng)思例1．如圖所示ABC是角三角形，C＝90，現(xiàn)ABC補成矩形，eq\o\ac(△,使)ABC的兩個頂點為矩形一邊的兩個端點三頂點落在這一邊的對邊上么符合要求的矩形可以畫兩個：矩形和形AEFB解答問題（2矩ACBD和矩AEFB面積分別為SS“＜

S＞（）圖3）中△為角角形，按短文中的要求把它補成矩形，則符合要求的

矩形可以畫個利用圖）把它畫出來．（過4）是角三角形且三邊滿足BCAC＞AB按短文中的要求把它補成矩形，那么符合要求的矩形可以畫個利用圖（）把它畫出來．（）（）所畫的矩形中，一個的周長最小？為什么？分析：本題主要考查矩形的性質(zhì)和計算．解）如圖甲過點作⊥AB于，則CG=AE∵=2S=2×

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AB·CG=AB·，=AE·AB=CG·AB∴=S（）2個圖乙（）3個圖丙（）矩形BCEDACHQ的周長分別為LLBC＝aAC＝bAB＝．知，這些矩形的面積相等，令其面積為，則有L

2ssa，+2bL+2c，ab∵-L=

2sab+2a-（b）=2a-b）

，而ab﹥，﹥∴-L﹥，L﹥.同理L＞L．∴以AB為的矩形周長最?。?如圖△ABC中點O是AC邊上的一個動點點直線MN∥設MN交BCA的平分線于點E，交∠BCA的角線于點（）求證EO＝FO）點O運到何處時，四邊形AECF是矩形？證明你的結(jié)論．分析：先證OCE＝∠OEC就EOCO，同理有＝，即有＝FO．當0運動到AC的點時，四邊對角互相平分．EcF＝.則四邊形AECF為矩形．證明）∵MN∥BC，∴∠∠又CE為∠ACB的角分線，∴∠＝2，∴∠∠，OE＝，理可證OF＝OC，∴OE=OF（）O運到AC的中點時，四邊形為矩形，因為＝OC，＝解：由矩形的特征，AC＝，AECF，CEAF知BECD是平四邊形，故AE＝CF，從而AC＝FE．中練1．如圖所示，在矩形中點，分在AB，上BFDF，AD＝，＝7cm，且AE：：，陰影部分的面積為分析：由已知可判斷四邊形EBFD是平行四邊形．由平行線之間的距離處處相等，可知

BE邊上的高與的長等．因求BE的長是關鍵．本題還可運用平移的方法，eq\o\ac(△,將)沿AB方平移，使DE與BF重合得空白部分所組成的圖形是長12cm，寬的矩形，可求其面積，然后將矩形ABCD的面積，減去空白部分的面積即得陰影部分的面也可通過矩形的面積減去二個全等三角形的面積而得出陰影部分面積。解：因為AE+EB＝AB＝，：EB5：2所以AE＝5cm，＝2cm.由矩形的特征，∥，BF∥所以四邊形EBFD為平四邊形故其面積為BE×AD＝2×12＝24cm故24cm2．如圖所示，矩形ABCD沿折疊使D落在BC邊的點處如果∠＝60,則∠等（）A．15

B．

C．

D．60分析本主要考查矩形性質(zhì)矩形的四個角都是直角考查全等三角形的判定和性質(zhì)．可證△ADE≌△AFE，而DAE＝∠FAE（90-60）÷＝15答：選A3在形ABCD中⊥BD為垂DCEECB＝∠ACE=

度．分析由矩形的性質(zhì)得∠＝據(jù)∠DCE∠ECB3可得出∠DCE的數(shù)于AC＝BD，且AC，互相平分可得等腰三角形，則OCD＝∠＝-∠從可求∠ACE的度數(shù)．答：45隨演一、填空題1．矩形ABCD的邊AB的點為，且∠為直角，則ADBA＝．2知形ABCD中角AC交于O點AOB=2BOCAC=18cmAD=cm.3．如圖矩形ABCD中，是CD的點，且AE⊥EB，若＝8cm，AD＝，AB＝.

4的兩條對角線的夾角為60對角線與短邊的和為邊長為，對角線的長.5在形中AB=2ADECD上一且＝AB則∠CBE的數(shù).6．在eq\o\ac(△,Rt)中A＝，AB＝，如圖，且四邊形AFDE矩形，若EF＝5，矩形AFDE的積為12，則AC=.7．如圖，在矩形ABCD中，AB＝16，＝，將矩形沿AC折，點D落在點E處，CE交AB于F，則AF=．8如寬3長4的形片ABCD先對角線BD折點C落點C′置，BC′AD于G，再折疊一次使與點A合．得折痕ENEN交AD于M，則點ME的長為.二、選擇題1形的邊長為和15cm一個內(nèi)角平分線分長邊為兩部分部）A．和9cm．5cm和C．和D和8cm2．下列四邊形中，不是矩形的（）A．三個角都是直角的四邊形B．四個角都相等的四邊形C．一組對邊平行且對角線相等四邊形D．對角線相等且互相平分的四形3．如圖，在矩形ABCD中DE⊥AC于EADEEDC＝，則BDE的度數(shù)（）A．18

B．

C．

D．724．已知矩形ABCD對角線相交于，且：BC=1，AC＝3cm則矩形ABCD的長為（）

A）

B．

185

5

cmC

65

5

）cm

D．12cm5．矩形具有的特征而一般的平四邊形不一定具有的特征是（）A．對角線相等B．對邊相等C．對角相等．對角線互相平分6．矩形的兩條對角線與各邊圍的三角形中，共有多少對全等的三角形（）A．2對B4對C．6對D8對7．矩形的對角線所成的角是65，對角線與各邊所成的角度是（）A．57．C．57．，．

B．．D．．，．8．下面真命題的個數(shù)是（）（）形是軸對稱圖形，又是中心對稱圖形（）形的對角線大于夾在兩對邊間的任意線段（）條對角線相等的四邊形是矩形（）兩個角相等的平行四邊形是矩形（）條對角線相等且互相平分的四邊形是矩形．A．5個B．4個C．個D．個三、判斷題1．兩條對角線互相垂直并且相的四邊形是矩形（）2．兩條對角線的交點到四個頂?shù)木嚯x相等的四邊形是矩形（）3．矩形是軸對稱圖形，而且有條對稱軸（）四、解答題1．已知，如圖在ABC中D是AB上一點，且AD=DC=BDDFDE分別是∠ADC，BDC的平分線．求證：四邊形DECF是形．2．已知：如圖AC、BD的點是四形ABCD的稱中心，且∠A＝．求證：四邊形ABCD是矩形．3已如△ABC中CE⊥AD于點E⊥AD于MBC的點求ME=MD.

4．已知：如圖，矩形ABCD中角線ACBD于點，DE平分∠ADC，BC于點E，∠BDE＝∠COD與∠COE的數(shù)．5．如圖：多邊形ABCDEFGH相兩邊都互相垂直若求出其周長那最少要知道多少條邊的長度？參考答案一、填空題1．1：2．123．

8

cm

32m

4．，5．15°6．77．108二、選擇題

7121．B2．C3．A4．B5．．B7D．三、判斷題1．×2．×3．×四、解答題1．證明：因為AD＝＝，以DCA＝∠，∠＝∠B所以∠ACB=∠∠＝∠A+B又因為∠ACB+∠A+∠＝°所以2∠ACB＝180°即ACB＝90°因為DF平∠ADC，平分BDC又AD＝＝所以DE⊥，⊥所以∠DEC＝DFC＝90°

所以四邊形DECF是矩點撥：要判斷DECF是形，除根據(jù)定義判斷外，還可用有三個角是直角的四邊形，或者對角線相等的平行四邊形題設ADCD＝△ADCeq\o\ac(△,，)都等腰三角形DF，DE是角平分線，所以⊥，⊥BC.2證明因四邊形ABCD是關的中心對稱圖形則相對的頂點是關于O點的對稱點，所以OA＝OCOB＝，即BD互相分于點，所以四邊形ABCD是平行四邊形．又因為∠＝°所四邊形ABCD是矩．點撥：由O是稱中心，易知OAOB，可得四邊形為平行四邊形，根據(jù)定義，只要有一個角為°即可．3．證法一：延長DM交CE于，延長EM交BD延線于點，連結(jié)HN.因為CE⊥，⊥AD，所以CEBD，所以NCM＝DBM,又∵CM＝，∠CMN=∠，以CMN≌△，所以NM＝，同理可證＝所四邊形EDHN是平行四邊形，又因為CE≌，所以是矩形．所以EHDN所以ME＝MD．證法二：延長D