2022-2023學年重慶三十二中學數(shù)學高二第二學期期末學業(yè)水平測試模擬試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學模擬試卷注意事項：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準考證號、考場號和座位號填寫在試題卷和答題卡上。用2B鉛筆將試卷類型（B）填涂在答題卡相應(yīng)位置上。將條形碼粘貼在答題卡右上角"條形碼粘貼處"。2．作答選擇題時，選出每小題答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目選項的答案信息點涂黑；如需改動，用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案。答案不能答在試題卷上。3．非選擇題必須用黑色字跡的鋼筆或簽字筆作答，答案必須寫在答題卡各題目指定區(qū)域內(nèi)相應(yīng)位置上；如需改動，先劃掉原來的答案，然后再寫上新答案；不準使用鉛筆和涂改液。不按以上要求作答無效。4．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．箱子中有標號為1，2，3，4，5，6且大小、形狀完全相同的6個球，從箱子中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎．若有4人參與摸獎，則恰好有3人獲獎的概率為()A．16625 B．96625 C．6242．給出定義：若函數(shù)在D上可導(dǎo)，即存在，且導(dǎo)函數(shù)在D上也可導(dǎo)，則稱在D上存在二階導(dǎo)函數(shù)，記，若在D上恒成立，則稱在D上為凸函數(shù)．以下四個函數(shù)在上不是凸函數(shù)的是（）A． B．C． D．3．已知函數(shù)，若函數(shù)有3個零點，則實數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．4．某居民小區(qū)有兩個相互獨立的安全防范系統(tǒng)和，系統(tǒng)和系統(tǒng)在任意時刻發(fā)生故障的概率分別為和，若在任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障的概率為，則（）A． B． C． D．5．若直線的傾斜角為，則（）A．等于 B．等于 C．等于 D．不存在6．已知某一隨機變量ξ的概率分布列如圖所示，且E(ξ)＝6.3，則a的值為()ξ4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．87．已知直線，，點為拋物線上的任一點，則到直線的距離之和的最小值為（）A．2 B． C． D．8．如圖所示，給出了樣本容量均為7的A、B兩組樣本數(shù)據(jù)的散點圖，已知A組樣本數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r1，B組數(shù)據(jù)的相關(guān)系數(shù)為r2，則（）A．r1＝r2 B．r1<r2 C．r1>r2 D．無法判定9．已知向量，，則向量在向量上的投影是（）A．2 B．1 C．?1 D．?210．己知點A是拋物線的對稱軸與準線的交點，點B為拋物線的焦點，P在拋物線上且滿足，當取最大值時，點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上，則雙曲線的離心率為A． B． C． D．11．函數(shù)（）的圖象的大致形狀是（）A． B． C． D．12．已知奇函數(shù)是定義在上的減函數(shù)，且，，，則的大小關(guān)系為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)，則_________14．為強化安全意識，某校擬在周一至周五的五天中隨機選擇天進行緊急疏散演練，則選擇的天恰好為連續(xù)天的概率是__________．15．有4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的紅色卡片和4張分別標有數(shù)字1，2，3，4的藍色卡片，從這8張卡片中取出4張卡片排成一行．如果取出的4張卡片所標數(shù)字之和等于10，則不同的排法共有________________種（用數(shù)字作答）．16．某校有高一學生105人，高二學生126人，高三學生42人，現(xiàn)用分層抽樣的方法從中抽取13人進行關(guān)于作息時間的問卷調(diào)查，設(shè)問題的選擇分為“同意”和“不同意”兩種，且每人都做了一種選擇，下面表格中提供了被調(diào)查人答題情況的部分信息，估計所有學生中“同意”的人數(shù)為________人同意不同意合計高一2高二4高三1三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，且函數(shù)在上為減函數(shù)．（1）證明：當時，；（2）若，求實數(shù)的取值范圍．18．（12分）已知函數(shù)滿足，其中.（1）求的值及的最小正周期；（2）當時，求的最值.19．（12分）已知某廠生產(chǎn)的電子產(chǎn)品的使用壽命（單位：小時）服從正態(tài)分布，且，．（1）現(xiàn)從該廠隨機抽取一件產(chǎn)品，求其使用壽命在的概率；（2）現(xiàn)從該廠隨機抽取三件產(chǎn)品，記抽到的三件產(chǎn)品使用壽命在的件數(shù)為，求的分布列和數(shù)學期望．20．（12分）在直角坐標系中，將單位圓上各點的橫坐標擴大為原來的2倍，縱坐標不變，得到曲線，以為極點，軸正半軸為極軸，建立極坐標系．(1)求曲線的參數(shù)方程；(2)設(shè)為曲線上一點，點的極坐標為，求的最大值及此時點的坐標．21．（12分）如圖，在棱長為2的正方體中，點是棱的中點，點在棱上，且滿足.（Ⅰ）求證：；（Ⅱ）求平面與平面所成銳二面角的余弦值.22．（10分）設(shè)函數(shù)在點處有極值.(1)求常數(shù)的值;(2)求曲線與軸所圍成的圖形的面積.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】獲獎的概率為p=6C62=25，記獲獎的人數(shù)為ξ，ξ~B(4,2、D【解析】

對A，B，C，D四個選項逐個進行二次求導(dǎo)，判斷其在上的符號即可得選項.【詳解】若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則，在上，恒有；若，則.在上，恒有，故選D.【點睛】本題主要考查函數(shù)的求導(dǎo)公式，充分理解凸函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵，屬基礎(chǔ)題．3、C【解析】

求導(dǎo)計算處導(dǎo)數(shù)，畫出函數(shù)和的圖像，根據(jù)圖像得到答案.【詳解】當時，，則，；當時，，則，當時，；畫出和函數(shù)圖像，如圖所示：函數(shù)有3個交點，根據(jù)圖像知.故選：.【點睛】本題考查了根據(jù)函數(shù)零點個數(shù)求參數(shù)，意在考查學生的計算能力和應(yīng)用能力，畫出函數(shù)圖像是解題的關(guān)鍵.4、B【解析】試題分析：記“系統(tǒng)發(fā)生故障、系統(tǒng)發(fā)生故障”分別為事件、，“任意時刻恰有一個系統(tǒng)不發(fā)生故障”為事件，則，解得，故選B．考點：對立事件與獨立事件的概率．5、C【解析】分析:根據(jù)畫出的直線得直線的傾斜角.詳解：直線x=1的傾斜角為故答案為：C.點睛：(1)本題主要考查特殊直線的傾斜角，意在考查學生對該知識的掌握水平.(2)任意一條直線都有傾斜角，但是不是每一條直線都有斜率.6、C【解析】分析：先根據(jù)分布列概率和為1得到b的值，再根據(jù)E(X)=6.3得到a的值.詳解：根據(jù)分布列的性質(zhì)得0.5+0.1+b=1,所以b=0.4.因為E(X)=6.3，所以4×0.5+0.1×a+9×0.4=6.3，所以a=7.故答案為C.點睛：（1）本題主要考查分布列的性質(zhì)和隨機變量的期望的計算，意在考查學生對這些知識的掌握水平.(2)分布列的兩個性質(zhì)：①，；②.7、C【解析】分析：由拋物線的定義可知P到直線l1，l1的距離之和的最小值為焦點F到直線l1的距離．詳解：拋物線的焦點為F（﹣1，0），準線為l1：x=1．∴P到l1的距離等于|PF|，∴P到直線l1，l1的距離之和的最小值為F（﹣1，0）到直線l1的距離．故選：C．點睛：本題主要考查了拋物線定義的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.8、C【解析】

利用“散點圖越接近某一條直線線性相關(guān)性越強，相關(guān)系數(shù)的絕對值越大”判斷即可.【詳解】根據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的散點圖知，組樣本數(shù)據(jù)幾乎在一條直線上，且成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為應(yīng)最接近1，組數(shù)據(jù)分散在一條直線附近，也成正相關(guān)，∴相關(guān)系數(shù)為，滿足，即，故選C．【點睛】本題主要考查散點圖與線性相關(guān)的的關(guān)系，屬于中檔題.判斷線性相關(guān)的主要方法：（1）散點圖（越接近直線，相關(guān)性越強）；（2）相關(guān)系數(shù)（絕對值越大，相關(guān)性越強）.9、D【解析】

本題考察的是對投影的理解，一個向量在另一個向量上的投影即一個投影在另一個投影方向上的長度．【詳解】在上的投影方向相反，長度為2，所以答案是.【點睛】本題可以通過作圖來得出答案．10、B【解析】

根據(jù)題目可知，過作準線的垂線，垂足為，則由拋物線的定義，結(jié)合，可得，設(shè)的傾斜角為，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，即可求出的的坐標，再利用雙曲線的定義，即可求得雙曲線得離心率?！驹斀狻坑深}意知，由對稱性不妨設(shè)P點在y軸的右側(cè)，過作準線的垂線，垂足為，則根據(jù)則拋物線的定義，可得，設(shè)的傾斜角為，當取得最大值時，最小，此時直線與拋物線相切，設(shè)直線的方程為，與聯(lián)立，得，令，解得可得，又此時點P恰好在以A、B為焦點的雙曲線上雙曲線的實軸故答案選B。【點睛】本題主要考查了雙曲線與拋物線的性質(zhì)的應(yīng)用，在解決圓錐曲線相關(guān)問題時常用到方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想。11、C【解析】

對x分類討論，去掉絕對值，即可作出圖象.【詳解】故選C．【點睛】識圖常用的方法(1)定性分析法：通過對問題進行定性的分析，從而得出圖象的上升(或下降)的趨勢，利用這一特征分析解決問題；(2)定量計算法：通過定量的計算來分析解決問題；(3)函數(shù)模型法：由所提供的圖象特征，聯(lián)想相關(guān)函數(shù)模型，利用這一函數(shù)模型來分析解決問題．12、C【解析】

根據(jù)對數(shù)運算性質(zhì)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性可得，根據(jù)指數(shù)函數(shù)單調(diào)性可知；利用為減函數(shù)可知，結(jié)合為奇函數(shù)可得大小關(guān)系.【詳解】，即：又是定義在上的減函數(shù)又為奇函數(shù)，即：本題正確選項：【點睛】本題考查根據(jù)指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)單調(diào)性，結(jié)合奇偶性比較函數(shù)值的大小關(guān)系，關(guān)鍵是能夠通過函數(shù)得單調(diào)性，利用臨界值的方式得到自變量之間的大小關(guān)系.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、3【解析】

判斷，再代入，利用對數(shù)恒等式，計算求得式子的值為.【詳解】因為，所以，故填.【點睛】在計算的值時，先進行冪運算，再進行對數(shù)運算，能使運算過程更清晰.14、【解析】試題分析：考查古典概型的計算公式及分析問題解決問題的能力.從個元素中選個的所有可能有種，其中連續(xù)有共種，故由古典概型的計算公式可知恰好為連續(xù)天的概率是.考點：古典概型的計算公式及運用.15、431【解析】數(shù)字之和為10的情況有4，4，1，1、4，3，1，1、3，3，1，1．所以共有種不同排法．16、126【解析】

根據(jù)抽樣比求出各個年級抽取的人數(shù)，然后填表格，最后根據(jù)“同意的”比例求所有學生中“同意”的人數(shù).【詳解】一共人，抽樣比高一學生：人，高二學生：人，高三學生人，同意不同意合計高一325高二246高三112同意的共有6人，同意的共有人.故答案為：126【點睛】本題考查分層抽樣和統(tǒng)計的初步知識，屬于基礎(chǔ)題型.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（1）證明見解析；（2）．【解析】

（1）由于是奇函數(shù)，，因此要證明的不等式可變形為要證明，因此只要說明與異號，即與的大小和與的大小關(guān)系正好相反即可，這由減函數(shù)的定義可得，證明時可分和分別證明即可；（2）這個函數(shù)不等式由奇函數(shù)的性質(zhì)可化為，然后由單調(diào)性可去“”，并注意將和限制在定義域內(nèi)，可得出關(guān)于的不等式組，就可解得范圍．【詳解】（1）∵定義在上的函數(shù)的圖象關(guān)于原點對稱，∴為奇函數(shù)．若，則，∴，∴，∴成立．若，則，∴．∴，∴成立．綜上，對任意，當時，有恒成立．（2），得，解得，故所求實數(shù)的取值范圍是．【點睛】本題考查函數(shù)單調(diào)性的定義以及單調(diào)性與奇偶性解不不等式，解題的關(guān)鍵就是利用奇偶性將不等式進行變形，結(jié)合單調(diào)性轉(zhuǎn)化，同時要注意自變量要限制在定義域內(nèi)，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.18、（1）；（2）最大值為3，最小值為．【解析】

(1)代入即可得到的值，化簡整理，利用周期公式即可得到答案；（2）當，利用第一問求得的解析式分析可得到最值.【詳解】解：（1）由，得，解得所以函數(shù)的最小正周期（2）當時，，所以的最大值為3，最小值為．【點睛】本題主要考查三角函數(shù)中周期的計算，最值的計算，意在考查學生的基礎(chǔ)知識，難度不大.19、（Ⅰ）0.08.（Ⅱ）見解析.【解析】試題分析：（1）根據(jù)身高服從正態(tài)分布，計算出的值，則可得到的值；

（2）求出的值，由，求出對應(yīng)的概率值，得出隨機變量的分布列，計算即可．試題解析:（（Ⅰ）因為，，，所以.所以.即使用壽命在的概率為0.08.（Ⅱ）因為，所以.所以；；；.所以分布列為：所以.（或.）【點睛】本題考查了離散型隨機就是的分布列和數(shù)學期望的應(yīng)用問題，解題時要注意二項分布的性質(zhì)的合理運用．20、(1)(為參數(shù))；(2)最大值，此時．【解析】

(1)根據(jù)坐標變換可得曲線的方程，根據(jù)平方關(guān)系可求出其參數(shù)方程；(2)求出的直角坐標，再由兩點間的距離公式可求出，結(jié)合三角函數(shù)即可求出最值．【詳解】(1)依題意可得曲線C的直角坐標方程為，所以其參數(shù)方程為(為參數(shù))．(2)，設(shè)，則，所以當時，取得最大值，此時．【點睛】本題主要考查曲線的伸縮變換，參數(shù)方程與普通方程的互化，極坐標化為直角坐標，同時考查三角函數(shù)最值的求法，屬于中檔題．21、（Ⅰ）詳見解析；（Ⅱ）.【解析】

（Ⅰ）由正方體的性質(zhì)得出平面，再由直線與平面垂直的性質(zhì)可證明出；（Ⅱ）以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，計算出平面和平面的法向量，利用向量法求出這兩個平面所成銳二面角的余弦值．【詳解】（Ⅰ）在正方體中，平面，平面，∴；（Ⅱ）如圖，以為原點，，，分別為，，軸建立空間直角坐標系，則，，，，∴，，，設(shè)為平面的一個法向量，則，即，令，可得，∵平面，∴為平面的一個法向量，∴，∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為.【點睛】本題考查直線與直線垂直的證明，考查利用空間向量法計算二面角，解題的關(guān)鍵就是計算出兩個平面的法向量，利用空間向量法來進行計算，考查計算能力與邏輯推理能力，屬于中等題．22、(1);(2).【解析】

（1）求出導(dǎo)函數(shù)，利用函數(shù)在處有極值，由且,