常微分方程初值問題初步

常微分方程初值問題初步第1頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一馬爾薩斯人口模型：假設(shè)某特定區(qū)域在t0時刻的人口p(t0)=p0為已知的，該區(qū)域人口的自然增長率為α。人口的增長與人口的總數(shù)成正比，所以t時刻的人口總數(shù)p(t)滿足如下的微分方程：生活中常常有這樣一類問題：問題的提出這些常微分方程有各種各樣的解析方法，但解析方法只能用來求解一些特殊類型的問題，實際問題中歸結(jié)出來的微分方程主要靠數(shù)值解法。第2頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一解析法：給出精確解析解。只適合少數(shù)簡單情況。近似解法：給出解的近似表達(dá)式。如級數(shù)法,逐步逼近法。數(shù)值方法：給出方程在離散點上的近似解。它適合計算機(jī)求解,應(yīng)用廣泛,具有理論應(yīng)用價值。常微分方程的解法：內(nèi)容分類：定解問題初值問題邊值問題單步法Euler方法Taylor方法和Runge-Kutta方法多步法Adams方法和一般線性多部法線性多部法的收斂性與穩(wěn)定性第3頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一一階常微分方程初值問題的一般形式：問題:求函數(shù)滿足其中:f(x,y)為已知函數(shù),

α是已知值.(可能是觀察值或?qū)嶒炛?基本條件：

f(x,y)在D上連續(xù)；

f(x,y)在D上關(guān)于變量y滿足Lipschitz連續(xù)條件：設(shè)滿足解的存在唯一第4頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一對求解區(qū)域[a,b]做剖分構(gòu)造數(shù)值解法的基本思想在區(qū)間[xk,xk+1]上對微分方程做積分,則有常用等步長:,則有將微分方程的準(zhǔn)確解記為y(x),稱為步長。的近似解記為能不能將微分轉(zhuǎn)化為積分？第5頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一因此，建立節(jié)點處近似值yn滿足的差分公式稱之為Euler公式.

對右邊的積分應(yīng)用左矩形公式，則有第6頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一Euler公式的幾何意義特點：簡單，精度低.第7頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例求解初值問題解：

Euler公式的具體形式為取步長h=0.1，那么即可計算該微分方程。具體結(jié)果見下頁。第8頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一xnyn0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848y(xn)1.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321解析解：第9頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一(2)前向差分近似微分法前向差分近似

,得將近似號改為等號，結(jié)合初始條件即得：■前面Euler方法是通過左矩形積分方法推導(dǎo)出來的，實際上Euler方法還可以通過其他幾種方法推導(dǎo)出來。第10頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一(3)Taylor展開法忽略高階項，結(jié)合初值條件y(x0)=α即得將y(xk+1)在x=xk點進(jìn)行Taylor展開11Euler公式的局部截斷誤差：第11頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一后退的Euler公式如果采用后向差分近似

,得將近似號改為等號，結(jié)合初始條件即得：未知這一類公式稱為隱式的，相對應(yīng)的前面介紹的Euler公式稱為顯式的第12頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一顯式：更加方便計算隱式：數(shù)值穩(wěn)定性更好顯式與隱式的特點：隱式方程的計算方法：隱式方程常用迭代法計算，而迭代的過程實質(zhì)是逐步顯式化。設(shè)用Euler公式給出迭代的初值，用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得然后再代入后退Euler公式第13頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一如此反復(fù)進(jìn)行得：如果迭代過程收斂，則極限值必滿足隱式方程，從而獲得后退Euler方法的解。后退Euler方法局部截斷誤差為第14頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例用后退Euler方法求解初值問題解：

(1)取步長h=0.1，首先用Euler方法計算初值，(2)用它代入后退Euler公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得第15頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09181.17741.25821.33511.40901.48031.54981.61781.68481.7512yn(2)1.09091.17461.25281.32641.39631.46331.52791.59081.65241.7133yn(3)1.09081.17421.25151.32391.39191.45621.51741.57591.63221.6868第16頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第17頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一Euler后退Euler■誤差如果將這兩種方法進(jìn)行算術(shù)平均，即可消除誤差的主要部分從而獲得更高的精度。這種平均化的方法通常稱為梯形方法，其計算公式為：第18頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一即為前面導(dǎo)出的梯形微分方程公式.若對上式右邊的積分應(yīng)用梯形求積公式，則可導(dǎo)出差分公式■梯形公式也可以通過積分的方法來獲得：將微分方程化為積分方程的形式第19頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一■梯形方法的求解梯形方法是隱式的，可用迭代法求解。同后退的Euler方法一樣，仍用Euler方法提供迭代初值，則梯形法的迭代公式為：第20頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例用梯形方法求解初值問題解：

(1)取步長h=0.1，首先用Euler方法計算初值，(2)用它代入梯形公式，使之轉(zhuǎn)化為顯式，得第21頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321yn(0)1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848yn(1)1.09591.18441.26711.34521.41971.49111.56021.62731.69301.7577yn(2)1.09571.18371.26561.34271.41581.48561.55271.61741.68031.7418yn(3)1.09571.18361.26551.34241.41521.48451.55081.61471.67631.7361第22頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第23頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一問題梯形法雖然提高了精度，但其算法復(fù)雜，在迭代公式進(jìn)行計算時，每迭代一次，都要重新計算函數(shù)f的值，而迭代又要反復(fù)進(jìn)行若干次，計算量很大，而且往往難以預(yù)測。1用Euler公式求得一個初步的近似值再用梯度公式將它校正一次為了控制計算量，通常只迭代一兩次就轉(zhuǎn)入下一步的計算2預(yù)測值校正值這個方法也叫做：改進(jìn)的Euler公式或預(yù)估-校正公式第24頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一預(yù)測校正這個公式也可以寫為第25頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848改進(jìn)Euler1.09591.18411.26621.34341.41641.48601.55251.61531.67821.7379第26頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第27頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一梯形法步驟：預(yù)估校正法步驟：Euler梯形梯形梯形Euler梯形Euler梯形第28頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一■Euler兩步方法如果采用后向差分近似

,得后向Euler方法如果采用前向差分近似

,得Euler方法如果采用中心差分近似

,得Euler兩步方法即第29頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一前面介紹過的數(shù)值方法，無論是Euler方法，后退的Euler方法，還是改進(jìn)的Euler方法，他們都是單步法，其特點是在計算yn+1時值用到前一步的信息yn；然而Euler兩步法中的公式除了yn外，還顯含更前面一部的信息yn-1，即調(diào)用了前面兩步的信息，Euler兩步法因此而得名?！鰡尾椒ǖ膬?yōu)點：單步法的優(yōu)點是“自開始的”，只要給出初值y0

，依計算公式可順次計算y1，y2…而兩步法除了給出初值y0，還需要求助于其他單步法再提供一個開始值y1，然后才能啟動計算公式依次計算y2，y3…

第30頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一■兩步法的優(yōu)點：兩步法的優(yōu)點是它調(diào)用了兩個節(jié)點上的已知信息，從而能以較少的計算量獲得較高的精度。如果用Euler兩步公式與梯形公式相匹配，得到下列預(yù)測-校正系統(tǒng)：校正預(yù)測第31頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例用Euler兩步法求解初值問題解：

(1)取步長h=0.1，首先用Euler方法計算初值，(2)用它代入Euler兩步法公式，得第32頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler兩步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378第33頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一第34頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一例用Euler兩步法的預(yù)測校正方法求解初值問題解：

(1)取步長h=0.1，首先用Euler方法計算初值，(2)用它代入Euler兩步法公式，得(3)用它代入梯形公式，得第35頁，共40頁，2023年，2月20日，星期一xny(xn)0.10.20.30.40.50.60.70.80.91.01.09541.18321.26491.34161.41421.48321.54921.61251.67331.7321Euler1.10001.19181.27741.35821.43511.50901.58031.64981.71781.7848Euler2步1.10001.18361.26911.34291.41861.48561.55421.61631.67941.7378預(yù)估校正