數(shù)學(xué)實驗之三收斂與溷沌迭代

數(shù)學(xué)(shùxué)實驗之三收斂與混沌(hùndùn)(迭代)MathematicalExperements第一頁，共39頁。1引例(yǐnlì)圖示迭代(diédài)數(shù)列實驗內(nèi)容實驗?zāi)康姆祷刂刖W(wǎng)模型第二頁，共39頁。2實驗?zāi)康腫1]理解迭代的根本概念；[2]掌握(zhǎngwò)圖示迭代數(shù)列；[3]熟悉MATLAB軟件編程環(huán)境；掌握(zhǎngwò)MATLAB編程語句；[4]了解二元函數(shù)迭代方法及圖形特征；返回第三頁，共39頁。3例：污水處理廠每天可將處理池的污水〔中含污物〕濃度降低一個固定比例q，問多長時間才能(cáinéng)使污水濃度降低一半？引例(yǐnlì)設(shè)第k天的污水(wūshuǐ)濃度為ck，那么第k+1天的污水(wūshuǐ)濃度為ck+1=(1-q)ck,k=0,1,2,…cn=(1-q)nc0將cn=c0/2代入可解出n=-lg2/lg(1-q),n天后污水濃度降低一半。第四頁，共39頁。4瀕危物種的自然(zìrán)演變和人工孵化引例(yǐnlì)Florida沙丘鶴屬于瀕危物種，據(jù)報道，生態(tài)學(xué)家估計它在較好的自然環(huán)境下，年平均增長率僅為1.94%，而在中等及較差的自然環(huán)境下，年平均增長率那么分別為-3.24%和-3.82%，即它將逐年減少。如果在自然保護區(qū)內(nèi)開始有100只鶴，建立描述(miáoshù)其數(shù)量變化規(guī)律的模型。人工孵化是拯救這個瀕危物種的措施之一，如果每年人工孵化5只鶴放入該保護區(qū)，那么在中等自然環(huán)境下沙丘鶴的數(shù)量將如何變化？第五頁，共39頁。5建立(jiànlì)模型引例(yǐnlì)設(shè)第k年沙丘鶴的數(shù)量為xk，自然環(huán)境下的年平均(píngjūn)增長率為r，且a=1+r,那么第k+1年鶴的數(shù)量為：在人工孵化條件下，設(shè)每年孵化的數(shù)量為b,那么第k+1年鶴的數(shù)量為：xk+1=axk,a=1+r,k=0,1,2,…xk+1=axk+b,a=1+r,k=0,1,2,…第六頁，共39頁。6例如(lìrú)迭代(diédài)的根本概念對任意初值x0≠0，由f1(x)產(chǎn)生(chǎnshēng)的數(shù)列是收斂于1的。除0，±1以外，對任意初值x0，由f2(x)產(chǎn)生的數(shù)列是發(fā)散的。設(shè)函數(shù)f(x),任意給定一個數(shù)x0，定義可產(chǎn)生數(shù)列{xn},如何判斷該數(shù)列收斂？第七頁，共39頁。7迭代(diédài)的根本概念定義：對函數(shù)f(x),如果(rúguǒ)存在點u，使得f(u)=u,那么稱點u為函數(shù)f(x)的不動點。注意，x=0,1都是f1(x)的不動點,在x=1附近的任何初值x0，由f1(x)產(chǎn)生的數(shù)列都收斂于1，而在x=0附近的任何初值x0，由f1(x)產(chǎn)生的數(shù)列都是發(fā)散的，前者稱為(chēnɡwéi)吸引的，后者稱為(chēnɡwéi)排斥的。第八頁，共39頁。8市場經(jīng)濟中的蛛網(wǎng)(zhūwǎng)模型問題供大于求現(xiàn)象商品數(shù)量與價格(jiàgé)的振蕩在什么條件下趨向穩(wěn)定當(dāng)不穩(wěn)定時政府(zhèngfǔ)能采取什么干預(yù)手段使之穩(wěn)定價格下降減少產(chǎn)量增加產(chǎn)量價格上漲供不應(yīng)求描述商品數(shù)量與價格的變化規(guī)律數(shù)量與價格在振蕩第九頁，共39頁。9蛛網(wǎng)模型gx0y0P0fxy0xk~第k時段商品(shāngpǐn)數(shù)量；yk~第k時段商品(shāngpǐn)價格消費者的需求(xūqiú)關(guān)系生產(chǎn)者的供給(gōngjǐ)關(guān)系供應(yīng)函數(shù)需求函數(shù)f與g的交點P0(x0,y0)~平衡點思考：P0(x0,y0)是否是穩(wěn)定平衡點？

第十頁，共39頁。10xy0fgy0x0P0設(shè)x1偏離(piānlí)x0x1x2P2y1P1y2P3P4x3y3P0是穩(wěn)定(wěndìng)平衡點P1P2P3P4P0是不穩(wěn)定(wěndìng)平衡點xy0y0x0P0fg曲線斜率蛛網(wǎng)模型第十一頁，共39頁。11在P0點附近(fùjìn)用直線近似曲線P0穩(wěn)定(wěndìng)P0不穩(wěn)定(wěndìng)方程模型方程模型與蛛網(wǎng)模型是一致的第十二頁，共39頁。12~商品數(shù)量減少(jiǎnshǎo)1單位,價格上漲幅度~價格上漲1單位,(下時段)供給(gōngjǐ)的增量考察(kǎochá),的含義~消費者對需求的敏感程度~生產(chǎn)者對價格的敏感程度小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定小,有利于經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋xk~第k時段商品數(shù)量；yk~第k時段商品價格經(jīng)濟穩(wěn)定結(jié)果解釋第十三頁，共39頁。13模型(móxíng)的推廣生產(chǎn)者根據(jù)(gēnjù)當(dāng)前時段和前一時段的價格決定下一時段的產(chǎn)量。生產(chǎn)者管理水平提高(tígāo)設(shè)供給函數(shù)為需求函數(shù)不變二階線性常系數(shù)差分方程試分析平衡點穩(wěn)定條件，即k,xkx0的條件第十四頁，共39頁。14圖示迭代(diédài)數(shù)列以下(yǐxià)討論二次函數(shù)：其中(qízhōng)a為參數(shù)，考慮a的取值范圍[0,4]，稱該函數(shù)為Logistic函數(shù)。可以用圖形的方式來反映迭代的過程。迭代格式：Z

Logistic函數(shù)的兩個不動點x=0,1-1/a是吸引的還是排斥的？第十五頁，共39頁。15三種圖形顯示方式：線性聯(lián)結(jié)圖、蛛網(wǎng)圖、費根鮑姆圖1〕線性聯(lián)結(jié)圖用點(n,xn)描述迭代點，并用直線連接(liánjiē)這些點所形成的折線圖〔橫坐標(biāo)表示n，縱坐標(biāo)表示xn〕。Z

不同的參數(shù)a，產(chǎn)生的序列(xùliè){xn}可能收斂可能發(fā)散。觀察a取什么值時收斂〔或發(fā)散〕？圖示迭代(diédài)數(shù)列第十六頁，共39頁。16震蕩發(fā)散情形收斂情形1.線性連接(liánjiē)圖2-周期(zhōuqī)4-周期(zhōuqī)第十七頁，共39頁。17a=[0.5,2.5,3.1,3.5];x1=[];x2=[];x3=[];x4=[];x1(1)=0.5;x2(1)=0.5;x3(1)=0.5;x4(1)=0.5;fori=2:20x1(i)=a(1)*x1(i-1)*(1-x1(i-1));x2(i)=a(2)*x2(i-1)*(1-x2(i-1));x3(i)=a(3)*x3(i-1)*(1-x3(i-1));x4(i)=a(4)*x4(i-1)*(1-x4(i-1));endn=1:20;subplot(2,2,1),plot(n,x1),title('a=0.5,x0=0.5')subplot(2,2,2),plot(n,x2),title('a=2.5,x0=0.5')subplot(2,2,3),plot(n,x3),title('a=3.1,x0=0.5')subplot(2,2,4),plot(n,x4),title('a=3.5,x0=0.5')MATLAB程序(chéngxù)第十八頁，共39頁。18在直角坐標(biāo)系中，首先(shǒuxiān)畫出直線y=x和曲線y=f(x)，其中f(x)為迭代曲線。①從直線(zhíxiàn)y=x上點An(xn,xn)到曲線y=f(x)上點Bn(xn,xn+1)；〔垂直〕②從Bn(xn,xn+1)到An(xn+1,xn+1);(水平〕③重復(fù)。a=2.9,x0

AnBnAny=xy=f(x)2.蛛網(wǎng)(zhūwǎng)圖第十九頁，共39頁。19a=2.9;ezplot('2.9*x*(1-x)',[-0.2,1.2]),%畫二次函數(shù)(hánshù)曲線holdonezplot('x',[-0.2,1.2]),%畫直線x1=[];x1(1)=0.2;%初始點fori=2:50x1(i)=a*x1(i-1)*(1-x1(i-1));plot([x1(i-1),x1(i-1)],[x1(i-1),x1(i)]);plot([x1(i-1),x1(i)],[x1(i),x1(i)]);end%畫折線MATLAB程序(chéngxù)第二十頁，共39頁。20發(fā)散(fāsàn)情形收斂(shōuliǎn)情形2.蛛網(wǎng)(zhūwǎng)圖第二十一頁，共39頁。213.費根鮑姆圖周期點：如果對某個x0M有fn(x0)=x0，但對于小于n的自然數(shù)k,fk(x0)x0，那么稱x0是f的一個n-周期點。當(dāng)x0是f的n-周期點時，有fn+k(x0)=fk(x0)。此時(cǐshí)迭代序列為{x0,x1,x2,…,xn-1,x0,x1,…,xn-1,x0,…},只有n個不同的元素。注意，假設(shè)x0是f的n-周期點，那么x0,f(x0),…,fn-1(x0)均是f的n-周期點。第二十二頁，共39頁。223.費根鮑姆圖圖3.5費根鮑姆圖：f(x)=ax(1-x),aaxn結(jié)論(jiélùn)：具有周期性！第二十三頁，共39頁。23倍2-周期(zhōuqī)：2，4，8，16，32，……倍3-周期(zhōuqī)：3，6，12，24，48，96，……分岔(fēnchà)與混沌倍周期分裂行為就是所謂的分岔。隨著參數(shù)a的取值的增加，分岔頻率逐漸加快。對參數(shù)a連續(xù)取值觀察序列收斂性的變化？能否確定各個(gègè)周期變化的臨界狀態(tài)？第二十四頁，共39頁。24該圖形特點：觀察當(dāng)參數(shù)(cānshù)a連續(xù)變化時，函數(shù)f(x)=ax(1-x)的收斂與發(fā)散情況。3.費根鮑姆圖xn第二十五頁，共39頁。25編寫一個對含參變量函數(shù)f(x,a)進行迭代可調(diào)用程序。functionroot=iter(x,a)fori=2:100x(i)=a*x(i-1)*(1-x(i-1));endroot=x;%產(chǎn)生(chǎnshēng)100個迭代序列組成的數(shù)組MATLAB程序(chéngxù)第二十六頁，共39頁。26clf;x=[];x(1)=0.2;holdon;fora=2:0.01:4root=iter(x,a);plot(a.*ones(size(root(51:100))),root(51:100),'.')endxlabel('parametera');ylabel('迭代(diédài)序列〔51-100〕');MATLAB程序(chéngxù)能否將圖形(túxíng)放大？第二十七頁，共39頁。27MATLAB程序(chéngxù)第二十八頁，共39頁。28MATLAB程序(chéngxù)第二十九頁，共39頁。29MATLAB程序(chéngxù)第三十頁，共39頁。30k(2k個周期點）ak(臨界值)k(2k個周期點）ak1363.569723.449473.569933.544183.5699343.5644…53.5688周期(zhōuqī)點分岔的臨界值表第三十一頁，共39頁。31當(dāng)ak=3.569945672時，以上的倍-2周期分裂行為〔分岔〕終止，迭代進入沒有周期性規(guī)律的模式〔混沌〕，并且，迭代數(shù)列非常敏感(mǐngǎn)地依賴于初始值x0的選取，這種不規(guī)那么性與不可預(yù)測性，就是所謂的混沌〔Chaos〕?；煦缗c分岔相伴發(fā)生，分岔是混沌出現(xiàn)的早期現(xiàn)象。例如a=3.7的迭代行為就是如此。通過實驗還可以發(fā)現(xiàn)，當(dāng)a=3.7時，迭代對初值的高度敏感(mǐngǎn)性：無論兩個初值如何靠近，經(jīng)過迭代其結(jié)果(兩個數(shù)列)將是各行其道，這表達了混沌的不可預(yù)測性?；煦?hùndùn)第三十二頁，共39頁。32迭代(diédài)格式：xn+1=4xn(1-xn),n=0,1,…1、取初始點x0=0.2,記產(chǎn)生(chǎnshēng)的序列為xn；2、取初始點x0=0.201,記產(chǎn)生(chǎnshēng)的序列為yn；3、作線性連接圖。即plot(n,xn-yn)；敏感性分析第三十三頁，共39頁。33敏感性分析(fēnxī)a=4第三十四頁，共39頁。34另外，吸引子的倍增現(xiàn)象(xiànxiàng)不只是對二次函數(shù)才有，別的函數(shù)也有。例如，敏感性分析(fēnxī)第三十五頁，共39頁。351、迭代以下(yǐxià)函數(shù)，分析其收斂性。任選一個完成。使用線性連接圖、蛛網(wǎng)圖或分枝與混沌圖對參數(shù)a進行討論與觀察，會得到什么(shénme)結(jié)論？實驗內(nèi)容(nèiróng)返回結(jié)束第三十六頁，共39頁。362、生物種群的數(shù)量問題種群的數(shù)量〔為方便起見以下指雌性〕因繁殖而增加，因自然死亡(sǐwáng)和人工捕獲而減少。記xk(t)為第t年初k歲〔指滿k-1歲，未滿k歲，下同〕的種群數(shù)量，bk為k歲種群的繁殖率〔1年內(nèi)每個個體繁殖的數(shù)量〕，dk為k歲種群的死亡(sǐw