通信原理I第5次課教案

PAGE21.復(fù)習(xí)(1)平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程①定義平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程的數(shù)學(xué)期望為常數(shù)，自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)。②一維概率密度函數(shù)與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，即。③自相關(guān)函數(shù)與其功率譜密度之間互為傅立葉變換關(guān)系，即。(2)高斯隨機(jī)過(guò)程①概念：·高斯過(guò)程的任意維（n=1，2，…）分布服從正態(tài)分布（高斯分布）?！じ咚惯^(guò)程在任一時(shí)刻上的取值是一個(gè)高斯隨機(jī)變量，其一維概率密度函數(shù)為②高斯過(guò)程的性質(zhì)：·如果高斯過(guò)程是廣義平穩(wěn)過(guò)程，則也是狹義平穩(wěn)的?！と舾咚惯^(guò)程中的各隨機(jī)變量?jī)蓛芍g互不相關(guān)，則它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的?！じ咚惯^(guò)程經(jīng)線性變換后的過(guò)程仍為高斯過(guò)程。2.本次課學(xué)習(xí)的主要章節(jié)：3.5窄帶隨機(jī)過(guò)程（窄帶隨機(jī)過(guò)程的定義、表示式、包絡(luò)與相位的統(tǒng)計(jì)特性）3.6余弦波加窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程（包絡(luò)的一維概率密度函數(shù)）3.分析模型運(yùn)用所學(xué)有關(guān)平穩(wěn)過(guò)程、高斯過(guò)程相關(guān)知識(shí)，分析通信系統(tǒng)中接收信號(hào)與噪聲的統(tǒng)計(jì)特性。發(fā)送信號(hào)發(fā)送信號(hào)噪聲解調(diào)器噪聲源信道BPF接收設(shè)備接收信號(hào)+窄帶噪聲3.5窄帶隨機(jī)過(guò)程在通信系統(tǒng)中，許多實(shí)際的信號(hào)（如頻帶信號(hào)）和某些噪聲（如信道噪聲通過(guò)系統(tǒng)接收端帶通濾波器的輸出噪聲）都屬于窄帶隨機(jī)過(guò)程。因此，窄帶隨機(jī)過(guò)程是通信原理研究的隨機(jī)過(guò)程之一，需要掌握其統(tǒng)計(jì)特性。3.令為平穩(wěn)隨機(jī)過(guò)程，其功率譜密度形狀如圖3.5.1（a）所示，若中心頻率遠(yuǎn)大于帶寬即時(shí)，則稱為窄帶隨機(jī)過(guò)程。（a）窄帶隨機(jī)過(guò)程的頻譜密度（b）窄帶隨機(jī)過(guò)程的波形示意圖圖3.5.1窄帶隨機(jī)過(guò)程示意圖3.5圖3.5.1（b）給出的波形是窄帶隨機(jī)過(guò)程的一個(gè)樣本函數(shù)(一個(gè)實(shí)現(xiàn)（3.5令（3.5（3.5則有（3.5式中，稱為的隨機(jī)包絡(luò)；稱為的隨機(jī)相位；及分別稱為的同相分量及正交分量。3.5結(jié)論：一個(gè)均值為零的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，它的同相分量和正交分量同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程，而且均值為零，方差也相同。另外，在同一時(shí)刻上得到的隨機(jī)變量及是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。(1)和同樣是平穩(wěn)高斯過(guò)程①、的均值都為零對(duì)式（3.（3.5因?yàn)榈木禐榱?，所以?.5為使在任意時(shí)間，上式均成立，只能是（3.5②、的自相關(guān)函數(shù)僅與時(shí)間間隔有關(guān)，即有、。求的自相關(guān)函數(shù)為（3.5因?yàn)槭瞧椒€(wěn)的，故有這就要求式（3.5.8）的右邊與無(wú)關(guān)，即在任意時(shí)間，式（3.5.8）僅與有關(guān)首先令，則式（3.5（3.5這時(shí)，顯然要求于是，式（3.5-9）變成（3.5再令，則同理可求得（3.5由此證明，、也將是平穩(wěn)的。(2)及與的方差相同，即。在式（3.5.10）及式（3.5（3.5因、及的均值都為零，于是它們的方差也相同，即（3.5(3)、也是高斯過(guò)程由式（3.5.4）得，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，。由于是高斯過(guò)程，故、也是高斯隨機(jī)變量。又因?yàn)橐炎C得、是平穩(wěn)的，所以、的概率分布與時(shí)間起點(diǎn)無(wú)關(guān)，從而、也是高斯過(guò)程。(4)在同一時(shí)刻上得到的及是不相關(guān)的或統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的由式（3.5.10）及式（3根據(jù)互相關(guān)函數(shù)性質(zhì)及上式，可得上式說(shuō)明，是一個(gè)的奇函數(shù)，故（3.5同理可證（3.5從式（3.5.14）及式（3.5.15）看出，與在同一時(shí)刻上是不相關(guān)的，又因?yàn)榧笆歉咚闺S機(jī)變量，因而它們也是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。3.5窄帶隨機(jī)過(guò)程同相分量及正交分量與窄帶過(guò)程功率譜密度的關(guān)系為（3.5.上式表明，及的功率譜密度是低通型的。3.5結(jié)論：一個(gè)均值為零、方差為的窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，其包絡(luò)的一維分布是瑞利分布，而其相位的一維分布是均勻分布。并且就一維分布而言，與是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的。證明：(1)包絡(luò)的一維分布是瑞利分布分析思路：①由隨機(jī)變量與的統(tǒng)計(jì)獨(dú)立，寫出二維概率密度函數(shù)；②利用關(guān)系式=以及及，求出與的聯(lián)合概率密度函數(shù)；③計(jì)算邊際分布。由上面的分析可知，與是統(tǒng)計(jì)獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，因而，與的聯(lián)合概率密度函數(shù)可以表示成==（3.5根據(jù)概率論知識(shí)，與的二維聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為=（3.5.17式中，稱為雅可比行列式，它由下式?jīng)Q定利用關(guān)系式及，可得代入式（3.5.17）求出與的聯(lián)合概率密度函數(shù)（3.5再計(jì)算上式的邊際分布，可求得包絡(luò)的一維概率密度函數(shù)為（3.5上式表明，包絡(luò)的一維概率密度函數(shù)服從瑞利分布，如圖3.5圖3.(2)相位的一維分布是均勻分布同樣，通過(guò)計(jì)算式（3.5.（3.5可見，服從均勻分布。3.6余弦波加窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程1.余弦波加窄帶高斯過(guò)程的概念余弦波加窄帶高斯過(guò)程是數(shù)字調(diào)制系統(tǒng)中遇到的隨機(jī)過(guò)程，通常是指由下式確定的混合波形：（3.6其中：是具有隨機(jī)相位的余弦波，隨機(jī)變量在內(nèi)均勻分布，振幅和角頻率均為常數(shù)；為窄帶平穩(wěn)高斯過(guò)程，其均值為零，方差為。2.余弦波加窄帶高斯過(guò)程的表達(dá)式將式（3.+[]-（3.6.令（3.6則式（3.=（3.6其中，的包絡(luò)和相位分別為（3.6.（3.6.并且有3.包絡(luò)的一維概率密度函數(shù)分析思路：①假定在給定相位的條件下，找到與的聯(lián)合概率密度函數(shù)；②利用關(guān)系式以及和，求出與的聯(lián)合概率密度函數(shù)；③計(jì)算邊際分布。④如果與有關(guān)，那么。(1)同相分量和正交分量的聯(lián)合概率密度函數(shù)在給定相位的條件下，利用3.5節(jié)的結(jié)果，與是相互獨(dú)立的高斯隨機(jī)變量，它們的數(shù)學(xué)期望和方差分別為于是，在給定相位的條件下，及的一維概率密度函數(shù)分別為（3.6（3.6所以，與的聯(lián)合概率密度函數(shù)可表示為==（3.(2)包絡(luò)Z的一維概率密度函數(shù)以相位為條件的與的聯(lián)合概率密度函數(shù)為利用關(guān)系式和可得=（3.6.求上式的邊際分布，可得以相位為條件的包絡(luò)的一維概率密度函數(shù)為