河南省許昌市濟(jì)源市平頂山市高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題

2022屆河南省許昌市、濟(jì)源市、平頂山市高三第三次質(zhì)量檢測(cè)數(shù)學(xué)（理）試題一、單選題1．設(shè)集合，為整數(shù)集，則集合子集的個(gè)數(shù)是（

）A．3 B．6 C．7 D．8【答案】D【分析】解不等式求得，然后求得，進(jìn)而求得正確答案.【詳解】，所以，所以,所以子集的個(gè)數(shù)是.故選：D2．已知點(diǎn)，，，復(fù)數(shù)，在復(fù)平面內(nèi)對(duì)應(yīng)的向量分別是，，則復(fù)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義得到，，再根據(jù)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法法則計(jì)算可得；【詳解】解：依題意知，，于是，故選：C.3．一支田徑隊(duì)有男運(yùn)動(dòng)員48人，女運(yùn)動(dòng)員36人，用分層抽樣的方法從全體運(yùn)動(dòng)員中抽取一個(gè)容量為7的樣本，抽出的男運(yùn)動(dòng)員平均身高為，抽出的女運(yùn)動(dòng)員平均身高為，估計(jì)該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)平均數(shù)的求法求得該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高【詳解】依題意，該田徑隊(duì)運(yùn)動(dòng)員的平均身高為.故選：B4．在△中，“”是“△為鈍角三角形”的（

）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】D【分析】利用充分、必要性的定義，結(jié)合向量數(shù)量積的定義及鈍角三角形的性質(zhì)判斷題設(shè)條件間的推出關(guān)系，即可知答案.【詳解】由，即，又，所以，不能推出△為鈍角三角形，充分性不成立；△為鈍角三角形時(shí)，若，則，不能推出，必要性不成立.所以“”是“△為鈍角三角形”的既不充分也不必要條件.故選：D5．若實(shí)數(shù)，，滿足，，，則（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】結(jié)合對(duì)數(shù)函數(shù)、函數(shù)零點(diǎn)存在性定理等知識(shí)求得正確答案.【詳解】，，對(duì)于函數(shù)，在上遞增，，所以存在唯一零點(diǎn)，，使，所以對(duì)于，有，所以.故選：A6．已知二次函數(shù)（）的值域?yàn)?，則的最小值為（

）A． B．4 C．8 D．【答案】B【分析】根據(jù)的值域求得，結(jié)合基本不等式求得的最小值.【詳解】由于二次函數(shù)（）的值域?yàn)?，所以，所以，所以，?dāng)且僅當(dāng)即時(shí)等號(hào)成立.故選：B7．已知拋物線，過(guò)點(diǎn)的直線交拋物線于A，B兩點(diǎn)，F(xiàn)為拋物線的焦點(diǎn)，若，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，則四邊形的面積是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由拋物線定義將A到焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為A到準(zhǔn)線的距離，求出A的橫坐標(biāo)，進(jìn)而得到縱坐標(biāo)，設(shè)出直線AB，代入拋物線方程利用根與系數(shù)的關(guān)系求出|y1-y2|，進(jìn)而求出面積.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程為，設(shè)，，由拋物線的定義可知，，由拋物線的對(duì)稱性，不妨令，設(shè)直線的方程為，由得，，∴，四邊形的面積，故選：A．8．已知函數(shù)（，），將圖象上所有點(diǎn)向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到函數(shù)的圖象，若是奇函數(shù)，在上單調(diào)遞增，則的最大值為（

）A． B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】根據(jù)三角函數(shù)圖象變換求得，根據(jù)是奇函數(shù)求得，結(jié)合在上的單調(diào)性求得的最大值.【詳解】依題意，為奇函數(shù)，所以，由于，所以.，，由于在上單調(diào)遞增，所以，所以的最大值為.故選：C9．已知，為圓：上兩點(diǎn)，且，點(diǎn)在直線：上，則的最小值為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】先求得線段中點(diǎn)的軌跡，結(jié)合向量的模、圓與直線的位置關(guān)系等知識(shí)求得的最小值.【詳解】設(shè)線段的中點(diǎn)為，圓的圓心為，半徑為.到直線的距離為，所以，故點(diǎn)的軌跡是以為圓心，半徑為的圓，設(shè)點(diǎn)的軌跡為圓，圓上的點(diǎn)到直線的最短距離為.所以.故選：A10．函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為（

）A．0 B．2 C．4 D．6【答案】B【分析】結(jié)合函數(shù)的對(duì)稱性求得正確答案.【詳解】令，得，圖象關(guān)于對(duì)稱，在上遞減.，令，所以是奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，所以圖象關(guān)于對(duì)稱，，在上遞增，所以與有兩個(gè)交點(diǎn)，兩個(gè)交點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以函數(shù)的所有零點(diǎn)之和為.故選：B11．已知雙曲線，的左右焦點(diǎn)記為，，直線過(guò)且與該雙曲線的一條漸近線平行，記與雙曲線的交點(diǎn)為P，若所得的內(nèi)切圓半徑恰為，則此雙曲線的離心率為（

）A．2 B． C． D．【答案】A【分析】根據(jù)給定條件探求出的內(nèi)切圓圓心坐標(biāo)，再借助點(diǎn)到直線距離公式計(jì)算作答.【詳解】令雙曲線的半焦距為c，則，由對(duì)稱性不妨令與平行的漸近線為，直線方程為：，即，令的內(nèi)切圓與三邊相切的切點(diǎn)分別為A，B，C，令點(diǎn)，如圖，由切線長(zhǎng)定理及雙曲線定義得：，即，而軸，圓半徑為，則有，點(diǎn)到直線的距離：，整理得，即，而，解得，所以雙曲線的離心率為2.故選：A【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求雙曲線的離心率(或離心率的取值范圍)，常見(jiàn)有兩種方法：①求出a，c，代入公式；②根據(jù)給定條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，再轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍).12．已知正四棱柱，，，點(diǎn)為點(diǎn)的中點(diǎn)，點(diǎn)為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，下列四個(gè)結(jié)論中正確的個(gè)數(shù)為（

）①當(dāng)且點(diǎn)位于上底面的中心時(shí)，四棱柱外接球的表面積為；②當(dāng)時(shí)，存在點(diǎn)滿足；③當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)滿足；④當(dāng)時(shí)，滿足的點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】根據(jù)外接球的概念，作圖計(jì)算出外接球半徑，然后求解，可判斷①；然后建空間直角坐標(biāo)系，得到，，，為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，且，進(jìn)而對(duì)②③④各個(gè)選項(xiàng)進(jìn)行計(jì)算驗(yàn)證即可判斷并得到答案.【詳解】對(duì)于①，如圖，在中找到面的中心點(diǎn)，為球心，在線段上，因?yàn)樗倪呅螢檎叫?，所以，，且，則設(shè)外接球半徑為，則，則在中，可得，解得，所以，四棱柱外接球的表面積為，①正確；由于，如圖，建系可得，，，，為上底面上的動(dòng)點(diǎn)，可設(shè)，且，對(duì)于②，因?yàn)椋?,，且，因?yàn)?，所以，，所以，，得，所以，必有存在點(diǎn)滿足是錯(cuò)誤的，所以，②錯(cuò)誤；對(duì)于③，則，，因?yàn)?，明顯可見(jiàn)，時(shí)，，此時(shí)，，所以，當(dāng)時(shí)，存在唯一的點(diǎn)滿足，③正確；對(duì)于④，，，若，則有，化簡(jiǎn)得，又因?yàn)?，所以，點(diǎn)的軌跡長(zhǎng)度為，④正確；故正確的有：①③④故選：C二、填空題13．已知變量x，y滿足約束條件，則的最大值為_(kāi)_____.【答案】7【解析】如圖所示，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移得到答案.【詳解】如圖所示：畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)，根據(jù)平移知，當(dāng)目標(biāo)函數(shù)經(jīng)過(guò)點(diǎn)時(shí)，即時(shí)，有最大值為.故答案為：.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃求最值問(wèn)題，畫出可行域和目標(biāo)函數(shù)是解題的關(guān)鍵.14．已知的展開(kāi)式中，第4項(xiàng)的系數(shù)與倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)之比為，則展開(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)的系數(shù)為_(kāi)_____．【答案】1120【分析】根據(jù)二項(xiàng)式展開(kāi)式中項(xiàng)的系數(shù)，可求出，然后根據(jù)二項(xiàng)式系數(shù)的單調(diào)性可知，可知第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，進(jìn)而求出最大的項(xiàng)系數(shù).【詳解】設(shè)展開(kāi)式的通項(xiàng)為，故第四項(xiàng)的系數(shù)為，倒數(shù)第四項(xiàng)的系數(shù)，所以，，解得，所以第五項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故最大項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為:112015．神舟十三號(hào)三位航天英雄在太空出差180余天后，順利返回地面．如圖，返回艙達(dá)到一定高度時(shí)，近似垂直落地，在下落過(guò)程中的某時(shí)刻位于點(diǎn)，預(yù)計(jì)垂直落在地面點(diǎn)處，在地面同一水平線上的、兩個(gè)觀測(cè)點(diǎn)，分別觀測(cè)到點(diǎn)的仰角為15°，45°，若千米，則點(diǎn)距離地面的高度約為_(kāi)_____千米（參考數(shù)據(jù)：）．【答案】【分析】由題設(shè)，可得，由差角正切公式求，進(jìn)而求出高度.【詳解】設(shè)，則，，所以，又，則，即千米.故答案為：16．已知函數(shù)（），若在上有零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍為_(kāi)_____．【答案】【分析】將條件轉(zhuǎn)化為在上有解，令、并利用導(dǎo)數(shù)研究它們?cè)谏系膯握{(diào)性和最值，注意最值對(duì)應(yīng)的自變量，結(jié)合即可求m的范圍.【詳解】若，則，令且，則，故上，上，所以在上遞增，在上遞減，故；令且，則，故上，上，所以在上遞減，在上遞增，故；要使在上有零點(diǎn)，只需，可得.故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求、在上的單調(diào)性及最值，根據(jù)能成立求參數(shù)范圍.三、解答題17．已知等差數(shù)列的前項(xiàng)和為，，，數(shù)列的前項(xiàng)和為．(1)求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和．【答案】(1)(2).【分析】（1）求得數(shù)列的公差，由此求得.利用求得.（2）利用錯(cuò)位相減求和法求得.【詳解】(1)設(shè)等差數(shù)列的公差為，則，所以.由，令得，當(dāng)時(shí)，，兩式相減得，也符合上式，所以.(2)，①，②，①-②得：，所以.18．在2022年北京冬奧會(huì)上，甲、乙、丙三名滑雪運(yùn)動(dòng)員參加小組賽，已知甲晉級(jí)的概率為，乙、丙晉級(jí)的概率均為，且三人是否晉級(jí)相互獨(dú)立．(1)若甲晉級(jí)的概率與乙、丙兩人均沒(méi)有晉級(jí)的概率相等，與乙、丙兩人中有且僅有一人晉級(jí)的概率也相等，求和；(2)若，記三個(gè)人中晉級(jí)的人數(shù)為，若時(shí)的概率和時(shí)的概率相等，求的數(shù)學(xué)期望和方差．【答案】(1)(2).【分析】（1）根據(jù)已知條件列方程組，由此求得的值.（2）判斷出，由此求得的數(shù)學(xué)期望和方程.【詳解】(1)依題意，解得.(2)依題意，則，所以，所以.19．如圖，為圓錐的頂點(diǎn)，是圓錐底面的圓心，為底面直徑，，是底面的內(nèi)接正三角形，且，是線段上一點(diǎn)．(1)若平面，求；(2)當(dāng)為何值時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大？【答案】(1)(2)當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.【分析】（1）通過(guò)勾股定理列方程，化簡(jiǎn)求得.（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用利用向量法求得直線與平面所成角的正弦值，結(jié)合基本不等式求得時(shí)，此正弦值最大.【詳解】(1)，所以，解得，由于三角形是等邊三角形，圓是其外接圓，是圓的直徑，所以垂直平分，，在三角形中，由正弦定理得，則，由于平面，所以，由于，所以三角形是等腰直角三角形，所以,所以.(2)由（1）得，設(shè)，，結(jié)合圓錐的幾何性質(zhì)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，，設(shè)，則，設(shè)平面的法向量為，則，故可設(shè)，設(shè)直線與平面所成角為，則，由于，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，所以，即當(dāng)時(shí)，直線與平面所成角的正弦值最大.20．已知橢圓：（）的左、右焦點(diǎn)分別為，，離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為4．(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)已知直線的過(guò)定點(diǎn)，若橢圓上存在兩點(diǎn)，關(guān)于直線對(duì)稱，求直線斜率的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）由橢圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為求解；（2）設(shè)直線方程為：，，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)差法求得中點(diǎn)坐標(biāo)，再由線段AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，即求解.【詳解】(1)解：因?yàn)闄E圓的離心率為，長(zhǎng)軸長(zhǎng)為，解得，則，所以橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程是；(2)易知直線的斜率存在，設(shè)直線方程為：，，AB中點(diǎn)的坐標(biāo)為，則，兩式相減得，即，又，解得，因?yàn)榫€段AB的中點(diǎn)在橢圓內(nèi)部，所以，即，解得，所以直線斜率的取值范圍21．已知函數(shù)（）．(1)當(dāng)時(shí)，求的圖像在點(diǎn)處的切線方程；(2)若對(duì)任意的，恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【分析】（1）首先求出函數(shù)解析式，即可取出，再求出函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)，即可求出切線的斜率，從而求出切線方程；（2）記，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明的單調(diào)性，即可得到，即，則等價(jià)于對(duì)任意恒成立，參變分離可得對(duì)任意恒成立，令，利用導(dǎo)數(shù)說(shuō)明函數(shù)的單調(diào)性，即可求出的最小值，即可求出參數(shù)的取值范圍；【詳解】(1)解：當(dāng)時(shí)，所以，，所以，所以的圖像在點(diǎn)處的切線方程為；(2)解：記，則，所以當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，即，由對(duì)任意的，恒成立，即對(duì)任意的恒成立，則等價(jià)于對(duì)任意恒成立，即對(duì)任意恒成立，令，則記，則所以在上單調(diào)遞增，所以，所以，即在上單調(diào)遞增，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為；22．在平面直角坐標(biāo)系中，圓的參數(shù)方程為（θ為參數(shù)），以原點(diǎn)為極點(diǎn)，軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線的極坐標(biāo)方程為.(1)求圓的極坐標(biāo)方程及曲線的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)射線與圓交于異于原點(diǎn)的一點(diǎn)，與曲線交于點(diǎn)，求與面積之比的最大值.【答案】(1)，；(2).【分析】（1）由參數(shù)方程可得普通方程，由此可得極坐標(biāo)方程；根據(jù)極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)互化原則可得直角坐標(biāo)方程；（2）由可得，利用三角恒等變換公式可求