探究圓柱表面最短路徑問題 論文

2022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選探究圓柱表面最短路徑問題摘要：求解最短路徑問題是初中數(shù)學(xué)的常見題型，其中的圓柱體的最短路徑問題更是常見。因為初中生空間想象能力弱，思維局限，處理這類問題較難入手。甚至有些教師在指導(dǎo)學(xué)生時，由于沒有仔細(xì)考慮，也出現(xiàn)了一些誤解。解決此類問題的關(guān)鍵是通過化曲為直的思維過程，將空間立體圖形問題轉(zhuǎn)化為熟悉的平面圖形問題，根據(jù)“兩點之間線段最短”這個基本事實，選擇適當(dāng)?shù)姆椒?，求解最短路程問題。關(guān)鍵詞：圓柱，最短路徑，直角三角形，勾股定理。引言：通過日常生活實例對一類常見圓柱體的最短路徑問題進(jìn)行探究和歸納，對教師在教學(xué)中遇到相關(guān)問題的解決起到一定的借鑒作用，以及對學(xué)生在學(xué)習(xí)此類問題的解決時起到一定的指導(dǎo)作用。如何在立體圖形上找到最短路徑，學(xué)生需要將立體圖形與立體圖形的平面展開圖建立聯(lián)系，通過化曲為直和比較，最終確定最短路徑，這種空間圖形的轉(zhuǎn)換，學(xué)生較難理解，以及在尋找最短路徑時，不能有效的進(jìn)行歸類，出現(xiàn)重漏現(xiàn)象。教學(xué)時，應(yīng)從這兩個方面加以啟發(fā)引導(dǎo)。一、問題的呈現(xiàn)在日常的教學(xué)和學(xué)習(xí)中，我們經(jīng)常會遇到求圓柱體表面兩點最短路徑的問題，學(xué)生、甚至有些教師在處理時會出現(xiàn)一些流行性的誤解，但還沒有引起足夠的重視，接下來讓我們一起來看下面的問題。例1如圖1所示，有一個高為8cm，底面半徑為2cm的圓柱，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到圓柱上底面上與A點相對的B點處的食物，問這只螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程為多少厘米？(的值取3) 很多學(xué)生在遇到這道題時，無從下手，不知該如何解答。主要是

因為題目背景是放到圓柱體上，跟以往所學(xué)的平面圖形上的最短路徑

問題有所區(qū)別，那如何建立兩者之間的聯(lián)系，如何把立體圖形問題轉(zhuǎn)

化為平面圖形問題，就是解決此類問題的關(guān)鍵。圖1

在課堂上，通過教師的分析與提示，有些學(xué)生通過獨立思考或者小組合作探究，不難發(fā)現(xiàn)只要把圓柱體與之前學(xué)習(xí)的圓柱體的平面展開圖建立起聯(lián)系，就是找到解決這道12022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選題目的關(guān)鍵所在，即從點A豎直向上把圓柱側(cè)面剪開，這樣就得到了圓柱側(cè)面展開圖長方形（如圖2），再找到圖中點B的位置，將點A和點B連接起來，根據(jù)“兩點之間，線段最短”這個基本事實，求出線段AB的長即可,我們把它記為路徑1L，這就是“化曲為直”的思想。具體的解題過程如下：QC2R12(cm)BC232BC1C6(cm)解：2)CQRtABCBC2AAB2AC2AB826210(cm圖2這些學(xué)生的解題方法，貌似解決了這類問題，解題思路清晰，解題依據(jù)充分，解題過程完整，甚至有些老師在教學(xué)此類問題時也是這樣處理的。其實，這都是受到頭腦中固定思維的影響，但是認(rèn)真思考后，卻會發(fā)現(xiàn)存在很大的邏輯漏洞：（1）為什么我們給螞蟻選擇的這條路線就是最短的？（2）還有沒有其它路線可以選擇嗎？會更短嗎？當(dāng)你想到這些問題，產(chǎn)生質(zhì)疑時，其實頭腦里就有了歸類和比較的思想。帶著以上的問題，再仔細(xì)觀察圖形，又會得到另外兩條較短路線:一是沿著點A豎直向上爬，再沿上底直徑爬到點B，我們把它記為路徑L2；L3。二是從點A沿下底圓周爬到點B下方，再豎直向上爬到點B,我們把它記為路徑這樣就把尋找的主要較短路徑進(jìn)行了歸類，再進(jìn)行比較就可以得到結(jié)論了。很明顯路徑L3是要長于路徑L2的，因為同圓半圓周的長大于直徑的長，這樣我們就排除了路徑L3。那路徑1L和L2，哪個要更短一些呢？前面我們已經(jīng)算出了路徑1L的長，下面我們不妨計算一下路徑L2的長，通過計算比較一下長短。B具體的解題過程如下：如圖3：L28412L2A圖31L是最通過計算不難發(fā)現(xiàn):L1，所以我們就能夠得到結(jié)論：從點A到點B路徑22022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選短的。看到這里，我想有的學(xué)生和老師要說了，比較來比較去，不還是路徑1L最短，根本沒有比較的意義。那這個結(jié)果可以作為一般性的結(jié)論進(jìn)行推廣嗎？會不會出現(xiàn)當(dāng)圓柱的高和底面直徑的長發(fā)生變化時，結(jié)論就不再成立呢？帶著這樣的疑問，我們來看下面的問題。二、問題的反轉(zhuǎn) 例2如圖4所示，有一個高為2cm，底面半徑為2cm的圓柱，在圓柱下底面的A點有一只螞蟻，它想吃到圓柱上底面上與A點相對的B點處的食物，問這只螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程為多少厘米？(的值取3)大家可以看到例2和例1這兩道題的區(qū)別，僅僅是圓柱的高

發(fā)生了變化，其他條件未變，下面我們以例1的解題思路為基礎(chǔ)，我們來計算一下，看看結(jié)論會不會有什么不同。具體解題過程如下：圖4QC2RC23212(cm) 解：BC1C6(cm)2L1L2L2246(cm)QRtABCAB2AC2BC2,即從點A到點B路徑L2是最短L1AB226240210(cm)通過計算我們卻發(fā)現(xiàn)了一個不一樣的結(jié)論：的。 看來圓柱體的高和底面直徑，這兩個量決定了從點A到點B兩個路徑的長短。 有的學(xué)生可能會問，以后再遇到這類問題，是不是都要把兩種路徑的長計算出來，比較再得到結(jié)論呢？這樣做的話，會不會很麻煩？有沒有更好的方法呢？三、問題的剖析 下面我們將圓柱體的高和底面直徑用字母來表示，一起再來算算看。請看下面的問題：

例3如圖5所示，有一個高為h，底面半徑為r的圓柱，在圓柱下底面的A點有一32022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選只螞蟻，它想吃到圓柱上底面上與A點相對的B點處的食物，問這只螞蟻沿著表面需要爬行的最短路程為多少厘米？具體解題過程如下：QC2rBC1Cr2解：如圖2：QRtABC如圖3：L2h2r圖5AB2AC2BC2L1ABh2(r)21L與L2，到底哪個長，哪個短？下面我們分三種情況進(jìn)行討論：（1）L1L2h2(r)2h2rr244h（2）L1L2h2(r)2h2rr244h（3）L1L2h2(r)2h2rr244hQ40.681，1L與L2的大小關(guān)系有三種情況：24（1）當(dāng)r0.681時，沿著側(cè)面爬行的路程最短，即最短路徑為Lh2(r)2；h1（2）當(dāng)r0.681時，先豎直向上爬到A的正上方，再沿直徑爬到B點路程最短，即h最短路徑為L2h2r；（3）當(dāng)r0.681時，兩種爬行方式路程一樣，即L1L2.h通過以上的分類討論和計算，我們得到了一個一般化的結(jié)論，在以后遇到類似問題時，我們只需要估算出圓柱體底面半徑和高的比值，再與0.681比較大小,就可以確定最短路徑了，從而代入算式得出結(jié)果?？吹竭@里，上面的討論和計算已經(jīng)很細(xì)致了，好像把此問題已經(jīng)徹底解決，但仔細(xì)思考后，這里依然有邏輯上的漏洞——為什么只有這兩條路徑時最短的？會不會存在其他路徑更短？四、問題的解決42022年安徽省中小學(xué)教育教學(xué)論文評選事實上，螞蟻從點A出發(fā)沿著圓柱體表面爬行到點B的路徑，除了我們以上討論的路徑L1,L2,L3三種之外，還存在著無窮多條從點A到點B的路徑，為什么只有路徑1L或L2是最短的？只有通過建立一定的函數(shù)關(guān)系，并進(jìn)行嚴(yán)格的理論證明，才能驗證結(jié)論的正確性。但由于理論證明涉及到的是一些復(fù)雜的函數(shù)，并且用到了高等數(shù)學(xué)的知識，學(xué)生現(xiàn)有的知識結(jié)構(gòu)還很難理解，這里就不再展開討論證明了，感興趣的老師和學(xué)生可以參考陜西師范大學(xué)羅增儒教授的文章——《一個圓柱表面最短路徑問題的解決匯總》，這篇文章里有詳細(xì)的理論論證過程。 通過嚴(yán)格的理論證明，最終我們得到的結(jié)論和例3的結(jié)論是一樣的，但邏輯的思維過程是不一樣的，從而系統(tǒng)論證了結(jié)論的正確性。五、遵循課標(biāo)，滲透思想 《義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程（2022年版）》提出義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程應(yīng)使學(xué)生通過數(shù)學(xué)的學(xué)習(xí)，形成和發(fā)展面向未來社會和個人發(fā)展所需要的核心素養(yǎng)。課程目標(biāo)以學(xué)生發(fā)展為本，以核心素養(yǎng)為導(dǎo)向，進(jìn)一步強調(diào)使學(xué)生獲得數(shù)學(xué)基礎(chǔ)知識、基本技能、基本思想和基本活動經(jīng)驗的獲得與發(fā)展、發(fā)展運用數(shù)學(xué)知識與方法發(fā)現(xiàn)、提出、分析和解決問題的能力，形成正確的情感、態(tài)度和價值觀。我們在解決此類圓柱體最短路徑問題后，不應(yīng)僅僅停留在這一類問題上，主要是掌握此種思維方法，通過建模、化歸等數(shù)學(xué)思想，還可以解決圓柱體最短路徑的其他問題，直至推廣到其他立體圖形（正方體、長方體、圓錐等）表面最短路徑問題的解決，從而進(jìn)一步提高學(xué)生提