2017年北京市高級中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試題及答案

數(shù)學(xué)試卷第=page1818頁共8頁2017年北京市高級中等學(xué)校招生考試數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（本題共30分，每小題3分）第1-10題均有四個(gè)選項(xiàng)，符合題意的選項(xiàng)只有一個(gè)．1．如圖所示，點(diǎn)P到直線l的距離是（A）線段PA的長度 （B）線段PB的長度（C）線段PC的長度 （D）線段PD的長度2．若代數(shù)式EQ\f(x,x-4)有意義，則實(shí)數(shù)x的取值范圍是（A）x=0 （B）x=4 （C）x≠0 （D）x≠43．右圖是某個(gè)幾何體的展開圖，該幾何體是（A）三棱柱 （B）圓錐（C）四棱柱 （D）圓柱4．實(shí)數(shù)a，b，c，d在數(shù)軸上的對應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（A）a>-4 （B）bd>0 （C）|a|>|b| （D）b+c>05．下列圖形中，是軸對稱圖形但不是中心對稱圖形的是（A）（B）（C）（D）6．若正多邊形的一個(gè)內(nèi)角是150°，則該正多邊形的邊數(shù)是（A）6 （B）12 （C）16 （D）187．如果a2+2a-1=0，那么代數(shù)式的值是（A）-3 （B）-1 （C）1 （D）3

8．下面的統(tǒng)計(jì)圖反映了我國與“一帶一路”沿線部分地區(qū)的貿(mào)易情況．（以上數(shù)據(jù)摘自《“一帶一路”貿(mào)易合作大數(shù)據(jù)報(bào)告（2017）》）根據(jù)統(tǒng)計(jì)圖提供的信息，下列推斷不合理的是（A）與2015年相比，2016年我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額有所增長（B）2011-2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額逐年增長（C）2011-2016年，我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額的平均值超過4200億美元（D）2016年我國與東南亞地區(qū)的貿(mào)易額比我國與東歐地區(qū)的貿(mào)易額的3倍還多9．小蘇和小林在右圖所示的跑道上進(jìn)行4×50米折返跑．在整個(gè)過程中，跑步者距起跑線的距離y（單位：m）與跑步時(shí)間t（單位：s）的對應(yīng)關(guān)系如下圖所示．下列敘述正確的是（A）兩人從起跑線同時(shí)出發(fā)，同時(shí)到達(dá)終點(diǎn)（B）小蘇跑全程的平均速度大于小林跑全程的平均速度（C）小蘇前15s跑過的路程大于小林前15s跑過的路程（D）小林在跑最后100m的過程中，與小蘇相遇2次

10．下圖顯示了用計(jì)算機(jī)模擬隨機(jī)投擲一枚圖釘?shù)哪炒螌?shí)驗(yàn)的結(jié)果．下面有三個(gè)推斷：①當(dāng)投擲次數(shù)是500時(shí)，計(jì)算機(jī)記錄“釘尖向上”的次數(shù)是308，所以“釘尖向上”的概率是0.616；②隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，“釘尖向上”的頻率總在0.618附近擺動，顯示出一定的穩(wěn)定性，可以估計(jì)“釘尖向上”的概率是0.618；③若再次用計(jì)算機(jī)模擬此實(shí)驗(yàn)，則當(dāng)投擲次數(shù)為1000時(shí)，“釘尖向上”的頻率一定是0.620．其中合理的是（A）① （B）② （C）①② （D）①③二、填空題（本題共18分，每小題3分）11．寫出一個(gè)比3大且比4小的無理數(shù)：．12．某活動小組購買了4個(gè)籃球和5個(gè)足球，一共花費(fèi)了435元，其中籃球的單價(jià)比足球的單價(jià)多3元，求籃球的單價(jià)和足球的單價(jià)．設(shè)籃球的單價(jià)為x元，足球的單價(jià)為y元，依題意，可列方程組為．13．如圖，在△ABC中，M，N分別為AC，BC的中點(diǎn)．若S△CMN=1，則S四邊形ABNM=．第13題圖第14題圖14．如圖，AB為⊙O的直徑，C，D為⊙O上的點(diǎn)，AD=CD．若∠CAB=40°，則∠CAD=°．15．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，△AOB可以看作是△OCD經(jīng)過若干次圖形的變化（平移、軸對稱、旋轉(zhuǎn)）得到的，寫出一種由△OCD得到△AOB的過程：．16．下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過程．已知：Rt△ABC，∠C=90°．求作：Rt△ABC的外接圓．作法：如圖，（1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于EQ\f(1,2)AB的長為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)；（2）作直線PQ，交AB于點(diǎn)O；（3）以O(shè)為圓心，OA為半徑作⊙O．⊙O即為所求作的圓．請回答：該尺規(guī)作圖的依據(jù)是．三、解答題（本題共72分，第17-19題，每小題5分，第20題3分，第21-24題，每小題5分，第25、26題，每小題6分，第27、28題，每小題7分，第29題8分）解答應(yīng)寫出文字說明、演算步驟或證明過程．17．計(jì)算：4cos30°+(1-EQ\r(,2))0-EQ\r(,12)+|-2|.18．解不等式組：EQ\b\lc\{(\a\al\co1(2(x+1)>5x-7，,\f(x+10,3)>2x.))19．如圖，在△ABC中，AB=AC，∠A=36°，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D．求證：AD=BC．20．?dāng)?shù)學(xué)家吳文俊院士非常重視古代數(shù)學(xué)家賈憲提出的“從長方形對角線上任一點(diǎn)作兩條分別平行于兩鄰邊的直線，則所容兩長方形面積相等（如圖所示）”這一推論，他從這一推論出發(fā)，利用“出入相補(bǔ)”原理復(fù)原了《海島算經(jīng)》九題古證．請根據(jù)上圖完成這個(gè)推論的證明過程．證明：S矩形NFGD=S△ADC-（S△ANF+S△FGC），S矩形EBMF=S△ABC-（+）．易知，S△ADC=S△ABC，=，=．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．21．關(guān)于x的一元二次方程x2-(k+3)x+2k+2=0.（1）求證：方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根；（2）若方程有一個(gè)根小于1，求k的取值范圍．22．如圖，在四邊形ABCD中，BD為一條對角線，AD∥BC，AD=2BC，∠ABD=90°，E為AD的中點(diǎn)，連接BE．（1）求證：四邊形BCDE為菱形；（2）連接AC，若AC平分∠BAD，BC=1，求AC的長．23．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，函數(shù)y=EQ\f(k,x)（x>0）的圖象與直線y=x-2交于點(diǎn)A（3，m）．（1）求k，m的值；（2）已知點(diǎn)P（n，n）（n>0），過點(diǎn)P作平行于x軸的直線，交直線y=x-2于點(diǎn)M，過點(diǎn)P作平行于y軸的直線，交函數(shù)y=EQ\f(k,x)（x>0）的圖象于點(diǎn)N．①當(dāng)n=1時(shí)，判斷線段PM與PN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；②若PN≥PM，結(jié)合函數(shù)的圖象，直接寫出n的取值范圍．24．如圖，AB是⊙O的一條弦，E是AB的中點(diǎn)，過點(diǎn)E作EC⊥OA于點(diǎn)C，過點(diǎn)B作⊙O的切線交CE的延長線于點(diǎn)D．（1）求證：DB=DE；（2）若AB=12，BD=5，求⊙O的半徑．

25．某工廠甲、乙兩個(gè)部門各有員工400人，為了解這兩個(gè)部門員工的生產(chǎn)技能情況，進(jìn)行了抽樣調(diào)查，過程如下，請補(bǔ)充完整．收集數(shù)據(jù)從甲、乙兩個(gè)部門各隨機(jī)抽取20名員工，進(jìn)行了生產(chǎn)技能測試，測試成績（百分制）如下：甲7886748175768770759075798170748086698377乙9373888172819483778380817081737882807040成人整理、描述數(shù)據(jù)按如下分?jǐn)?shù)段整理、描述這兩組樣本數(shù)據(jù)：成人x部門數(shù)績x部門數(shù)績40≤x≤4950≤x≤960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙（說明：成績80分及以上為生產(chǎn)技能優(yōu)秀，70~79分為生產(chǎn)技能良好，60~69分為生產(chǎn)技能合格，60分以下為生產(chǎn)技能不合格）分析數(shù)據(jù)兩組樣本數(shù)據(jù)的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)如下表所示：部門平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)甲78.377.575乙7880.581得出結(jié)論a．估計(jì)乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為；b．可以推斷出部門員工的生產(chǎn)技能水平較高，理由為．（至少從兩個(gè)不同的角度說明推斷的合理性）26．如圖，P是AB所對弦AB上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作PM⊥AB交AB于點(diǎn)M，連接MB，過點(diǎn)P作PN⊥MB于點(diǎn)N．已知AB=6cm，設(shè)A，P兩點(diǎn)間的距離為xcm，P，N兩點(diǎn)間的距離為ycm．（當(dāng)點(diǎn)P與點(diǎn)B重合時(shí)，y的值為0）小東根據(jù)學(xué)習(xí)函數(shù)的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y隨自變量x的變化而變化的規(guī)律進(jìn)行了探究．下面是小東的探究過程，請補(bǔ)充完整：（1）通過取點(diǎn)、畫圖、測量，得到了x與y的幾組值，如下表：x/cm0123456y/cm02.02.32.10.90（說明：補(bǔ)全表格時(shí)相關(guān)數(shù)值保留一位小數(shù)）（2）建立平面直角坐標(biāo)系，描出以補(bǔ)全后的表中各對對應(yīng)值為坐標(biāo)的點(diǎn)，畫出該函數(shù)的圖象；（3）結(jié)合畫出的函數(shù)圖象，解決問題：當(dāng)△PAN為等腰三角形時(shí)，AP的長度約為cm．

27．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），與y軸交于點(diǎn)C．（1）求直線BC的表達(dá)式；（2）垂直于y軸的直線l與拋物線交于點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2），與直線BC交于點(diǎn)N（x3，y3）．若x1<x2<x3，結(jié)合函數(shù)的圖象，求x1+x2+x3的取值范圍．

28．在等腰直角△ABC中，∠ACB=90°，P是線段BC上一動點(diǎn)（與點(diǎn)B，C不重合），連接AP，延長BC至點(diǎn)Q，使得CQ=CP，過點(diǎn)Q作QH⊥AP于點(diǎn)H，交AB于點(diǎn)M．（1）若∠PAC=α，求∠AMQ的大?。ㄓ煤恋氖阶颖硎荆?；（2）用等式表示線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．

29．對于平面直角坐標(biāo)系xOy中的點(diǎn)P和圖形M，給出如下定義：若在圖形M上存在一點(diǎn)Q，使得P，Q兩點(diǎn)間的距離小于或等于1，則稱P為圖形M的關(guān)聯(lián)點(diǎn)．（1）當(dāng)⊙O的半徑為2時(shí)，①在點(diǎn)P1（EQ\f(1,2)，0），P2（EQ\f(1,2)，EQ\f(\r(3),2)），P3（EQ\f(5,2)，0）中，⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)是；②點(diǎn)P在直線y=-x上，若P為⊙O的關(guān)聯(lián)點(diǎn)，求點(diǎn)P的橫坐標(biāo)的取值范圍；（2）⊙C的圓心在x軸上，半徑為2，直線y=-x+1與x軸、y軸分別交于點(diǎn)A，B．參考答案一、選擇題（本題共30分，每小題3分）題號12345678910答案BDACABCBDB二、填空題（本題共18分，每小題3分）11．答案不唯一，如:π12．13．314．2515．答案不唯一，如:以點(diǎn)C為中心，將△OCD順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，再將得到的三角形向左平移2個(gè)單位長度16．到線段兩端距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上;兩點(diǎn)確定一條直線;直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半;圓的定義三、解答題（本題共72分，第17-19題，每小題5分，第20題3分，第21-24題，每小題5分，第25、26題，每小題6分，第27、28題，每小題7分，第29題8分）17．（本小題滿分5分）解:原式=4×EQ\f(\r(3),2)+1-2EQ\r(3)+2=318．（本小題滿分5分）解:原不等式組為解不等式①，得x<3．解不等式②，得x<2．∴原不等式組的解集為x<2．19．（本小題滿分5分）證明:∵AB=AC，∠A=36°，∴∠ABC=∠C=72°．∵BD平分∠ABC，∴∠ABD=36°．∴∠ABD=∠A．∴AD=BD．∵∠BDC=∠A+∠ABD=72°，∴∠BDC=∠C．∴BD=BC．∴AD=BC．20．（本小題滿分3分）證明:S矩形NFGD=S△ADC-(S△ANF+S△FGC)，S矩形EBMF=S△ABC-(S△AEF+S△FMC)．易知，S△ADC=S△ABC，S△ANF=S△AEF，S△FGC=S△FMC．可得S矩形NFGD=S矩形EBMF．21．（本小題滿分5分）（1）證明:依題意，得Δ=[-k+3]2-4(2k+2)=(k-1)2．∵(k-1)2≥0，∴方程總有兩個(gè)實(shí)數(shù)根．（2）解:由求根公式，得x=EQ\f((k+3)±(k-1),2)．∴x1=2，x2=k+1．∵方程有一個(gè)根小于1，∴k+1<1．∴k<0．∴k的取值范圍是k<0．22．（本小題滿分5分）（1）證明:∵E為AD的中點(diǎn)，∴AD=2ED．∵AD=2BC，∴ED=BC．∵AD∥BC，∴四邊形BCDE為平行四邊形．又∵∠ABD=90°，∴BE=ED．∴BCDE為菱形．（2）解:設(shè)AC與BE交于點(diǎn)H，如圖．∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB．∵AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC．∴∠BAC=∠ACB．∴BA=BC．由（1）可知，BE=AE=BC．∴AB=BE=AE．∴△ABE為等邊三角形．∴∠BAC=30°，AC⊥BE．∴AH=CH．在Rt△ABH中，AB=1，可得AH=EQ\f(\r(3),2)．∴AC=2AH=EQ\r(3)．23．（本小題滿分5分）解:（1）∵直線y=x-2經(jīng)過點(diǎn)A（3，m），∴m=1．又∵函數(shù)y=EQ\f(k,x)（x>0）的圖象經(jīng)過點(diǎn)A（3，1），∴k=3．（2）①當(dāng)n=1時(shí)，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，1）．∴點(diǎn)M的坐標(biāo)為（3，1），點(diǎn)N的坐標(biāo)為（1，3）．∴PM=PN=2．②n的取值范圍是0<n≤1或n≥3．24．（本小題滿分5分）（1）證明:∵BD是⊙O的切線，∴∠OBD=90°．∵CE⊥OA，∴∠ACD=90°．∴∠OBA+∠EBD=∠A+∠AEC=90°．∵OA=OB，∴∠A=∠OBA．∴∠EBD=∠AEC．又∵∠AEC=∠BED，∴∠BED=∠EBD．∴DB=DE．（2）解:如圖，連接OE，過點(diǎn)D作DM⊥AB于點(diǎn)M．∴OE⊥AB，BE=6．∵DE=DB=5，∴BM=3，DM=4．∵∠OBE=∠BDM，∴Rt△OBE∽Rt△BDM．∴EQ\f(OB,BD)=EQ\f(BE,DM)．∴OB=EQ\f(15,2)．25．（本小題滿分6分）x部門數(shù)績成人解x部門數(shù)績成人40≤x≤4950≤x≤960≤x≤6970≤x≤7980≤x≤8990≤x≤100甲0011171乙1007102得出結(jié)論a．估計(jì)乙部門生產(chǎn)技能優(yōu)秀的員工人數(shù)為240;b．答案不唯一，理由須支撐推斷結(jié)論．26．（本小題滿分6分）解:本題答案不唯一，如:（1）x/cm0123456y/cm02.02.32.11.60.90（2）（3）2.2527．（本小題滿分7分）解:（1）∵拋物線y=x2-4x+3與x軸交于點(diǎn)A，B（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左側(cè)），令y=0，解得x=1或x=3．∴點(diǎn)A，B的坐標(biāo)分別為（1，0），（3，0）．∵拋物線y=x2-4x+3與y軸交于點(diǎn)C，令x=0，解得y=3．∴點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，3）．設(shè)直線BC的表達(dá)式為y=kx+b．∴解得∴直線BC的表達(dá)式為y=-x+3．（2）∵y=x2-4x+3=(x-2)2-1，∴拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，-1），對稱軸為直線x=2．由題意可知，點(diǎn)P（x1，y1），Q（x2，y2）（x1<x2）關(guān)于直線x=2對稱．∴x2-2=2-x1．∴x1+x2=4．由x1<x2<x3，結(jié)合函數(shù)的圖象，可得-1<y3<0，即-1<-x3+3<0．解得3<x3<4．∴7<x1+x2+x3<8．∴x1+x2+x3的取值范圍為7<x1+x2+x3<8．28．（本小題滿分7分）（1）解:∵△ACB是等腰直角三角形，∴∠CAB=45°．∴∠PAB=45°-α．∵QH⊥AP，∴∠AMQ=90°-∠PAB=45°+α．（2）線段MB與PQ之間的數(shù)量關(guān)系:PQ=EQ\r(2)MB．證明:連接AQ，過點(diǎn)M作MN⊥BQ于點(diǎn)N，如圖．則△MNB為等腰直角三角形，MB=EQ\r(2)MN．∵AC⊥BQ，CQ=CP，∴AP=AQ，∠QAC=∠PAC．∴∠QAM=∠BAC+∠QAC=45°+∠QAC．由（1）可知，∠QAM=∠QMA．∴QA=QM．∵∠MQN+∠APQ=∠PAC+∠APQ=