2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市高二年級下冊學(xué)期月考（3月）數(shù)學(xué)試題【含答案】

2022-2023學(xué)年安徽省馬鞍山市高二下學(xué)期月考（3月）數(shù)學(xué)試題一、單選題1．已知函數(shù)在處可導(dǎo)，若，則＝（

）A．1 B． C．2 D．8【答案】B【分析】利用導(dǎo)數(shù)的定義求解．【詳解】.故選：B2．下列結(jié)論中正確的是（

）A．若，則B．若，則C．若，則D．若，則【答案】B【分析】運用求導(dǎo)法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．【詳解】A：是常數(shù)，所以，不正確；B：，正確；C：，不正確；D：，不正確.故選：B3．在等比數(shù)列中，，則（

）A． B． C． D．3【答案】B【解析】由結(jié)合等比數(shù)列的通項公式求出，最后得出.【詳解】設(shè)的公比為q，則，所以，所以(如果利用等比中項性質(zhì)求的話，要注意等比數(shù)列奇數(shù)項的保號性特點).故選：B.4．若曲線在點(0,)處的切線方程為，則（

）A．， B．，C．， D．，【答案】D【分析】由可知切線的斜率為，所以切線方程為，又切線方程為，比較系數(shù)可得a，b的值．【詳解】因為，切點為(0,)，所以切線的斜率為，則切線方程為，即，又切線方程為，即，所以，.故選：D5．要排一份有5個獨唱節(jié)目和3個舞蹈節(jié)目的節(jié)目單，若任意兩個舞蹈節(jié)目不排在一起，則不同的排法種數(shù)是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】運用插空法，先排5個獨唱節(jié)目，再插入3個舞蹈節(jié)目，即可得結(jié)果.【詳解】三個舞蹈節(jié)目不排在一起，可先排獨唱節(jié)目，有種排法，將三舞蹈節(jié)目排在5個獨唱節(jié)目間，即從6個空位中選3個空位插入舞蹈節(jié)目，有種排法，根據(jù)乘法原理，共有種不同的排法.故選：C6．若函數(shù)在區(qū)間(,)內(nèi)存在最小值，則實數(shù)的取值范圍是（

）A．[－5,1) B．(－5,1)C．[－2,1) D．(－2,1)【答案】C【分析】先求出函數(shù)的極值點，要使函數(shù)在區(qū)(,)內(nèi)存在最小值，只需極小值點在該區(qū)間內(nèi)，且在端點處的函數(shù)值不能超過極小值．【詳解】由，令，可得或，由得：或，由得：，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以函數(shù)在處取得極小值，令，解得或，若函數(shù)在(,)內(nèi)存在最小值，則，得．故選：C7．一矩形地圖被分割成了4塊，小剛打算對該地圖的4個區(qū)域涂色，每個區(qū)域涂一種顏色，相鄰區(qū)域（有公共邊）涂不同顏色．現(xiàn)有5種顏色可供選擇（5種顏色不一定用完），則不同的涂色方法種數(shù)有（

）A．180 B．240 C．80 D．260【答案】D【分析】將圖中的地圖涂色，最少需要2種顏色，最多可用4種顏色，可對所用顏色的種數(shù)分類計數(shù)．【詳解】四部分分別記為ABCD，如圖所示，由題意知給四部分涂色，至少要用兩種顏色，故可分成三類涂色：第一類，用4種顏色涂色，有種方法．第二類，用3種顏色涂色，選3種顏色的方法有種．在涂的過程中，選對頂?shù)膬刹糠郑ˋ、C或B、D）涂同色，另兩部分涂異色有種選法；3種顏色涂上去有種涂法，根據(jù)分步計數(shù)原理求得共種涂法．第三類，用兩種顏色涂色．選顏色有種選法，A、C用一種顏色，B、D涂一種顏色，有種涂法，故共種涂法．∴共有涂色方法120+120+20＝260種．故選：D．8．如圖，方格蜘蛛網(wǎng)是由一簇正方形環(huán)繞而成的圖形．除最外邊的正方形外，每個正方形的四個頂點都在其外接正方形的四邊上，且將邊長分為3:4兩部分．現(xiàn)用13米長的鐵絲材料制作一個方格蜘蛛網(wǎng)，若最外邊正方形的邊長為1米，并按由外到內(nèi)的順序制作，記由外到內(nèi)第個正方形的邊長為，則（

）（參考數(shù)據(jù)：）A．由外到內(nèi)第二個正方形的周長為B．C．完整的正方形最多有7個D．完整的正方形最多有8個【答案】C【分析】根據(jù)條件可得由外到內(nèi)的正方形的邊長依次構(gòu)成等比數(shù)列，再根據(jù)等比數(shù)列求和公式得這些正方形的周長，列不等式，解得結(jié)果.【詳解】記由外到內(nèi)的第個正方形的邊長為，則，，，…，．這個正方形所用鐵絲的總長為，令≤，則≥，即≤14，兩邊取對數(shù)，得≤，則≤，解得≤，即可制作完整的正方形的個數(shù)最多為7，所以C正確，D不正確．而第二正方形的周長應(yīng)為，，所以A，B均不正確.故選：C二、多選題9．在數(shù)列中，，，則（

）A． B．C． D．【答案】BD【分析】由遞推公式、運用累加法可求出數(shù)列的通項公式．【詳解】由得：，，…，，，將各式相加得：，則，當時，.故選：BD10．已知定義在R上的函數(shù)，其導(dǎo)函數(shù)的大致圖象如圖所示，則下列敘述錯誤的是（

）A．B．函數(shù)在處取得極小值，在處取得極大值C．函數(shù)在處取得極大值，在處取得極小值D．函數(shù)的最小值為【答案】BD【分析】觀察導(dǎo)函數(shù)的圖象，可得的零點，使中的區(qū)間，從而確定函數(shù)的極值點和單調(diào)區(qū)間，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性比較函數(shù)值的大小，通過分析可得函數(shù)極大值、極小值以及最值情況．【詳解】由的圖象可知，當時，，當時，，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增．對于A，因為，所以，所以A正確；對于B，C，由單調(diào)性可知：為極大值點，為極小值點，所以B不正確，C正確；對于D，由于，則，不是最小值，所以D不正確.故選：BD．11．下列等式正確的有（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】利用組合數(shù)公式，進行逐項計算判斷，也可以通過取特殊值排除錯誤答案．【詳解】，故A正確；令，，則，而，故B不正確；，，所以，C正確．，故D正確．故選：ACD12．已知函數(shù)，函數(shù)，下列選項正確的是（

）A．點是函數(shù)的零點；B．，，使C．若關(guān)于的方程有一個根，則實數(shù)的取值范圍是D．函數(shù)的值域為【答案】BD【分析】由函數(shù)零點的定義可判斷A不正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合圖像可判斷B與D是否正確，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與極值情況，結(jié)合圖像可確定a的取值范圍，可判斷選項C．【詳解】令，可得，是函數(shù)的零點，零點是實數(shù)0，不是點，A錯誤；因為，當時，，當時，，當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且的極小值為和，且，當時，，當時，，如圖，作出函數(shù)的圖像，觀察圖像可知，，，使，所以B正確；函數(shù)的值域為，D正確；對于C，由，得，因為，則，令，得或或，當變化時，，的變化情況，如下表x012＋0－0＋－0＋遞增遞減0遞增遞減遞增如圖，當或或時，關(guān)于的方程有一個根，所以a的取值范圍是，C不正確.故選：BD．三、填空題13．在等差數(shù)列中，若，，則數(shù)列的通項公式為____________．【答案】【分析】利用等差數(shù)列基本量間的關(guān)系和性質(zhì)，求得公差即可．【詳解】設(shè)的公差為，由，得，所以，所以，即．故答案為：14．從四棱錐的5個頂點中任選4個，以這4個點為頂點，可以組成________個四面體．【答案】4【分析】從四棱錐的5個頂點中選出的4個點不共面時，可以組成四面體，用間接法．【詳解】從四棱錐的5個頂點中選出的4個不同的點，有＝5種取法，其中從底面四邊形的四個頂點不能組成四面體，故取出的四點能組成四面體的個數(shù)為5－1＝4．故答案為：415．若函數(shù)在上只有一個零點，則的取值范圍是__________．【答案】【分析】問題化為方程只有一個解，等價于的圖象與直線只有一個交點，結(jié)合函數(shù)圖象可得的取值范圍．【詳解】由題意，方程在上只有一個解，令，則，當時，，當時，，即在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，又，當趨向于時，趨向，當或時，與的圖象只有一個交點，即在上只有一個零點，故的取值范圍是．故答案為：16．已知函數(shù)，若存在，使得成立，則下列命題正確的有___________．①當時，

②當時，③當時，

④當時，的最小值為【答案】①③④【分析】根據(jù)可求得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則可畫出的圖像；利用同構(gòu)可知等價于，結(jié)合圖像則可判斷①②③；當時，可得，，構(gòu)造函數(shù)可判斷④．【詳解】解：①，令得，在上遞增，且值域；令得，在上遞減，且值域；作圖如下：當時，由知：若，使得，則，當時，若，使得，則，由得：，令得，在上遞增，且值域；令得，在上遞減，且值域；作出圖象如下：當時，由知：若使得，則，當時，若使得，則，∴當時，．故①正確．②當時，由得：，即，∴可看成的兩零點，作出的圖象如下：由圖象易知：或均可趨向于，故②錯誤；③當時，由①的討論知：，，．故③正確；④當時，此時，由②知：，，則，∴要求的最小值即求的最小值即可，令，則，令，解得：，易知為極小值點，故的最小值為．故④正確．故答案為：①③④．【點睛】關(guān)鍵點點睛：同構(gòu)找到，通過與的圖象及性質(zhì)判斷求解，在處理④時，要注意消元思想的運用．四、解答題17．某傳統(tǒng)文化學(xué)習小組有10名同學(xué)，其中男生5名，女生5名，現(xiàn)要從中選取4人參加學(xué)校舉行的匯報展示活動．(1)如果4人中男生、女生各2人，有多少種選法？(2)如果男生甲與女生乙至少有一人參加，有多少種選法？【答案】(1)100(2)140【分析】（1）分兩步完成，第一步先選2名男生；第二步再選2名女生，根據(jù)乘法原理求得結(jié)果；（2）先求出從10人中任選4人的方法數(shù)，再減去男生甲與女生乙都不參加的方法數(shù)，即得男生甲與女生乙至少有一個參加的選法種數(shù)．【詳解】（1）第一步，從5名男生中選2人，有種選法；第二步，從5名女生中選2人，有種選法．根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，共有種選法．（2）從10人中選取4人，有種選法；男生甲與女生乙都不參加，有種選法．所以男生甲與女生乙至少有1人參加，共有種選法．18．某商場銷售某種商品的經(jīng)驗表明，該商品每日的銷售量y(單位：千克)與銷售價格x(單位：元/千克)滿足關(guān)系式其中3<x<6，a為常數(shù)，已知銷售價格為5元/千克時，每日可售出該商品11千克.(1)求a的值；(2)若該商品的成本為3元/千克，試確定銷售價格x的值，使商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【答案】(1)(2)當銷售價格時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.【分析】（1）設(shè)，由題有，據(jù)此可得答案；（2）設(shè)商場每日銷售該商品所獲得的利潤為，則由題可得，后利用導(dǎo)數(shù)可得答案.【詳解】（1）設(shè)，則由題有：.（2）設(shè)商場每日銷售該商品所獲得的利潤為，則由題可得：，其中.則，得在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故當銷售價格時，商場每日銷售該商品所獲得的利潤最大.19．已知函數(shù)（）．(1)當時，求函數(shù)在區(qū)間上的最值；(2)若在定義域內(nèi)僅有一個零點，求的取值范圍．【答案】(1)，；(2)．【分析】（1）求出函數(shù)的極值點，并求極值和端點處的函數(shù)值，可得函數(shù)最大值與最小值；（2）分離參數(shù)，構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為直線與函數(shù)的圖象僅有一個交點，求的取值范圍．【詳解】（1）當時，，則，當時，當時，所以，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，則．又，＞，所以．（2）由，得，令，則，令得，令得，∴在(0,)上單調(diào)遞增，在(,)上單調(diào)遞減，∴，當趨向于時，趨向，當趨向于時，趨向．作出函數(shù)的圖象和直線，如圖示，在定義域內(nèi)有且僅有一個零點,即和有且只有一個交點，由圖象知，的取值范圍是．20．已知數(shù)列的前項和為，若對任意，都有．(1)求證：數(shù)列為等比數(shù)列；(2)記，數(shù)列的前項和為，求證：＜1．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析【分析】（1）利用得，得，依據(jù)等比數(shù)列的定義進行證明；（2）運用裂項相消法求，即可證明．【詳解】（1）證明：由，當時，，解得，當時，，則，即，所以，，又因為，所以數(shù)列是首項為，公比為3的等比數(shù)列．（2）證明：由（1）可知，，所以，則所以．由，有，則，即.21．已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)）．(1)若是函數(shù)的極值點，求的值；(2)若，討論的單調(diào)性．【答案】(1)；(2)答案見解析.【分析】（1）可導(dǎo)函數(shù)在極值點處的導(dǎo)數(shù)為0，求得a的值后，再進行檢驗；（2）分和兩種情況進行討論，根據(jù)符號，研究的單調(diào)性．【詳解】（1），因為是函數(shù)的極值點，所以，即，解得，經(jīng)檢驗，符合題意，故．（2）由（1），，若，則，當時，當時，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；若，令，解得或，且，當時，當或時，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減．22．設(shè)函數(shù)，為的導(dǎo)函數(shù)．(1)當時，若存在實數(shù)，使得不等式成立，求實數(shù)的取值范圍；(2)當時，設(shè)，若，其中，證明：．【答案】(1)(2)證明見解析【分析】（1）當時，存在實數(shù)，使得不等式成立，等價于：存在實數(shù)，使得不等式成立，構(gòu)造函數(shù)，則等價于，利用導(dǎo)數(shù)求出即可；（2）當時，，則，由此可得函數(shù)有極小值點，由函數(shù)單調(diào)性可判斷在極值點的兩側(cè)，不妨假設(shè)，則，利用分析法得，要證明，只需證明，于是構(gòu)造函數(shù)（），利用導(dǎo)數(shù)證明在上恒成立即可得證．【詳解】（1）當時，存在實數(shù)，使得不等式成立，等價于：存在實數(shù)，使得不等式成立，設(shè)，，當時，，所以當時，，當時，，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實數(shù)的取值范圍為；（2）當時，，所以，，當時，，