合肥工業(yè)大學高數習題冊上冊答案

------------------------------------------------------------l2x,x>0,xxtt2xx2((1)f(_1)，f(0)，f(1)；(212f(x)_f(x)=(2x+sinx)_(2x+sinx)21221121212122212212214．設f(x)在[一a,a]上是奇函數，證明：若f(x)在[0,a]上遞增，則f(x)在[一a,0]上121212122122212―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――【解】分之分母同除3n，利用四則運算極限法則和冪極限可得L=lim3=1。■nwn333n)w2232n2=..….=，1n2nn)w2n2n)w------------------------------------------------------------==…=，=n==(4)limx+xx==，xxxxx+121++1x(5)lim(31)．x1x3+1x+1xlimxxx1x3+1x1x3+1x1(1+x)(1x+x2)2．求常數a和b，使得limx0xx0x0x0xx0x0x0x0x(ax+4+2)x0x(ax+4+2)x0exx0x0+x0------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------x)0x)0x)0一1xx)0+x1x)0一x)0+limf(x)=limx)0一xx)0一1xx)0一ett)+wetxx1一et)+w1一ett)+w1一ett)+wet故limf(x)不存在?！鰔)0―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――【解】【解】x)03x.2x3sin2xx1xx)x)0x21x)0x22x)0x2(ln(1+2x)．設f(x)=〈|x,x|lx確定正數a的值，使得limf(x)存在．x)0------------------------------------------------------------x)x)x)x)x)x)1limf(x)=lim1limf(x)=limxlimf(x)limf(x)=lim=lim=2，x)0+x)0+xx)0+xa4x)0―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――x)0x3x)0xcosxx2x)0xx)0cosxx)0x222(2)limx)2(2)limx)2【解】L=limsin(x一2)lim1=1.1=1?！鰔)2x一2x)2x+244x)wx一一一一x)wxx)wx22xwx12．設x=10,x=6+x(n=1,2,3,...)，試證數列{x}的極限存在，并求此數列極1n+1nn【證】(1)證明極限的存在性------------------------------------------------------------1212n+1nnn11xnn1nnn+1nnn132x=6+x=6+10>6+9=3，43nnn于是，由單調有界收斂準則知：存在極限limx。n (2)求極限：設limx=a，則由x=6+x求極限可得a=6+a，即nnn1ax>0，故a=3?！鰊―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――4連續(xù)函數及其性質x0------------------------------------------------------------x)x)x)x)x)1+x)1-x)1+2．設f(x)=lim1-x2nx，試求函數f(x)的表達式，若有間斷點，并說明其類型．n)w1+x2n(0,nwlw,x)0-x)0-limf(x)=limxcos1=0(無窮小與有界函數積)，x)x)0+x)0-------------------------------------------------------------|lx,(sinxxx)x)0-x)0-limf(x)=lim=limf(x)=lim=limx)0+x)0+xx)0+x)x)x)0xx)0xx)0x)0x)ax-ax)ax-ax)a2x)ax-a2x)0xx)0xxx)0xx)0xx)0xx)0xbn)wbn)wx即―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――y=x_在點(|(,_))|22法線方程為y+3=_1(x_1)?！?52n)wnn[f(x[f(x+)_f(x)]+[f(x)_f(x_)]nn)wnf(x)_f(x_)f(x)_f(x_)n)wn------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------xx0x0x0(2)可導性：∵limf(x)f(0)=limsinx0=1，xx0xxx0x0limf(x)f(0)=limsinx0=1，xx0+xx0+x0+注：也可從可導性入手。左右可導函數必連續(xù)，但未必可導?！雳D――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――22xxx2x2x2211y1.2a2一x2 注意：也可先分母有理化，再求導?！鰂xyx數。f(x)f(x)f2(x)------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------xx【解】∵f(x)+2f(1)=3，……①xx∴換x為1可得：f(1)+2f(x)=3x?！趚xfxfp(x)=1。■xx2dxdx2dx33x2dx3x2―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――f(x)=g(x)，其中g是二階可導函數，試求fp(x)．2x43x4xxx=0對x求導，視y為x的函數：yp=ey+xeyyp，……①py1；222―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――yyxxy于2a2．------------------------------------------------------------y,y,00x20x200x202x2a2/x0000xSAB|2x||2a2|=2a2?！?x3．設〈(x=f,(ttdx2dxdx=d(f,)=f,dx2dxdx=d(f,)=f,dtdtdxx,ttdxdxdx1一t2tt------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------t―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――24422x123123【證】∵f(x)在[a,b]上二階可導，且f(x)=f(x)=f(x)，123∴對f(x)分別在[x,x],[x,x]上應用羅爾定理可得：分別存在c=(x,x)，1223112------------------------------------------------------------22312再對f,(x)在[c,c]上應用羅爾定理可得：存在c仁(c,c)仁(a,b)，使得有：12―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――x)0x30x)03x2x)06x6(2)lim(1一1)；x)0x2xtanxL=lim=lim(0)=lim=lim=x)0x2tanxx)0x)0x3L=lim=lim(0)=lim=lim=x)0x2tanxx)0x)0x30x)03x23x)0x23x)0+lncosbxw12原式=alimtanaxa2.■bx)0+tanbx無窮小b2(4)x)w------------------------------------------------------------1t0t0t01b x0設f,(x)存在且連續(xù)，求limf(x+2h)2f(x+h)+f(x)。h0h2原式lim2f,(x+2h)2f,(x+h)(0)lim[2f,(x+2h)f,(x+h)]h02h0h0f,續(xù)2f,(x)f,(x)=f,(x)?！雳D――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――0【解】∵f,(x)=lnx+1，f,(x)=1，f,(x)=1，xx21f(1)=0，f,(1)=f,(1)=1，f,()=，2f(x)=f(1)+f,(1)(x1)+f,()(x1)2(介于x與1之間)，即xlnx=(x1)+1(x1)21(x1)3(介于x與1之間)?！?2!(n1)!------------------------------------------------------------x2x2x2―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――minmax為------------------------------------------------------------maxmin·寫出三角形面積(目標函數)：22a22a4a4a333令V,=0，即得r=2R。3------------------------------------------------------------由實際意義可知：當底面半徑r=2R、高2h=2R時，所作圓柱體體積最33―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――(0,0)為曲線的拐點?！?2)拐點：x)0x)01_e_x2(<0,x<2,(3)中點：22(4)直線：過P(3,e_1+2e_2)且垂至于x=0(y軸)的直線方程為y=e_1+2e_2?！?22―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――x)wx)w1_e_x2x)w(1_x)2不存在，x1,minminx10,0,0,29――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2cos2xcos2x222f(a)f(b)f()(ab)(ba)，【解】(1)xdxS1【解】(1)xdxS1222。20xdxS。―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――00(2)1121112444001x001x011(2)∵對lnt在[1,1x]上應用格朗日中值定理可得：x0020033―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――0minx)0x(2)limcosx．x)0x2x)01x)02x2x)0xx)02e3．設f(x)=〈(x2,x=[0,1],求函數C(x)=jxf(t)dt在[0,2]上的表達式，并討論C(x)在lx,x=[1,2],0(0,2)內的連------------------------------------------------------------l2l21l2-x,x共2,1-10""x0"0"2inx30"332-2-20-20x2+101+f2(x)(4)設f(x)=3x-1x2+101+f2(x)02―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――2.j2x4dx．x222 (22)222222sin2xsin2x2sinx――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――------------------------------------------------------------2222(x2)22233------------------------------------------------------------x2xxxx(I=jexdx=jdex=arctanex+C?！?ex)2+11+(ex)2(1+t2)t1+t2(a2x2)32(acost)3a2a2a2a2x2(11)jex1dx；xx21------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------2jdx。115551()2-(x-)222(-2.求j4f(-2.求j4f(x-2)dx，其中f(x)=〈|x2,1|,22222-12022-1000冗0冗2冗冗0冗2冗0冗2冗200------------------------------------------------------------143幾幾sect244―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――xxxjxfxdxf(x)二階可導)；22j2cos2x22C2220222202000000000003．設sinx是f(x)的一個原函數，計算j幾xfp(x)dx．x幾2------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------【解】∵sinx是f(x)的一個原函數，∴f(x)=(sinx)p=cosxsinx，從而，xxxx222224.若f(x)為連續(xù)的偶函數，證明jxf(t)dt為奇函數．00000―――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――――1.jx3dx．22.jx2dx．x22x+5222------------------------------------------------------------4 sinx424