數(shù)理統(tǒng)計基本概念

數(shù)理統(tǒng)計基本概念目前一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

一、引言

數(shù)理統(tǒng)計以概率論為理論基礎(chǔ),研究

2)

研究如何合理地分析隨機(jī)數(shù)據(jù)從而作出科學(xué)的推斷

(稱為統(tǒng)計推斷).§6.1

總體、樣本與統(tǒng)計量

1）研究如何以有效的方式收集和整理隨機(jī)數(shù)據(jù);數(shù)理統(tǒng)計的引入目前二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

兩類工作有密切聯(lián)系.將主要介紹統(tǒng)計推斷方面的內(nèi)容.總體：研究對象的全體所組成的集合.個體：組成總體的每個單位元素.

例1

要考察本校男生的身體情況，則將本校的所有男生視為一個總體，而每一位男生就是一個個體.二、總體目前三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

如，關(guān)心電子元件的壽命，則壽命

X

為其一個數(shù)量指標(biāo)，且X

是服從指數(shù)分布的隨機(jī)變量.

例2考察某廠生產(chǎn)的電子元器件的質(zhì)量，將全部產(chǎn)品視為總體，每一個元器件即為一個個體.

通常需要對總體的一項或幾項數(shù)量指標(biāo)進(jìn)行研究.

如僅考慮男生的身高和體重(X,Y),不考慮男生的視力、胸圍等. 目前四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點以后將(實際)總體和數(shù)量指標(biāo)X等同起來.總體是隨機(jī)變量

由于上述數(shù)量指標(biāo)往往是隨機(jī)變量，具有一定的分布.總體分布是指數(shù)量指標(biāo)

X的分布.三、樣本

一般，從總體中抽取一部分(取

n個)進(jìn)行觀測，再依據(jù)這

n個個體的試驗(或觀察)的結(jié)果去推斷總體的性質(zhì).目前五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

樣本:按照一定的規(guī)則從總體中抽取的一部分個體.抽樣：抽取樣本的過程.樣本容量：樣本中個體的數(shù)目

n.

將第

i

個個體的對應(yīng)指標(biāo)記為

Xi，i=1,2,…,n,構(gòu)成的隨機(jī)向量(X1

,X2

,···,Xn

)稱為樣本.

樣本是一組隨機(jī)變量，其具體試驗(觀察)數(shù)值記為：x1,x2,···,xn

，稱為樣本觀測值，簡稱樣本值.目前六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點為使樣本具有代表性，抽樣應(yīng)滿足什么條件

從民意測驗看抽樣?（1）Xi與總體同分布；（2）X1,X2,···,Xn

相互獨(dú)立.

定義

設(shè)X1

,X2

,···,Xn是來自總體X的樣本，如果相互獨(dú)立且每個分量與總體同分布，稱其為簡單隨機(jī)樣本，簡稱樣本.目前七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

若總體X的分布函數(shù)為F(x),則樣本X1

,X2

,···,Xn的聯(lián)合分布函數(shù)為目前八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點目前九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點#

故(X1

,X2

,…,X5

)的聯(lián)合分布律為P{X1=x1

,X2

=x2,…,X5

=x5}解：因目前十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點～目前十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點目前十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點判斷統(tǒng)計量是隨機(jī)變量且不含未知參數(shù)，稱T為統(tǒng)計量.

對相應(yīng)的樣本值(x1

,x2

,…,xn)，稱

t=T(x1,x2

,…,xn)

為統(tǒng)計量的統(tǒng)計值.四、統(tǒng)計量

定義

設(shè)X1

,X2

,···,Xn是總體X的樣本，T為n元實值函數(shù)，若樣本的函數(shù)T=T(X1

,X2

,···,Xn)目前十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

例1

設(shè)總體X

~

B(1,p)，其中

p

是未知參數(shù)，(X1

,X2

,…,X5

)是來自X

的簡單隨機(jī)樣本， 1)指出以下變量哪些是統(tǒng)計量，為什么？2)確定(X1

,X2

,…,X5

)的聯(lián)合概率分布？解只有不是統(tǒng)計量,因p是未知參數(shù).目前十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點總體是隨機(jī)變量

統(tǒng)計量是隨機(jī)變量(或向量）樣本是隨機(jī)向量目前十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

樣本均值： 樣本方差：常見統(tǒng)計量：

樣本

k

階原點矩： 樣本k階中心矩：

統(tǒng)稱樣本矩目前十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點幾個重要關(guān)系式：X,S2,Ak,Bkx,s2,ak,bk統(tǒng)計量統(tǒng)計值目前十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

思考

樣本矩與總體矩(即第四章中定義的矩)的概念有什么區(qū)別？

樣本矩是隨機(jī)變量!

總體矩是數(shù)值!目前十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點總體、個體簡單隨機(jī)樣本統(tǒng)計量求樣本的聯(lián)合分布律或密度函數(shù)樣本均值樣本方差樣本矩目前十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點數(shù)理統(tǒng)計的引入

某廠生產(chǎn)的一批產(chǎn)品中次品率為

p

。從中抽取10件產(chǎn)品裝箱。1）沒有次品的概率2）平均有幾件次品概率3）為以0.95的概率保證箱中有10件正品，箱中至少要裝多少件產(chǎn)品。目前二十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點所有這些問題的關(guān)鍵是

p

是已知的！如何獲取p?這就是數(shù)理統(tǒng)計的任務(wù)了！一個很自然的想法就是：首先從這批產(chǎn)品中隨機(jī)抽取產(chǎn)品進(jìn)行檢驗。怎樣隨機(jī)抽取這屬于抽樣理論與方法問題。本書不討論。其次利用概率論的知識處理實測數(shù)據(jù)。

如何分析、處理實測數(shù)據(jù)。這屬于統(tǒng)計推斷的問題。也是我們研究的內(nèi)容。統(tǒng)計推斷常解決的問題：1）如何估計次品率p?2）如果以p<0.01為出廠的標(biāo)準(zhǔn)，這批產(chǎn)品能否出廠？數(shù)理統(tǒng)計的引入?yún)?shù)估計問題假設(shè)檢驗問題#目前二十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點§6.2

常用統(tǒng)計分布上側(cè)分位數(shù)u

(0<<1）滿足標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布一、四種常用統(tǒng)計分布目前二十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點對于正態(tài)分布有：上側(cè)分位點u陰影部分面積為目前二十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點查表

如

＝0.025時，u＝？目前二十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

例

設(shè)隨機(jī)變量X服從正態(tài)分布N(0,1),對給定的α(0<α<1)，數(shù)uα滿足，則x等于uα是上側(cè)α分位點.解目前二十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點陰影部分面積為(1-)/2面積為α#雙側(cè)分位點α目前二十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2.2(chi方)分布目前二十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點由度為n

的2分布，記為稱隨機(jī)變量X服從自目前二十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點統(tǒng)計量的分布(之一)

定理1

設(shè)

X1，X2，…，Xn相互獨(dú)立且都服從標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，則即隨機(jī)變量

2服從自由度為

n

的卡方分布.標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)隨機(jī)變量的獨(dú)立平方和結(jié)構(gòu)定理目前二十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2分布的三條性質(zhì)：性質(zhì)1.(數(shù)字特征)

設(shè)2~2(n)，則有

E(2)=n

， D(2)=2n證明且

X1，X2，…,Xn相互獨(dú)立，Xi～N(0,1)，目前三十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點性質(zhì)2(可加性)設(shè)Y1，Y2相互獨(dú)立,且Y1～2(n1),Y1～2(n2)，則

Y1+Y2

～2(n1+n2).證明

記目前三十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點從而

Y1+Y2～2

(n1+n2).且Xi

,i=1,2,…,n1+n2相互獨(dú)立，Xi～N(0,1),

性質(zhì)3.(大樣本分位數(shù))當(dāng)n足夠大(如n

>45)時，有 目前三十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點2(n)的上側(cè)分位數(shù)(0<<1)：陰影部分面積為目前三十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點例

查表計算概率目前三十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點注意應(yīng)注意分布表的定義與查法！#目前三十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點3.自由度為

n的

t

分布

T～t(n)

又稱學(xué)生氏分布--第一個研究者以Student作筆名發(fā)表文章.目前三十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點即隨機(jī)變量

T

服從自由度為

n

的

t

分布.

定理2

設(shè)隨機(jī)變量X,Y相互獨(dú)立,

X~N(0,1)，Y～2(n)，則結(jié)構(gòu)定理目前三十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點陰影部分面積為t(n)的上側(cè)分位數(shù)

t(n)

(0<<1)：目前三十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點T

分布的特點：1.關(guān)于縱軸對稱：例

查表計算：目前三十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點tα-tα=t1-α因

α=P{T＞tα}=P{T≤-tα}=1-

P{T＞-tα}故

P{T＞－tα}=1－α.即

tα=-

t1-α目前四十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點例

查表計算：2.n

較大時，目前四十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

4.F

分布

F

～F

(

n1,n2)

稱X

服從第一自由度為n1,第二自由度為n2的F分布.目前四十二頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

定理3

設(shè)隨機(jī)變量X，Y相互獨(dú)立，X~2(n1)，Y～2(n2)，則即隨機(jī)變量

F

服從第一自由度為n1，第二自由度為n2

的F分布.結(jié)構(gòu)定理目前四十三頁\總數(shù)五十九頁\編于七點F

(

n1

,n2)的上側(cè)分位數(shù)F

(

n1

,n2

)

(0<<1)：陰影部分面積為目前四十四頁\總數(shù)五十九頁\編于七點推論1推論2目前四十五頁\總數(shù)五十九頁\編于七點證目前四十六頁\總數(shù)五十九頁\編于七點二、抽樣分布定理定理1目前四十七頁\總數(shù)五十九頁\編于七點應(yīng)用例目前四十八頁\總數(shù)五十九頁\編于七點定理2設(shè)正態(tài)總體

X

與

Y

相互獨(dú)立，

X

～,樣本為(X1,X2，…X

n1),樣本均值和樣本方差為；

Y

～，樣本為(

Y1,Y2，…Yn2)，樣本均值和樣本方差為

.有目前四十九頁\總數(shù)五十九頁\編于七點[分析]證明:(2)

服從正態(tài)分布，Sw2可化為2分布,二者組合而成的統(tǒng)計量應(yīng)服從

t分布.目前五十頁\總數(shù)五十九頁\編于七點目前五十一頁\總數(shù)五十九頁\編于七點

因，