浙江省寧波市咸祥中學(xué)2019-2020學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題 Word版含解析

/咸祥中學(xué)高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科期中考試試卷本試題卷分選擇題和非選擇題兩部分.滿分150分，考試時間120分鐘.選擇題部分（共72分）一、選擇題：本大題共18小題，每小題4分，共72分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，，則（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用并集運算法則計算得到答案.【詳解】集合，，則.故選：C.【點睛】本題考查了并集運算，屬于簡單題.2.直線經(jīng)過點（0，2）和點（3，0），則它的斜率為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用直線斜率公式，即可求解經(jīng)過兩點的直線的斜率，得到答案．【詳解】由題意，直線經(jīng)過點和點，則直線的斜率是，故選C．【點睛】本題主要考查了直線的斜率公式的應(yīng)用，其中解答中熟記直線的斜率公式，準確運算是解答的關(guān)鍵，著重考查了推理與運算能力，屬于基礎(chǔ)題．3.一條弦的長度等于圓的半徑，則這條弦所對的圓心角的弧度數(shù)是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】如圖所示，根據(jù)弦長得到為等邊三角形，得到答案.【詳解】根據(jù)題意：如圖所示，，則為等邊三角形，故.故選：A.【點睛】本題考查了根據(jù)弦長求圓心角，屬于簡單題.4.若等比數(shù)列中，，則等于（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】直接利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到答案.【詳解】根據(jù)等比數(shù)列性質(zhì)：.故選：C.【點睛】本題考查了等比數(shù)列性質(zhì)，屬于簡單題.5.與的大小關(guān)系是（）A. B. C. D.不能比較大小【答案】B【解析】【分析】根據(jù)，即可得到大小關(guān)系.【詳解】，，所以.故選：B【點睛】此題考查比較兩個實數(shù)的大小，涉及無理數(shù)之間的大小關(guān)系，利用平方關(guān)系進行比較，屬于簡單題目.6.函數(shù)（且）的圖象必經(jīng)過點（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)直接計算得到定點.【詳解】當(dāng)時，，故函數(shù)圖像必經(jīng)過點.故選：D.【點睛】本題考查了指數(shù)型函數(shù)過定點問題，利用是解題的關(guān)鍵.7.在ΔABC中，，，A=45°，則此三角形解的情況是()A.兩解 B.一解 C.一解或兩解 D.無解【答案】A【解析】【分析】根據(jù)余弦定理,解方程可解得兩個的值,故有兩解.【詳解】因為，，A=45°,所以由余弦定理得,所以,解得或,所以此三角形解有兩解.故選.【點睛】本題考查了用余弦定理判斷三角形的解的個數(shù),屬于基礎(chǔ)題.8.下列說法正確的是（）A.若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則B.若直線在平面外,則C.若直線,則D.若直線，則直線平行于內(nèi)的無數(shù)條直線【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直線與平面位置關(guān)系,直線與平面平行的判定定理逐個判斷可得答案.【詳解】對于,若直線平行于平面內(nèi)的無數(shù)條直線,則或,故不正確;對于,若直線在平面外,則或與相交,故不正確;對于,若直線,則或,故不正確;對于,若直線，則直線平行于內(nèi)的無數(shù)條直線,是正確的.故選:D【點睛】本題考查了直線與平面的位置關(guān)系,直線與平面平行的判定定理,屬于基礎(chǔ)題.9.兩個圓與圓的公切線有且僅有（）A.條 B.條 C.條 D.條【答案】B【解析】【分析】利用幾何法判斷出兩圓的位置關(guān)系，即可得出兩圓的公切線條數(shù).【詳解】圓的標準方程為，圓的標準方程為，兩圓心分別為、，半徑分別為，，，兩圓相交，因此，兩圓有條公切線，故選：B.【點睛】本題考查兩圓公切線條數(shù)的判斷，本質(zhì)上還是要判斷兩圓的位置關(guān)系，同時也考查熟悉兩圓公切線條數(shù)與兩圓位置之間的關(guān)系，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.10.值是（）A. B. C.- D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)誘導(dǎo)公式化簡，并結(jié)合正弦和角公式即可求解.【詳解】由誘導(dǎo)公式可知所以由正弦和角公式可得，故選：B.【點睛】本題考查了誘導(dǎo)公式及正弦和角公式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.11.平面向量與的夾角為，，，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)平面向量數(shù)量積運算律及數(shù)量積定義，即可求得.【詳解】平面向量與的夾角為，，，則，由平面向量運算律及數(shù)量積定義可知故選：B.【點睛】本題考查了平面向量數(shù)量積的運算律與數(shù)量積定義，平面向量模的求法，屬于基礎(chǔ)題.12.古希臘人常用小石頭在沙灘上擺成各種形狀來研究數(shù).比如：他們研究過圖中的,,,,…,由于這些數(shù)能夠表示成三角形,將其稱為三角形數(shù)；類似的,稱圖中的,,,,…這樣的數(shù)為正方形數(shù).下列數(shù)中既是三角形數(shù)又是正方形數(shù)的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)圖1的規(guī)律可求得第個圖形中點的個數(shù)通項公式,以及圖2中第個圖形中點的個數(shù)的通項公式,再逐個選項辨析即可.【詳解】易得圖1中第個圖形中點的個數(shù)通項公式,圖2中第個圖形中點的個數(shù)通項公式.四個選項中僅有正整數(shù)解.故選：B【點睛】本題主要考查了圖形規(guī)律中的數(shù)列通項公式以及數(shù)列求和公式.屬于基礎(chǔ)題.13.已知橢圓的一個焦點為，離心率，則橢圓的標準方程為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)橢圓的焦點坐標及離心率，可求得，再由橢圓中的關(guān)系即可求得橢圓的標準方程.【詳解】橢圓的一個焦點為，則，離心率，則，所以，由橢圓中的關(guān)系滿足，可得，所以橢圓的標準方程為，故選：C.【點睛】本題考查了橢圓標準方程的求法，橢圓的幾何意義及簡單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.14.設(shè)，那么“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件 C.充要條件 D.既不充分又不必要條件【答案】A【解析】【分析】考慮兩個命題：若，則，若，則，根據(jù)真假性即可得解.【詳解】對于實數(shù)x，若，則，是一個真命題，若，則，是假命題，所以“”是“”的充分不必要條件.故選：A【點睛】此題考查充分條件與必要條件的判定，關(guān)鍵在于根據(jù)邏輯關(guān)系準確判斷，也可根據(jù)集合的包含關(guān)系判斷.15.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)所給三視圖，還原出空間幾何體，即可求得幾何體的表面積.【詳解】根據(jù)三視圖，還原空間幾何體如下圖所示：在正方體中，去掉三棱錐，正方體的棱長為2，為的中點，則，故選：B.【點睛】本題考查了空間幾何體三視圖的簡單應(yīng)用，關(guān)鍵是能夠正確還原出空間幾何體，屬于中檔題.16.已知雙曲線（，），，是雙曲線的兩個頂點，是雙曲線上的一點，且與點在雙曲線的同一支上，關(guān)于軸的對稱點是，若直線，的斜率分別是，，且，則雙曲線的離心率是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由雙曲線的標準方程可知焦點在軸上，設(shè)出點坐標，即可得點坐標；根據(jù)直線，的斜率乘積，結(jié)合斜率公式即可求得的等量關(guān)系，再由點在雙曲線上，代入即可得關(guān)系，進而求得雙曲線的離心率.【詳解】雙曲線（，），，是雙曲線的兩個頂點，則雙曲線焦點在軸上，不妨設(shè)，，是雙曲線上的一點，且與點在雙曲線的同一支上，關(guān)于軸的對稱點是，則，由兩點間斜率公式可得直線的斜率，直線的斜率，根據(jù)題意，則，化簡可得，是雙曲線上的一點，則，化簡可得，由上述兩式可得，即，所以，而雙曲線中滿足，所以，則，故選：A.【點睛】本題考查了雙曲線標準方程及幾何性質(zhì)應(yīng)用，直線與雙曲線位置關(guān)系的應(yīng)用，雙曲線離心率的求法，屬于中檔題.17.已知函數(shù)，函數(shù)，其中，若函數(shù)恰有4個零點，則的取值范圍是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【詳解】函數(shù)恰有4個零點，即方程，即有4個不同的實數(shù)根，即直線與函數(shù)的圖象有四個不同的交點．又做出該函數(shù)的圖象如圖所示，由圖得，當(dāng)時，直線與函數(shù)的圖象有4個不同的交點，故函數(shù)恰有4個零點時，b的取值范圍是故選D．考點：1、分段函數(shù)；2、函數(shù)的零點．【方法點晴】本題主要考查的是分段函數(shù)和函數(shù)的零點，屬于難題．已知函數(shù)的零點個數(shù)，一般利用數(shù)形結(jié)合思想轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖像的交點個數(shù)問題，作圖時一定要保證圖形準確，否則很容易出現(xiàn)錯誤．18.在三棱錐中，，，在平面的射影為的中點，是上的動點，，是的兩個三等分點，（），記二面角，的平面角分別為，.若，則的最大值為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】如圖所示，過點分別作,垂足分別為,過點作垂足分別為，連接,設(shè),.先證明，再證明即得解.【詳解】由題得平面平面，過點分別作,垂足分別為,則平面，平面，過點作垂足分別為，連接,因為，所以平面，所以為二面角的平面角，即，同理為二面角的平面角，即設(shè),.所以,.因為，所以因為.在中，.當(dāng)時，取中點，連接，所以所以所以的最大值為.故選：B【點睛】本題主要考查立體幾何的綜合應(yīng)用，考查空間二面角的作法和計算，考查正弦定理邊角轉(zhuǎn)化，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力.非選擇題部分（共78分）二、填空題：本大題共4小題，每空5分，共25分.19.在等比數(shù)列中，若，，則公比___；________．【答案】(1).-2(2).【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的通項公式求得公比；是以為首項，為公比，進而利用等比數(shù)列的求和公式求解．【詳解】，所以，是以為首項，為首項的等比數(shù)列，所以故答案為：；【點睛】本題主要考查了等比數(shù)列的性質(zhì)．考查了對等比數(shù)列的通項公式和求和公式的靈活運用，屬于基礎(chǔ)題．20.設(shè)，向量，，若，則________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)向量的數(shù)量積的定義結(jié)合兩向量垂直的數(shù)量積表示求解即可．【詳解】解：向量，，且，即又，所以，所以所以．故答案為：【點睛】本題主要考查向量的數(shù)量積以及向量的垂直，屬于基礎(chǔ)題．21.已知橢圓，，分別為左、右焦點，為橢圓上一動點，以為直徑作圓，圓與圓的位置關(guān)系為________．【答案】相切【解析】【分析】設(shè)橢圓另一焦點為，且中點為，根據(jù)橢圓定義有，所以，這樣，我們就可以判斷以為直徑的圓與圓的位置關(guān)系【詳解】解：設(shè)橢圓另一焦點為，且中點為，并連，則是△的中位線，故兩圓圓心距，根據(jù)橢圓定義有，所以圓心距所以兩圓心距等于半徑差，即以為直徑的圓與以長半軸為半徑的圓相內(nèi)切．故答案為：相切．【點睛】橢圓的定義是我們解決橢圓問題的重要方法，判斷圓與圓的位置關(guān)系，通常運用兩圓的圓心距與半徑比較，屬于基礎(chǔ)題．22.已知函數(shù)，若對任意，不等式恒成立，則實數(shù)的取值范圍是________．【答案】或【解析】【分析】首先說明函數(shù)的奇偶性及單調(diào)性，將函數(shù)不等式轉(zhuǎn)化為自變量的不等式即恒成立，令，，分類討論計算可得；【詳解】解：因為定義域為，且，故函數(shù)為奇函數(shù)，因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，且時，，所以函數(shù)在定義域上單調(diào)遞增，因為不等式恒成立，即恒成立，即恒成立，令，①當(dāng)時，，即；②當(dāng)時，顯然不成立；③當(dāng)時，則，解得綜上所述或故答案為：或【點睛】本題考查函數(shù)奇偶性單調(diào)性的判定，分段函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于難題.三、解答題：本大題共3小題，共53分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.23.已知函數(shù).求（1）的值；（2）函數(shù)的最小正周期；（3）在上的取值范圍.【答案】（1）0；（2）；（3）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)解析式代入即可得解；（2）利用二倍角公式逆用結(jié)合輔助角公式化簡即可得解；（3）結(jié)合（2）可得，即可得到值域.【詳解】（1）由題意得；（2）因為，所以函數(shù)的最小正周期為；（3）當(dāng)時，，所以，則，故在上的取值范圍是.【點睛】此題考查三角函數(shù)化簡求值，根據(jù)三角恒等變換求函數(shù)的最小正周期，利用整體代入方法求解函數(shù)值域，屬于中檔題.24.已知拋物線的焦點是，直線的方程為，點.（1）寫出點的坐標和準線的方程；（2）已知，若過的直線交拋物線于不同兩點，，（均與不重合），直線，分別交直線于點，.設(shè)，的斜率分別為，.求證：為定值.【答案】（1），準線方程.（2）為定值,證明見解析【解析】分析】（1）根據(jù)拋物線方程直接寫出焦點坐標和準線方程;（2）設(shè)過點直線為，，聯(lián)立方程組，得出根與系數(shù)的關(guān)系，再表示出，的坐標，再利用根與系數(shù)的關(guān)系化簡即可得定值.【詳解】解：（1）拋物線,得焦點，準線方程.（2）設(shè)過點直線為：，交拋物線于不同兩點，則，得，得，，.直線：，令，則，即,同理可得則，，則.【點睛】本題是直線與拋物線的位置關(guān)系的綜合問題，利用設(shè)而不解，表示出是解決此題的關(guān)鍵，同時還考查了學(xué)生的運算能力.25.已知函數(shù)，其中．（1）當(dāng)時，寫出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(直接寫出答案，不必寫出證明過程)（2）當(dāng)時，求函數(shù)的零點；（3）當(dāng)時，求函數(shù)在上的最小值．【答案】（1）單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為．（2），．（3）【解析】【分析】（1）因為，當(dāng)時，，畫出其函數(shù)圖象，即可求得答案；（2）當(dāng)時，，分別討論和時函數(shù)的零點，即可求得函數(shù)的零點；（