福建省廈門市第一中學(xué)2023年數(shù)學(xué)高二第二學(xué)期期末達(dá)標(biāo)測試試題含解析

2022-2023高二下數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng)：1．答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。2．回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑，如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)。回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效。3．考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知函數(shù)，，若，則()A． B． C． D．2．執(zhí)行如圖所示的程序框圖，如果輸入n=3，輸出的S=（）A． B． C． D．3．已知正項(xiàng)等差數(shù)列滿足：，等比數(shù)列滿足：，則（）A．-1或2 B．0或2 C．2 D．14．在市高二下學(xué)期期中考試中，理科學(xué)生的數(shù)學(xué)成績，已知，則從全市理科生中任選一名學(xué)生，他的數(shù)學(xué)成績小于110分的概率為（）A．0.15 B．0.50 C．0.70 D．0.855．若函數(shù)為奇函數(shù)，則A． B． C． D．6．已知展開式中項(xiàng)的系數(shù)為5，則＝（）A． B．π C．2π D．4π7．焦點(diǎn)為的拋物線的準(zhǔn)線與軸交于點(diǎn)，點(diǎn)在拋物線上，則當(dāng)取得最大值時(shí)，直線的方程為（）A．或 B．C．或 D．8．點(diǎn)M的極坐標(biāo)(4，A．(4，π3) B．(49．一個(gè)盒子裝有4件產(chǎn)品，其中有3件一等品，1件二等品.從中不放回的取兩次，每次取出一件.設(shè)事件為“第一次取到的是一等品”，事件為“第二次取到的是一等品”.則（）A． B． C． D．10．已知Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)的值為A．1 B．5 C．6 D．711．若某幾何體的三視圖如圖所示，則此幾何體的體積等于()A．24 B．30 C．10 D．6012．函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位得到的，則（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實(shí)數(shù)的取值范圍______．14．若的展開式中第項(xiàng)與第項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則該展開式中的系數(shù)__．15．已知復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的模____.16．已知函數(shù)在處切線方程為,若對恒成立，則_________.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值8.（Ⅰ）求函數(shù)的解析式；（Ⅱ）若不等式在區(qū)間上恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18．（12分）已知.（1）討論的單調(diào)性；（2）若，且在區(qū)間上的最小值為，求的值.19．（12分）已知數(shù)列滿足，.（1）求；（2）求證：.20．（12分）已知函數(shù).(1)若曲線在點(diǎn)處的切線與直線平行，求的值；(2)討論函數(shù)的單調(diào)性.21．（12分）某高校共有學(xué)生15000人，其中男生10500人，女生4500人．為調(diào)查該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的情況，采用分層抽樣的方法，收集300位學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的樣本數(shù)據(jù)（單位：小時(shí)）．（1）應(yīng)收集多少位女生的樣本數(shù)據(jù)？（2）根據(jù)這300個(gè)樣本數(shù)據(jù)，得到學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間的頻率分布直方圖（如圖所示），其中樣本數(shù)據(jù)的分組區(qū)間為：[0，2]，（2，4]，（4，6]，（6，8]，（8，10]，（10，12]．估計(jì)該校學(xué)生每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)的概率．（3）在樣本數(shù)據(jù)中，有60位女生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間超過4小時(shí)，請完成每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別列聯(lián)表，并判斷是否有95%的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均體育運(yùn)動(dòng)時(shí)間與性別有關(guān)”．附：22．（10分）已知函數(shù)，，若曲線和曲線在處的切線都垂直于直線．（Ⅰ）求，的值．（Ⅱ）若時(shí)，，求的取值范圍．

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、A【解析】分析：先求出g（1）=a﹣1，再代入f[g（1）]=1，得到|a﹣1|=0，問題得以解決．詳解：∵f（x）=5|x|，g（x）=ax2﹣x（a∈R），f[g（1）]=1，∴g（1）=a﹣1，∴f[g（1）]=f（a﹣1）=5|a﹣1|=1=50，∴|a﹣1|=0，∴a=1，故答案為：A．點(diǎn)睛：本題主要考查了指數(shù)的性質(zhì)，和函數(shù)值的求出，屬于基礎(chǔ)題．2、B【解析】

試題分析：由題意得，輸出的為數(shù)列的前三項(xiàng)和，而，∴，故選B.考點(diǎn)：1程序框圖；2.裂項(xiàng)相消法求數(shù)列的和.【名師點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列求和背景下的程序框圖問題，屬于容易題，解題過程中首先要弄清程序框圖所表達(dá)的含義，解決循環(huán)結(jié)構(gòu)的程序框圖問題關(guān)鍵是列出每次循環(huán)后的變量取值情況，循環(huán)次數(shù)較多時(shí)，需總結(jié)規(guī)律，若循環(huán)次數(shù)較少可以全部列出.3、C【解析】分析：根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系，結(jié)合等差和等比數(shù)列的定義和性質(zhì)求出數(shù)列的通項(xiàng)公式即可得到結(jié)論．詳解：由，得，

∵是正項(xiàng)等差數(shù)列，

∴

，∵是等比數(shù)列，則，即

故選：D．點(diǎn)睛：本題主要考查對數(shù)的基本運(yùn)算，根據(jù)等差數(shù)列和等比數(shù)列的性質(zhì)，求出數(shù)列的通項(xiàng)公式是解決本題的關(guān)鍵．4、D【解析】

根據(jù)正態(tài)密度曲線的對稱性得出，于是可計(jì)算出，于此可得出結(jié)果．【詳解】由于，由正態(tài)密度曲線的對稱性可得，因此，，故選D.【點(diǎn)睛】本題考查正態(tài)分布在指定區(qū)間上的概率的計(jì)算，解題的關(guān)鍵在于利用正態(tài)密度曲線的對稱性將所求概率轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間概率進(jìn)行計(jì)算，屬于基礎(chǔ)題．5、A【解析】分析：運(yùn)用奇函數(shù)的定義，可得，再計(jì)算即可詳解：函數(shù)為奇函數(shù)，故選點(diǎn)睛：本題主要考查的是奇函數(shù)的定義，分段函數(shù)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題。根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵6、B【解析】

通過展開式中項(xiàng)的系數(shù)為列方程，解方程求得的值.利用幾何法求得定積分的值.【詳解】展開式中項(xiàng)為即，條件知，則；于是被積函數(shù)圖像，圍成的圖形是以為圓心，以2為半徑的圓的，利用定積分的幾何意義可得，選B.【點(diǎn)睛】本小題主要考查二項(xiàng)式展開式，考查幾何法計(jì)算定積分，屬于中檔題.7、A【解析】過作與準(zhǔn)線垂直，垂足為，則，則當(dāng)取得最大值時(shí)，必須取得最大值，此時(shí)直線與拋物線相切，可設(shè)切線方程為與聯(lián)立，消去得，所以，得．則直線方程為或．故本題答案選．點(diǎn)睛：拋物線的定義是解決拋物線問題的基礎(chǔ)，它能將兩種距離(拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離，拋物線上的點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離)進(jìn)行等量轉(zhuǎn)化，如果問題中涉及拋物線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)或到準(zhǔn)線的距離，那么用拋物線定義就能解決問題．本題就是將到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化成到準(zhǔn)線的距離，將比值問題轉(zhuǎn)化成切線問題求解．8、C【解析】

在點(diǎn)M極徑不變，在極角的基礎(chǔ)上加上π，可得出與點(diǎn)M關(guān)于極點(diǎn)對稱的點(diǎn)的一個(gè)極坐標(biāo)?！驹斀狻吭O(shè)點(diǎn)M關(guān)于極點(diǎn)的對稱點(diǎn)為M'，則OM'所以點(diǎn)M'的一個(gè)極坐標(biāo)為(4,7π6)【點(diǎn)睛】本題考查點(diǎn)的極坐標(biāo)，考查具備對稱性的兩點(diǎn)極坐標(biāo)之間的關(guān)系，把握極徑與極角之間的關(guān)系，是解本題的關(guān)鍵，屬于基礎(chǔ)題。9、C【解析】

利用古典概型概率公式計(jì)算出和，然后利用條件概率公式可計(jì)算出結(jié)果?！驹斀狻渴录皟纱稳〉降亩际且坏绕?，由古典概型的概率公式得，由古典概型的概率公式得，由條件概率公式得，故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查條件概率公式求概率，解題時(shí)要弄清楚各事件之間的關(guān)系，關(guān)鍵在于靈活利用條件概率公式計(jì)算，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題。10、A【解析】分析：根據(jù)題意及結(jié)論得到E(X)=詳解：Y＝5X＋1，E(Y)＝6，則E(X)=故答案為A.點(diǎn)睛：這個(gè)題目考查的是期望的計(jì)算，兩個(gè)變量如果滿足線性關(guān)系，.11、A【解析】

根據(jù)幾何體的三視圖得出該幾何體是三棱柱去掉一個(gè)三棱錐所得的幾何體，結(jié)合三視圖的數(shù)據(jù)，求出它的體積．【詳解】根據(jù)幾何體的三視圖，得該幾何體是三棱柱截去一個(gè)三棱錐后所剩幾何體幾何體是底面為邊長為3,4,5的三角形，高為5的三棱柱被平面截得的，如圖所示：由題意：原三棱柱體積為：V截掉的三棱錐體積為：V所以該幾何體的體積為：V=本題正確選項(xiàng)：A【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)點(diǎn)是由三視圖求體積和表面積，解決本題的關(guān)鍵是得到該幾何體的形狀．12、B【解析】

把的圖像向左平移個(gè)單位后得到的圖像，化簡后可得的值，利用兩角和的余弦和正弦展開后可得的值.【詳解】把的圖像向左平移個(gè)單位后得到所得圖像的解析式為，根據(jù)可得①，所以即（舍），又對①化簡可得，故，故選B.【點(diǎn)睛】三角函數(shù)的圖像往往涉及振幅變換、周期變換和平移變換，注意左右平移時(shí)是自變量作相應(yīng)的變化，而且周期變換和平移變換（左右平移）的次序?qū)瘮?shù)解析式的也有影響，比如，它可以由先向左平移個(gè)單位，再縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?，也可以先保持縱坐標(biāo)不變，橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼模傧蜃笃揭?．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13、【解析】

函數(shù)在上單調(diào)遞增，等價(jià)于在恒成立，再利用最值法運(yùn)算即可.【詳解】解：因?yàn)?，所以，因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在恒成立，即在恒成立，又當(dāng)時(shí)，取最小值，即，故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)的范圍，重點(diǎn)考查了導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，屬基礎(chǔ)題.14、56【解析】試題分析：首先根據(jù)已知展開式中第3項(xiàng)與第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等得；然后寫出其展開式的通項(xiàng)，令即可求出展開式中的系數(shù).考點(diǎn)：二項(xiàng)式定理.15、.【解析】

由得，再利用復(fù)數(shù)的除法法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的模長公式計(jì)算出.【詳解】，，因此，，故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的除法、復(fù)數(shù)模的計(jì)算，解題的關(guān)鍵就是利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算法則將復(fù)數(shù)表示為一般形式來求解，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.16、【解析】

先求出切線方程，則可得到，令，從而轉(zhuǎn)化為在R上恒為增函數(shù)，利用導(dǎo)函數(shù)研究單調(diào)性即可得到答案.【詳解】根據(jù)題意得，故切線方程為，即，令，此時(shí)，由于對恒成立，轉(zhuǎn)化為，則在R上恒為增函數(shù)，，此時(shí)，而，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，于是在處取得極小值，此時(shí)，而在R上恒為增函數(shù)等價(jià)于在R上恒成立，即即可，由于為極小值，則此時(shí)只能，故答案為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查導(dǎo)函數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)極值，意在考查學(xué)生的分析能力，轉(zhuǎn)化能力，計(jì)算能力，難度思維較大.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、（I）（II）【解析】

（Ⅰ）求導(dǎo)，當(dāng)時(shí)，導(dǎo)函數(shù)為0，原函數(shù)為8，聯(lián)立方程解得（Ⅱ）參數(shù)分離，設(shè)，求在區(qū)間上的最大值得到答案.【詳解】（I）∵當(dāng)時(shí)，函數(shù)有極大值8∴，解得∴所以函數(shù)的解析式為.（II）∵不等式在區(qū)間上恒成立∴在區(qū)間上恒成立令，則由解得，解得所以當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞減所以對，都有，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題考查了極值的性質(zhì)，參數(shù)分離，恒成立問題，將恒成立問題轉(zhuǎn)化為最值問題是解題的關(guān)鍵.18、（1）當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；（2）.【解析】

（1）根據(jù)函數(shù)解析式可得定義域和導(dǎo)函數(shù)；分別在和兩種情況下討論導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，從而得到函數(shù)的單調(diào)性；（2）首先確定解析式和；通過可知；分別在、和三種情況下確定在上的單調(diào)性，從而得到最小值的位置，利用最小值構(gòu)造方程求得結(jié)果.【詳解】（1）由題意得：定義域?yàn)椋?；?dāng)時(shí)，在上恒成立在上單調(diào)遞增當(dāng)時(shí)，令，解得：時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞增；在上單調(diào)遞減綜上所述：當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減（2）則令，解得：①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立在上單調(diào)遞增，解得：，舍去②當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，；時(shí)，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增，解得：，符合題意③當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立在上單調(diào)遞減，解得：，舍去綜上所述：【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的應(yīng)用，涉及到利用導(dǎo)數(shù)討論含參數(shù)函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的最值求解參數(shù)值的問題；關(guān)鍵是能夠根據(jù)參數(shù)與導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的位置關(guān)系確定函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的單調(diào)性，從而得到最值的位置.19、（1）；（2）證明見解析【解析】

（1）根據(jù)題意變換得到數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，得到通項(xiàng)公式.（2），，代入計(jì)算得到答案.【詳解】（1）由得，所以當(dāng)時(shí)，因此有，即，整理得，又，，所以數(shù)列是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列，求得.（2）記，故，又，所以.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列的通項(xiàng)公式，證明數(shù)列不等式，意在考查學(xué)生對于數(shù)列的放縮能力和應(yīng)用能力.20、（1）3；（2）見解析.【解析】

（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用斜率求出實(shí)數(shù)的值即可；（2）求出函數(shù)的定義域以及導(dǎo)數(shù)，在定義域下，討論大于0、等于0、小于0情況下導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)性?！驹斀狻浚?）因?yàn)?，所以，即切線的斜率，又切線與直線平行，所以，即；（2）由（1）得

，的定義域?yàn)?，若，則，此時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則，此時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；若，則

當(dāng)即時(shí)，，當(dāng)即時(shí)，，此時(shí)函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù)．綜上所述：當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)；當(dāng)時(shí)，函數(shù)在上為單調(diào)遞增函數(shù)，在上為單調(diào)遞減函數(shù).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，考查學(xué)生分類討論的思想，屬于中檔題。21、（1）90；（2）；（3）有的把握認(rèn)為“該校學(xué)生的每周平均課外閱讀時(shí)間與性別有關(guān)”【解析】

（1）根據(jù)頻率分布直方圖進(jìn)行求解即可．（2）由頻率分布直方圖先求出對應(yīng)的頻率，即可估計(jì)對應(yīng)的概率．（3）利用獨(dú)立性檢驗(yàn)進(jìn)行求解即可【詳解】（1）30090，所以應(yīng)收集90位女生的樣本數(shù)據(jù)．（2）由頻率分布直方圖得1