三角形內(nèi)角和定理 【趣味課堂高效識記】 八年級數(shù)學(xué)上冊 （北師大版）

第七章平行線的證明北師大版八年級數(shù)學(xué)上冊崇德尚禮篤學(xué)求真5.2三角形內(nèi)角和定理學(xué)習(xí)&目標(biāo)1.了解并掌握三角形的外角的定義．（重點(diǎn)）2.掌握三角形的外角的性質(zhì)，利用外角的性質(zhì)進(jìn)行簡單的證明和計(jì)算．（難點(diǎn)）情境&導(dǎo)入1.在△ABC中，∠A=80°,∠B=52°,則∠C=

.48°2.如圖，在△ABC中，∠A=70°,∠B=60°,

則∠ACB=

，∠ACD=

.ABCD50°130°探索&交流BDCAO●40°70°？●●●問題

發(fā)現(xiàn)懶羊羊獨(dú)自在O處游玩后，灰太狼打算用迂回的方式，先從A前進(jìn)到C處，然后再折回到B處截住懶羊羊返回羊村的去路，紅太狼則直接在A處攔截懶羊羊，已知∠BAC=40°，∠ABC=70°.灰太狼從C處要轉(zhuǎn)多少度角才能直達(dá)B處？探索&交流利用“三角形的內(nèi)角和為180°”來求∠BCD，你會嗎？思考

像∠BCD這樣的角有什么特征嗎？猜想它的性質(zhì).這節(jié)課讓我們一起來探討吧.BDCAO●40°70°？●●●由三角形內(nèi)角和易得∠BCA=180°－∠A－∠CBA=70°，所以∠BCD=180°－∠BCA=110°.探索&交流三角形外角的定義：三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角，稱為三角形的外角.如圖1，∠ACD是△ABC的∠ACB的外角.

圖1探索&交流三角形還有其他外角嗎?你能在圖中畫出ΔABC的其他外角嗎?與同伴交流一下.ABC每一個三角形都有6個外角．每一個頂點(diǎn)相對應(yīng)的外角都有2個，且這2個角為對頂角.總結(jié)：三角形的外角應(yīng)具備的條件：①角的頂點(diǎn)是三角形的頂點(diǎn)；②角的一邊是三角形的一邊；③另一邊是三角形中一邊的延長線.∠ACD是△ABC的一個外角CBAD每一個三角形都有6個外角．探索&交流探索&交流

議一議在圖中，∠1與其他角有什么關(guān)系？能證明你的結(jié)論嗎?我們發(fā)現(xiàn)∠1+∠4=180°,依據(jù)是平角的定義.我們發(fā)現(xiàn)∠1=∠2+∠3.理由是:∵∠2+∠3+∠4=180°(三角形內(nèi)角和定理),∠1+∠4=180°(平角的定義),∴∠1=∠2+∠3.以上內(nèi)容你們能得出什么結(jié)論?三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和.你能確定∠1與∠4的大小關(guān)系嗎?因?yàn)楫?dāng)∠4是銳角時,∠1>∠4;當(dāng)∠4是直角時,∠1=∠4;當(dāng)∠4是鈍角時,∠1<∠4.所以∠1與∠4的大小關(guān)系不能確定.探索&交流那么∠1與∠2,∠3的大小關(guān)系呢?∠1>∠2,∠1>∠3.理由是什么?由前面我們知道∠1=∠2+∠3,所以∠1>∠2,∠1>∠3.由此你能得到什么結(jié)論?三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內(nèi)角.探索&交流在這里，我們通過三角形的內(nèi)角和定理直接推導(dǎo)出兩個新定理.像這樣，由一個基本事實(shí)或定理直接推出的定理，叫做這個基本事實(shí)或定理的推論.推論可以當(dāng)做定理使用.如圖，試比較∠2、∠1的大?。蝗鐖D，試比較∠3、∠2、∠1的大小.圖圖解：∵∠2=∠1+∠B,∴∠2＞∠1.解：∵∠2=∠1+∠B,∠3=∠2+∠D,∴∠3＞∠2＞∠1.探索&交流例題&解析

例題欣賞?例1.已知：如圖，在△ABC中，∠B=∠C，AD平分外角∠EAC.求證：AD//BC.證明：∵∠EAC=∠B+∠C（三角形的一個外角

等于和它不相鄰的兩個內(nèi)角的和），∠B=∠C（已知），∴∠C=∵AD平分∠EAC（已知），∴∠DAC=∴∠DAC=∠C（等量代換）.∴AD//BC（內(nèi)錯角相等，兩直線平行）.探索&交流

想一想證法二:推理可得:∠DAC=∠C(已證),∵∠BAC+∠B+∠C=180°(三角形內(nèi)角和定理).∴∠BAC+∠B+∠DAC=180°(等量代換).∴AD∥BC(同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行).這里是運(yùn)用了定理“同旁內(nèi)角互補(bǔ),兩直線平行”得到了證實(shí).ACDBE例題&解析

例題欣賞?例2.如圖,P是△ABC內(nèi)一點(diǎn)，連接PB，PC，∠B=∠C.求證:∠BPC＞∠A.證明:如圖，延長BP，交AC于點(diǎn)D.∵∠BPC是△PDC的一個外角(外角定義),∴∠BPC>∠PDC(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角).∵∠PDC是△ABD的一個外角(外角定義),∴∠PDC>∠A(三角形的一個外角大于和它不相鄰的任何一個內(nèi)角).∴∠BPC>∠A.（不等式的性質(zhì)）ABCPD還有其他證明方法嗎？探索&交流1.三角形外角的定義：三角形內(nèi)角的一條邊與另一條邊的反向延長線組成的角．如圖中的∠ACD的一條邊是△ABC的邊AC，另一條邊是△ABC的邊BC的延長線．2.三角形的外角和等于360°.已知：∠1、∠2、∠3為△ABC的三個外角，如圖．求證：∠1+∠2+∠3=360°．證明：∵∠1+∠BAC=180°，

∠2+∠BCA=180°，∠3+∠ABC=180°，∴∠1+∠2+∠3+（∠BAC+∠BCA+∠ABC）=540°

（等式性質(zhì)）.∵∠BAC+∠BCA+∠ABC=180°（三角形內(nèi)角和定理），∴∠1+∠2+∠3=360°.探索&交流練習(xí)&鞏固1.若一個三角形的一個外角小于與它相鄰的內(nèi)角,則這個三角形是()A.直角三角形B.銳角三角形C.鈍角三角形D.無法確定練習(xí)&鞏固2.如圖，在△ABC中，∠B＝40°，∠C＝30°，延長BA至點(diǎn)D，則∠CAD的大小為(

)A．110°B．80°C．70°D．60°練習(xí)&鞏固3.如圖，△ABC中，∠A＝40°，點(diǎn)D為AB延長線上一點(diǎn)，且∠CBD＝120°，則∠C等于(

)A．40°B．60°C．80°D．100°練習(xí)&鞏固4

.如圖，D是△ABC的BC邊上一點(diǎn),∠B=∠BAD,∠ADC=