江蘇省鹽城市濱海中學(xué)高三下學(xué)期高考前指導(dǎo)數(shù)學(xué)試題（二）

2022屆江蘇省鹽城市濱海中學(xué)高三下學(xué)期高考前指導(dǎo)數(shù)學(xué)試題（二）一、單選題1．設(shè)集合，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】可求出集合，，然后進(jìn)行交集的運(yùn)算即可．【詳解】，，，．故選：．2．已知復(fù)數(shù)，是的共軛復(fù)數(shù)，則（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】復(fù)數(shù)的分子、分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，復(fù)數(shù)化簡為的形式，然后求解即可．【詳解】，，故選：．3．用1，2，3，4，5，6組成六位數(shù)（沒有重復(fù)數(shù)字），在任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】首先算出任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)的個數(shù)，再討論個位是偶數(shù)并分2在或不在個位計數(shù)，以及個位是奇數(shù)并分1在或不在個位計數(shù)，最后求目標(biāo)概率.【詳解】將3個偶數(shù)排成一排有種，再將3個奇數(shù)分兩種情況插空有種，所以任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的6位數(shù)有種，任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰，分兩種情況討論：當(dāng)個位是偶數(shù)：2在個位，則1在十位，此時有種；2不在個位：將4或6放在個位，百位或萬位上放2，在2的兩側(cè)選一個位置放1，最后剩余的2個位置放其它兩個奇數(shù)，此時有種；所以個位是偶數(shù)共有20種；同理，個位是奇數(shù)也有20種，則任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰數(shù)有40種，所以任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同的條件下，1和2相鄰的概率是.故選：C【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：對任意相鄰兩個數(shù)字的奇偶性不同且1和2相鄰做計數(shù)時，注意討論特殊位置上放置偶數(shù)或奇數(shù)，進(jìn)而分1、2是否在該位置的情況計數(shù).4．已知，，且與互相垂直，則（

）A．0 B． C． D．2【答案】B【分析】根據(jù)向量垂直數(shù)量積為0，即可得到答案；【詳解】與互相垂直，，，故選：B.5．已知的二項展開式中第3項與第10項的二項式系數(shù)相等，則展開式中含的系數(shù)為（

）A． B．31 C． D．220【答案】D【分析】根據(jù)題意可得，求出展開式即可得出.【詳解】的展開式的通項為，由題可得第3項與第10項的二項式系數(shù)相等，則，所以，則展開式中含的系數(shù)為.故選：D.6．已知數(shù)列，，，，，，，，，n項記為，則滿足且的n的最小值為（

）A．47 B．48 C．57 D．58【答案】C【分析】將數(shù)列的項分組，設(shè)滿足的首次出現(xiàn)在第m組的第x個數(shù)的位置上，由此列式，求得，結(jié)合，即可求得答案.【詳解】將數(shù)列分組為（），（，），（，，），（，，，），…，設(shè)滿足的首次出現(xiàn)在第m組的第x個數(shù)的位置上，則，此時數(shù)列共有項數(shù)為，即得，解得由于，而，故，又,故符合條件的m,的最小值為11，則滿足且的n的最小值為，故選：C【點(diǎn)睛】本題綜合考查了數(shù)列的相關(guān)知識，解答時要明確數(shù)列的項的規(guī)律特點(diǎn)，分組，從而列出相應(yīng)的等式或不等式關(guān)系，這是解題的關(guān)鍵所在.7．已知雙曲線C；的焦距為2c，過C的右焦點(diǎn)F的直線l與C的兩條漸近線分別交于A，B兩點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，若且，則C的離心率為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)，，得到，，在Rt△AOB中，，用正切的二倍角公式列出方程，求出，從而求出離心率.【詳解】因為，畫出示意圖如圖，設(shè)，因為sin∠AFO，所以，所以，所以.又，所以，所以，所以.又因為，所以.在Rt△AOB中，，所以，化簡得：，所以故選：D【點(diǎn)睛】圓錐曲線離心率問題，要能結(jié)合題目信息列出關(guān)于的齊次方程，求解出離心率，往往會和直線方程，向量等知識相結(jié)合.8．已知，則下列大小關(guān)系中正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】，利用其單調(diào)性比較大??；，利用其單調(diào)性比較大小；及函數(shù)，利用其單調(diào)性比較大??；轉(zhuǎn)化為，判斷的大小關(guān)系即可.【詳解】，則，且，在上單調(diào)遞減，故，A錯誤；在上單調(diào)遞減，故，B錯誤；在上單調(diào)遞減，函數(shù)在上單調(diào)遞增，，C正確；D.，又，，D錯誤；故選：C.二、多選題9．已知函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．B．是圖象的一條對稱軸C．的最小正周期為D．將的圖象向左平移個單位后，得到的圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱【答案】AC【分析】變形得，然后根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)逐一判斷即可.【詳解】，A正確；，由于在對稱軸處函數(shù)值要取到最值，故B錯誤；，C正確；將的圖象向左平移個單位后得，其為偶函數(shù)，不關(guān)于原點(diǎn)對稱，D錯誤.故選：AC.10．已知數(shù)列的前n項和為，，且（，2，…），則（

）A． B． C． D．【答案】AD【分析】對于A選項，只需判斷；對于B選項，通過通項公式可求得；對于C選項，將條件轉(zhuǎn)化為，可判斷錯誤；對于D選項，將數(shù)列放縮成等比數(shù)列求和，可判斷正確.【詳解】由條件，兩邊同時除以，得，∴∴，∴，對于A選項，∵，∴，∴，故A選項正確；，，所以B選項錯誤；對于C選項，，等價于，由極限思想知，當(dāng)時，，故C選項錯誤；對于D選項，，∴，又∵，所以D選項正確.故選：AD.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列由遞推公式求通項公式，以及關(guān)鍵對通項公式的形式進(jìn)行分析，放縮，判斷.屬于較難題.11．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C右支上的動點(diǎn)，過P作兩漸近線的垂線，垂足分別為A，B．若圓與雙曲線C的漸近線相切，則（

）A．雙曲線C的離心率B．當(dāng)點(diǎn)P異于頂點(diǎn)時，的內(nèi)切圓的圓心總在直線上C．為定值D．的最小值為【答案】ABD【分析】利用點(diǎn)到直線的距離可求出，可求出離心率可判斷A；利用切線長定理可求出內(nèi)心所在的直線方程可判斷B；利用點(diǎn)到直線的距離結(jié)合P在雙曲線上證明為定值判斷C；聯(lián)立方程組解出交點(diǎn)坐標(biāo)求出的最小值判斷D.【詳解】解：由題意得：對于選項A：雙曲線的漸近線方程是，圓的圓心是，半徑是1，則，（舍去）又，所以，離心率為，故A正確；對于選項B：設(shè)的內(nèi)切圓與軸相切與點(diǎn)，由圓的切線長性質(zhì)可得由圓的切線性質(zhì)知，所以，因此內(nèi)心I在直線，即直線上，故B正確；對于選項C：設(shè)，則，漸近線方程是，則，為常數(shù)，故C錯誤；對于選項D：由已知OA的方程是，傾斜角為，所以當(dāng)且僅當(dāng)時等號成立，故D正確．故選：ABD．12．如圖，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1的底面是邊長為2的正方形，側(cè)棱長為3，E，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D1，E，F(xiàn)的平面記為α，則（

）A．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的形狀為四邊形B．平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面的面積為C．平面α將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積之比為47∶25D．點(diǎn)B到平面α的距離與點(diǎn)A1到平面α的距離之比為1∶3【答案】BC【分析】作出截面可判斷A選項；將五邊形分割為正三角與等腰梯形求出面積判斷B，平面α將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積分別為V1，V2，利用V2=V三棱錐M-PAEV三棱錐N-CFQ計算求解即可判斷C，根據(jù)直線上點(diǎn)的比例關(guān)系可得點(diǎn)到平面的距離間的關(guān)系即可判斷D.【詳解】如圖，延長EF分別與DA，DC的延長線交于點(diǎn)P，Q，連接D1P，交AA1于點(diǎn)M，連接D1Q，交CC1于點(diǎn)N，連接ME，NF，則平面α截直四棱柱ABCD-A1B1C1D1所得截面為五邊形D1MEFN，故A錯誤；由平行線分線段成比例可得，AP=BF=1，故DP=DD1=3，則△DD1P為等腰直角三角形，由相似三角形可知AM=AP=1，故A1M=2，則D1M=D1N=2，ME=EF=FN=，連接MN，易知MN=2，因此五邊形D1MEFN可以分成等邊三角形D1MN和等腰梯形MEFN，等腰梯形MEFN的高h(yuǎn)=，則等腰梯形MEFN的面積為，又×2=2，所以五邊形D1MEFN的面積為2，故B正確；記平面α將直四棱柱分割成的上、下兩部分的體積分別為V1，V2，則V2=V三棱錐M-PAEV三棱錐N-CFQ=×3×3×3×1×1×1×1×1×1=，所以V1=V1=12，則V1∶V2=47∶25，故C正確；因為平面α過線段AB的中點(diǎn)E，所以點(diǎn)A到平面α的距離與點(diǎn)B到平面α的距離相等，由平面α過A1A的三等分點(diǎn)M可知，點(diǎn)A1到平面α的距離是點(diǎn)A到平面α的距離的2倍，因此點(diǎn)A1到平面α的距離是點(diǎn)B到平面α的距離的2倍，故D錯誤.故選：BC三、填空題13．已知函數(shù)，，，且在區(qū)間上有且只有一個極大值點(diǎn)，則的最大值為________．【答案】【分析】根據(jù)函數(shù)的對稱性和零點(diǎn)，結(jié)合函數(shù)極大值點(diǎn)的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】由，所以函數(shù)關(guān)于直線對稱，于是有：，由，于是，解得，令，所以，令時，，，令時，，，因為在區(qū)間上有且只有一個極大值點(diǎn)，所以（為函數(shù)的最小正周期），因為，所以有，即，當(dāng)時，，所以，此時有兩個極大值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，，此時此時有一個極大值點(diǎn)，符合題意，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用函數(shù)的對稱性、零點(diǎn)、函數(shù)極值的定義和正弦函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.14．設(shè)a、b、m為整數(shù)，若a和b被m除得的余數(shù)相同，則稱a和b對模m同余，記為；已知，，則滿足條件的正整數(shù)b中，最小的兩位數(shù)是______．【答案】13【分析】觀察題中給出的形式，結(jié)合組合數(shù)的計算公式，提出，可求出的值，進(jìn)而得到的值.【詳解】根據(jù)組合數(shù)的計算公式有

=

=

=103故.故答案為：13.15．設(shè)函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，，則的值為__________.【答案】【分析】根據(jù)，將轉(zhuǎn)化為，然后代入已知的解析式可求得答案【詳解】因為函數(shù)的定義域為，滿足，且當(dāng)時，，所以，故答案為：四、雙空題16．在長方體中，，，點(diǎn)為線段上的一個動點(diǎn)，當(dāng)為中點(diǎn)時，三棱錐的外接球表面積為__________；當(dāng)取最小值時，_______．【答案】

【分析】當(dāng)為中點(diǎn)時，取中點(diǎn)，由面面垂直性質(zhì)可證得平面；設(shè)中點(diǎn)為，球心為，作于，在和利用勾股定理可構(gòu)造方程求得外接球半徑，進(jìn)而得到所求的外接球的表面積；將側(cè)面和對角面沿著展開，可知的最小值為，根據(jù)余弦定理可求得，結(jié)合正弦定理和可求得，進(jìn)而勾股定理得到，從而得到結(jié)果.【詳解】當(dāng)為中點(diǎn)時，取中點(diǎn)，連接，四邊形為矩形，，，平面平面，平面平面，平面，平面；，的外接圓圓心為中點(diǎn)，設(shè)中點(diǎn)為，三棱錐外接球球心為，連接，則平面，作于，則四邊形為平行四邊形，設(shè)，，，，又，在和中，，解得：，三棱錐的外接球表面積；將側(cè)面和對角面沿著展開，可得展開圖如下圖所示，則的最小值為，此時為與交點(diǎn)，，，，，，，；設(shè)，則，，即；，即；，，即，解得：，即，，，則，.故答案為：；.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求解立體幾何中的動點(diǎn)到兩定點(diǎn)的距離之和的最小值問題時，通常利用側(cè)面展開圖，將兩平面展開變成同一平面，利用兩點(diǎn)之間線段最短的特點(diǎn)，得到三點(diǎn)共線時取得最小值，進(jìn)而利用平面幾何的知識來進(jìn)行求解.五、解答題17．已知數(shù)列滿足，．(1)記，證明：數(shù)列為等比數(shù)列，并求的通項公式；(2)求數(shù)列的前2n項和．【答案】(1)證明見解析；，；(2).【分析】(1)根據(jù)給定的遞推公式依次計算并探求可得，求出即可得證，并求出通項公式.(2)由(1)求出，再按奇偶分組求和即可計算作答.【詳解】(1)依題意，，而，所以數(shù)列是以1為首項，為公比的等比數(shù)列，，.(2)由(1)知，，則有，又，則，于是有，因此，，所以.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：涉及給出遞推公式探求數(shù)列性質(zhì)的問題，認(rèn)真分析遞推公式并進(jìn)行變形，有的可借助累加、累乘求通項的方法分析、探討項間關(guān)系，有的可利用奇偶分析逐步計算探求項間關(guān)系而解決問題.18．已知的外心為，為線段上的兩點(diǎn)，且恰為中點(diǎn).(1)證明：(2)若，，求的最大值.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）設(shè)，利用余弦定理求得，，再根據(jù)，化簡，可求得，同理可求得，即可得證；（2）利用余弦定理求得，，再根據(jù)結(jié)合（1）求得，設(shè)，可求得，再根據(jù)三角形的面積公式結(jié)合基本不等式即可得出答案.【詳解】(1)證明：設(shè)，由余弦定理知：，，由是外心知，而，所以，即，而，因此，同理可知，因此，所以；(2)解：由（1）知，由余弦定理知：，，代入得，設(shè)，則，因此，當(dāng)且僅當(dāng)時取到等號，因此的最大值為.19．如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面為矩形，，，頂點(diǎn)P在底面ABCD的正投影為AD的中點(diǎn)O.(1)求證：平面PAC⊥平面POB(2)若平面PAB與平面PCD的交線為l，，求l與平面PAC所成角的大小.【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）證明，再由線面垂直的性質(zhì)定理得，從而得線面垂直，然后可得面面垂直；（2）由線面平行的判定定理與性質(zhì)定理證明，因此求得直線與平面所成角即可，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法求線面角．【詳解】(1)證明：在Rt△ABC中，，在Rt△AOB中，，則，于是，所以因為PO⊥平面ABCD，平面，則；又，平面，所以AC⊥平面POB，而AC平面PAC，所以PAC⊥平面POB(2)因為，AB平面PCD，CD平面PCD，所以AB//平面PCD，.又平面PAB平面，AB平面PCD，所以.則l與平面PAC所成角的正弦值等于AB與平面PAC所成角的正弦值..以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則A（0，0，0），P（0，，），B（2，0，0），C（2，2，0），所以，，.設(shè)平面PAC的一個法向量為，則，即，即，令，得.設(shè)l與平面PAC所成角為，則，.又因為，所以l與平面PAC所成角為.20．垃圾分類收集處理是一項利國利民的社會工程和環(huán)保工程．搞好垃圾分類收集處理，可為政府節(jié)省開支，為國家節(jié)約能源，減少環(huán)境污染，是建設(shè)資源節(jié)約型社會的一個重要內(nèi)容．為推進(jìn)垃圾分類收集處理工作，A市通過多種渠道對市民進(jìn)行垃圾分類收集處理方法的宣傳教育，為了解市民能否正確進(jìn)行垃圾分類處理，調(diào)查機(jī)構(gòu)借助網(wǎng)絡(luò)進(jìn)行了問卷調(diào)查，并從參與調(diào)查的網(wǎng)友中抽取了200人進(jìn)行抽樣分析，得到如下列聯(lián)表（單位：人）：能正確進(jìn)行垃圾分類不能正確進(jìn)行垃圾分類總計55歲及以下903012055歲以上503080總計14060200（1）根據(jù)以上數(shù)據(jù)，判斷是否有90%的把握認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān)？（2）將頻率視為概率，現(xiàn)從A市55歲及以下的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，共抽取3次．記被抽取的3人中“不能正確進(jìn)行垃圾分類”的人數(shù)為，若每次抽取的結(jié)果是相互獨(dú)立的，求隨機(jī)變量的分布列和均值．附：，其中．【答案】（1）有90%的把握認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān)；（2）答案見解析.【分析】（1）根據(jù)列聯(lián)表計算，再根據(jù)臨界值參考數(shù)據(jù)比較大小，即得結(jié)論；（2）由條件可知，根據(jù)二項分布計算分布列和數(shù)學(xué)期望.【詳解】解：（1）由列聯(lián)表可知，因為，所以有90%的把握認(rèn)為A市能否正確進(jìn)行垃圾分類處理與年齡有關(guān)．（2）由題意可知，從該市55歲及以下的市民中用隨機(jī)抽樣的方法每次抽取1人，不能正確進(jìn)行垃圾分類的頻率為，所以，的所有可能取值為0，1，2，3，，，，，所以的分布列為0123所以．【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是理解題意，并能判斷變量服從二項分布.21．在平面直角坐標(biāo)系中，已知直線，點(diǎn)，動點(diǎn)到點(diǎn)的距離是它到直線的距離的倍，記的軌跡為曲線．(1)求曲線的方程；(2)過點(diǎn)且斜率大于的直線交于兩點(diǎn)，點(diǎn)，連接、交直線于、兩點(diǎn)，證明：點(diǎn)在以為直徑的圓上．【答案】(1)(2)證明見解析