河南省開封市高三第三次模擬考試文科數(shù)學試題（解析版）

第19頁/共19頁開封市高三年級第三次模擬考試文科數(shù)學一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.復數(shù)的虛部為（）A. B.3 C. D.3i【答案】B【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的定義及四則運算計算即可.【詳解】化簡，得其虛部為3.故選：B2.已知集合，，則集合B的真子集個數(shù)是（）A.3 B.4 C.7 D.8【答案】C【解析】【分析】根據(jù)題意得到集合，然后根據(jù)集合中元素的個數(shù)求集合的真子集個數(shù)即可.【詳解】由題意得，所以集合的真子集個數(shù)為.故選：C.3.從3名男生，2名女生中隨機抽取2名學生到社區(qū)當志愿者，則正好抽取1名男生、1名女生的概率是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)排列組合以及古典概型的計算公式即可求解.【詳解】從5個人中隨機抽取2人，總共有種，正好1個男生一個女生的情況共有,所以概率為，故選：D4.記為等比數(shù)列的前n項和，已知，則（）A.30 B.31 C.61 D.62【答案】D【解析】【分析】根據(jù)條件列出關于首項和公比的方程組，即可求解.【詳解】設等比數(shù)列的首項為，公比為，依題意，且，得，則.故選：D5.已知雙曲線的左、右焦點分別為，，則雙曲線的漸近線方程式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】由雙曲線的定義與性質(zhì)計算即可.【詳解】由題意可得，故由題意可得，漸近線方程為.故選：D6.函數(shù)在上的圖象大致為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性，特殊值的函數(shù)值的符號及函數(shù)的零點分析，利用排除法即可得解.【詳解】因為，所以為奇函數(shù)，故排除C；當時，令，則或或，由圖可知，A符合，D不符合；又，故排除B；故選：A.7.設，，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較與和與的大小可得解.【詳解】∵，又，∴.故選：C.【點睛】本題考查了利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小，屬于基礎題.8.在中，，，，則的面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】利用余弦定理求出的值，代入三角形面積公式即可求解.【詳解】在中，因為，，，由余弦定理可得，，即，所以，解得，或（舍去），所以，故選：A.9.某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖為扇形，則該幾何體的體積為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)三視圖可得該幾何體是圓錐的一部分，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，即可求解.【詳解】從三視圖中提供的圖形信息與數(shù)據(jù)信息可知：該幾何體的底面是圓心角為，半徑為的扇形，高是4的錐體，底面面積，所以其體積．故選：D10.已知函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性得到函數(shù)的周期為，得到，根據(jù)條件，解出.【詳解】解：因為函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，所以，又因為為偶函數(shù)，所以的對稱軸為，則為周期函數(shù)，周期為.則有，設，根據(jù)對稱性，且，所以，所以，即，因為，所以，即.故選：.11.等腰直角三角形ABC的直角頂點A在x軸的正半軸上，點B在y軸的正半軸上，點C在第一象限，且O為坐標原點，若，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用向量的坐標表示計算數(shù)量積即可.【詳解】如圖所示，由題意易得，故可得，所以，故選：B12.已知正方體棱長為1，P為棱的中點，則四棱錐P－ABCD的外接球表面積為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】分別取三角形，四邊形的外心，，利用正弦定理得到，即可得到，然后利用勾股定理得到，最后根據(jù)球的表面積公式求表面積即可.【詳解】設四棱錐的外接球球心為，取中點，連接，取三角形，四邊形的外心，，連接，，，，，因為正方體的棱長為1，點為中點，所以，，，，，，所以，外接球的表面積.故選：C.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.已知向量，寫出一個與垂直的向量的坐標______．【答案】（答案不唯一）【解析】【分析】先設出向量，利用垂直得出關系式，根據(jù)關系式可得答案.【詳解】設與垂直的向量的坐標，因為，所以，令可得，故答案為：.（答案不唯一）14.兩條直線和分別與拋物線相交于不同于原點的A，B兩點，若直線AB經(jīng)過拋物線的焦點，則______．【答案】2【解析】【分析】將直線與拋物線聯(lián)立求出的坐標，由直線過拋物線的焦點，可得橫坐標等于焦點的坐標，然后求出的值．【詳解】聯(lián)立，解得或，可得,，聯(lián)立，解得,，當直線過拋物線的焦點時，，解得，所以當時，直線恒過拋物線的焦點．故答案為：.15.已知點，，經(jīng)過B作圓的切線與y軸交于點P，則______．【答案】【解析】【分析】由直線與圓的位置關系作出切線，求得，再用兩角和與差的正切公式即可得結(jié)果.【詳解】如圖所示，設圓心為C點，則，，則點在圓上，且，由與圓相切可得：，則，，則，故，則，從而可得,故答案為：.

16.若數(shù)列滿足，（，，P為常數(shù)），則稱為“等方差數(shù)列”．記為正項數(shù)列的前n項和，已知為“等方差數(shù)列”，且，，則______．【答案】【解析】【分析】由為正項數(shù)列的前n項和，且，，解出，為“等方差數(shù)列”可求，可求值.【詳解】為正項數(shù)列的前n項和，則有，解得，，已知為“等方差數(shù)列”，則，有，.故答案為：三、解答題：共70分．解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟．第17~21題為必考題，每個試題考生都必須作答．第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答．（一）必考題：共60分．17.某校為了解學生每天的校內(nèi)體育鍛煉情況，隨機選取了100名學生進行調(diào)查，其中男生有50人．下面是根據(jù)調(diào)查結(jié)果繪制的學生日均校內(nèi)體育鍛煉時間（單位：分鐘）的頻率分布直方圖．將日均校內(nèi)體育鍛煉時間在[60，80]內(nèi)的學生評價為“鍛煉時間達標”，已知樣本中“鍛煉時間達標”的學生中有5名女生．（1）若該校共有1000名學生，請估計該?！板憻挄r間達標”的學生人數(shù)；（2）根據(jù)樣本數(shù)據(jù)完成下面的2×2列聯(lián)表，并據(jù)此判斷是否有90%的把握認為“鍛煉時間達標”與性別有關？是否達標性別鍛煉時間達標鍛煉時間未達標合計男女合計附：0.100.0500.0100.0012.7063.8416.63510.828【答案】（1）150人（2）列聯(lián)表見解析，沒有90%把握認為“鍛煉時間達標”與性別有關.【解析】【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖求鍛煉時間達標的學生的概率再結(jié)合總的學生人數(shù)可得；（2）完成聯(lián)表求卡方，根據(jù)臨界值表判斷相關性即可.【小問1詳解】由頻率分布直方圖得：“鍛煉時間達標”的學生的概率估計為，所以該?！板憻挄r間達標”的學生人數(shù)估計為（人），【小問2詳解】樣本數(shù)據(jù)中：“鍛煉時間達標”的學生人數(shù)為（人），其中女生有5人，男生有10人，

“鍛煉時間未達標”的女生人數(shù)為50－5=45（人），男生人數(shù)為50－10=40（人），所以2×2列聯(lián)表：鍛煉時間達標鍛煉時間未達標合計男104050女54550合計1585100，所以沒有90%的把握認為“鍛煉時間達標”與性別有關.18.記的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知a，b，c成公差為2的等差數(shù)列，且．（1）求b；（2）若D是AB的中點，求CD的長．【答案】（1）6（2）【解析】【分析】由題意設，再利用余弦定理即可得解；（2）在中，利用余弦定理即可得解.【小問1詳解】由題意設，由，解得；【小問2詳解】由（1）知，由D是AB的中點，得在中，，所以19.如圖，四邊形ABCD是圓柱的軸截面，EF是圓柱的母線，P是線段AD的中點，已知AB=4，BC=6．（1）證明：平面；（2）若直線AB與平面EPF所成角為60°，求三菱錐B－EPF的體積．【答案】（1）證明見解析（2）是定值【解析】【分析】（1）根據(jù)圓的性質(zhì)得到，根據(jù)圓柱的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面垂直的判定定理證明即可；（2）根據(jù)平面EPF得到AB與平面EPF所成角為，然后根據(jù)線面角得到，，最后根據(jù)椎體的體積公式求體積即可.【小問1詳解】連接AF，∵四邊形ABCD是圓柱的軸截面，∴AB為圓O的直徑，∴，又EF是圓柱的母線，∴平面ABF，∵平面ABF，∴，又∵，，平面，∴平面ADEF，又∵P是線段AD的中點，∴平面ADEF即為平面EPF，∴平面EPF.【小問2詳解】由（1）知平面EPF，∴BF為三棱錐B－EPF的高，且AF為AB在平面EPF內(nèi)的射影，∴AB與平面EPF所成角為，由已知，AB=4，BC=6，∴，，，∴.20.已知橢圓C：的左、右焦點分別為，離心率為，P為橢圓C上一點（除左、右頂點），直線PF?，PF?與橢圓C的另一個交點分別為A，B，且，，當m=1時，．（1）求橢圓C標準方程；（2）試判斷是否為定值，若是求出定值，若不是說明理由．【答案】（1）（2）的定值是【解析】【分析】（1）根據(jù)得出軸，設出P點坐標，利用以及離心率可得方程；（2）設出的方程，分別與橢圓聯(lián)立，利用，，表示出結(jié)合韋達定理可求答案.【小問1詳解】當時，軸，設P點坐標為代入橢圓方程得：，所以，即，又因為，，解得：，，，所以橢圓C的標準方程為：．【小問2詳解】設，，，，，其中.由得：，所以，同理可得：，由可得，即所以，所以的定值是.21.已知函數(shù)．（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，且存在，使得在上的值域，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）答案見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先求導得，再分類討論的大小求單調(diào)區(qū)間即可；（2）由題意先得出，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為且，討論判斷的單調(diào)性求即可.【小問1詳解】函數(shù)的定義域為，，當時，，此時在上單調(diào)遞增；當時，，，此時在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．綜上可知：當時，在上單調(diào)遞增；當時，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．【小問2詳解】由（1）知：當時，在上單調(diào)遞增，定義在上，所以，得到：，即記函數(shù)，則上式轉(zhuǎn)化為且，又，①當時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，由，可得，與且矛盾；②當時，時，，時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，的最大值為，依據(jù)直線和對數(shù)增長的差異易知，，需滿足且，只需，解得，綜上可知：a的取值范圍為【點睛】方法點睛：研究函數(shù)的性質(zhì)是高考壓軸題的核心思想，但直接構(gòu)造或者簡單拆分函數(shù)依然復雜，這時候需要依賴對函數(shù)的等價變形，通過恒等變形發(fā)現(xiàn)簡單函數(shù)結(jié)構(gòu)再進行構(gòu)造研究，會起到事半功倍的效果.（二）選考題：共10分．請考生在22、23題中任選一題作答．如果多做，則按所做的第一題計分．22.以等邊三角形的每個頂點為圓心，以其邊長為半徑，在另兩個頂點間作一段圓弧，三段圓弧圍成的曲邊三角形被稱為勒洛三角形．如圖，在極坐標系Ox中，曲邊三角形OPQ為勒洛三角形，且，Q在極軸上，C為的中點．以極點O為直角坐標原點，極軸Ox為x軸正半軸建立平面直角坐標系．（1）求所在圓P的直角坐標方程與直線CQ的極坐標方程；（2）過O引一條射線，分別交圓P，直線CQ于A，B兩點，證明：為定值．【答案】（1），；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）根據(jù)極坐標公式，求點的直角坐標，根據(jù)圓心坐標和過極點，即可求圓的方程；先求的直角坐標方程，再轉(zhuǎn)化為極坐標方程；（2）首先設A，B兩點的極坐標分別為，，再根據(jù)極坐標方程，分別求和，，即可求解.【小問1詳解】∵，∴P的直角坐標為，又等邊的邊長為2，∴圓P的直角坐標方程為：，∵CQ的直角坐標方程為：即，即，∴CQ的極坐標方程為：；【小問2詳解】設A，B兩點的極坐標分別為，，∵圓P的直角坐標方程為：，∴圓P的極坐標方程為：，即，∴