高考數(shù)學(xué)不等式性質(zhì)及證明

高考數(shù)學(xué)不等式性質(zhì)及證明例6．求使yx+ayx+(x＞0，y＞0)恒成立的a的最小值。

分析：

本題解法三利用三角換元后確定a的取值范圍，此時我們習(xí)慣是將x、y與cos、sin來對應(yīng)進(jìn)行換元，即令x=cos，y=sin(0＜＜2＝，這樣也得asin+cos，但是這種換元是錯誤的其緣由是：

(1)縮小了x、y的范圍；(2)這樣換元相當(dāng)于本題又增加了x、y=1這樣一個條件，明顯這是不對的。

除了解法一常常用的重要不等式外，解法二的方法也很典型，即若參數(shù)a滿意不等關(guān)系，af(x)，則amin=f(x)max若af(x)，則amax=f(x)min，利用這一基本領(lǐng)實(shí)，可以較輕松地解決這一類不等式中所含參數(shù)的值域問題。

還有三角換元法求最值用的恰當(dāng)好處，可以把原問題轉(zhuǎn)化。

解法一：

由于a的值為正數(shù)，將已知不等式兩邊平方，得：

x+y+2xya2(x+y)，即2xy(a2－1)(x+y)，①x，y＞0，x+y2xy，②當(dāng)且僅當(dāng)x=y時，②中有等號成立。

比較①、②得a的最小值滿意a2－1=1，a2=2，a=2(因a＞0)，a的最小值是2。

解法二：

設(shè)yxxyyxxyyxyxyxyxyxu++=+++=++=++=212)(2∵x＞0，y＞0，x+y2xy(當(dāng)x=y時=成立)，yxxy+21，yxxy+2的最大值是1。

從而可知，u的最大值為211=+，又由已知，得au，a的最小值為2，解法三：

∵y＞0，原不等式可化為yx+1a1+yx，設(shè)yx=tan，(0，2)。

tan+1a1tan2+，即tan+1asecasin+cos=2sin(+4)，③又∵sin(+4)的最大值為1(此時=4)。

由③式可知a的最小值為2。

點(diǎn)評：

本題考查不等式證明、求最值函數(shù)思想、以及學(xué)生邏輯分析實(shí)力。

該題實(shí)質(zhì)是給定條件求最值的題目，所求a的最值蘊(yùn)含于恒成立的不等式中，因此需利用不等式的有關(guān)性質(zhì)把a(bǔ)呈現(xiàn)出來，等價轉(zhuǎn)化的思想是解決題目的突破口，然后再利用函數(shù)思想和重要不等式等求得最值。

題型4：

不等式證明的應(yīng)用例7．（06浙江理，20）已知函數(shù)f(x)=x3+x3，數(shù)列｜xn｜(xn＞0)的第一項(xiàng)xn＝1，以后各項(xiàng)按如下方式取定：

曲線x=f(x)在))(,(11++nnxfx處的切線與經(jīng)過（0，0）和（xn,f(xn)）兩點(diǎn)的直線平行（如圖）.求證：

當(dāng)n*N時，(Ⅰ)x;2312n12n+++=+nnxxx（Ⅱ）21)21()21(nnnx。

證明：

（I）因?yàn)椤?()32,xfxx=+所以曲線()fxy=在11(,(fx))nnx++處的切線斜率121132.nnnkxx+++=+因?yàn)檫^(0,0)和(,(fx))nnx兩點(diǎn)的直線斜率是2n,nxx+所以2n21132nnnxxxx+++=+.（II）因?yàn)楹瘮?shù)2()hxxx=+當(dāng)0x時單調(diào)遞增，而2n21132nnnxxxx+++=+21142nnxx+++211(2)2nnxx++=+，所以12nnxx+，即11,2nnxx+因此1121211()2.nnnnnnxxxxxxx=又因?yàn)?2n212(),nnnxxxx++++令2n,nnyxx=+則11.2nnyy+因?yàn)?1112,yxx=+=所以12111()21()2()21()2.nnnyy=因此2n21()2,nnnxxx+故12.nnnx點(diǎn)評：

本題主要考查函數(shù)的導(dǎo)數(shù)、數(shù)列、不等式等基礎(chǔ)學(xué)問，以及不等式的證明，同時考查邏輯推理實(shí)力。

例8．（2002江蘇，22）已知a＞0，函數(shù)f（x）＝ax－bx2。

（1）當(dāng)b＞0時，若對隨意xR都有f（x）1，證明a2b；（2）當(dāng)b＞1時，證明：

對隨意x［0，1］，|f（x）|1的充要條件是b－1a2b；（3）當(dāng)0＜b1時，探討：

對隨意x［0，1］，|f（x）|1的充要條件。

（Ⅰ）證明：

依設(shè)，對隨意xR，都有f（x）1，∵f（x）＝ba4baxb)2(22+，ba4baf)2(2=1，∵a＞0，b＞0，a2b．（Ⅱ）證明：

必要性：

對隨意x［0，1］，|f（x）|1－1f（x），據(jù)此可以推出－1f（1），即a－b－1，ab－1；對隨意x［0，1］，|f（x）|1f（x）1，因?yàn)閎＞1，可以推出f（b1）1，即ab1－11，a2b；b－1a2b．充分性：

因?yàn)閎＞1，ab－1，對隨意x［0，1］，可以推出：

ax－bx2b（x－x2）－x－x－1，即ax－bx2－1；因?yàn)閎＞1，a2b，對隨意x［0，1］，可以推出ax－bx22bx－bx21，即ax－bx21。

－1f（x）1。

綜上，當(dāng)b＞1時，對隨意x［0，1］，|f（x）|1的充要條件是b－1a2b．（Ⅲ）解：

因?yàn)閍＞0，0＜b1時，對隨意x［0，1］：

f（x）＝ax－bx2－b－1，即f（x）－1；f（x）1f（1）1a－b1，即ab＋1，ab＋1f（x）（b＋1）x－bx21，即f（x）1。

所以，當(dāng)a＞0，0＜b1時，對隨意x［0，1］，|f（x）|1的充要條件是ab＋1．22.解：

原式（x－a）（x－a2）＜0，x1＝a，x2＝a2。

當(dāng)a=a2時，a=0或a=1，x，當(dāng)a＜a2時，a＞1或a＜0，a＜x＜a2，當(dāng)a＞a2時0＜a＜1，a2＜x＜a，當(dāng)a＜0時a＜x＜a2，當(dāng)0＜a＜1時，a2＜x＜a，當(dāng)a＞1時，a＜x＜a2，當(dāng)a=0或a=1時，x。

點(diǎn)評：

此題考查不等式的證明及分類探討思想。

題型5：

課標(biāo)創(chuàng)新題例9．（06上海理，12）三個同學(xué)對問題關(guān)于x的不等式在[1，12]上恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍提出各自的解題思路。

甲說：

只須不等式左邊的最小值不小于右邊的最大值；乙說：

把不等式變形為左邊含變量x的函數(shù)，右邊僅含常數(shù)，求函數(shù)的最值；丙說：

把不等式兩邊看成關(guān)于x的函數(shù)，作出函數(shù)圖像；參考上述解題思路，你認(rèn)為他們所探討的問題的正確結(jié)論，即a的取值范圍是。

答案：

a10。

2x＋25＋|3x－52x|ax點(diǎn)評：

該題通過設(shè)置情景，將不等式學(xué)問蘊(yùn)含在一個對話情景里面，考查學(xué)生閱讀實(shí)力、分析問題、解決問題的實(shí)力。

例10．（06湖南文，20）在m（m2）個不同數(shù)的排列P1P2Pn中，若1i＜jm時Pi＞Pj（即前面某數(shù)大于后面某數(shù)），則稱Pi與Pj構(gòu)成一個逆序.一個排列的全部逆序的總數(shù)稱為該排列的逆序數(shù).記排列()1(+nnn數(shù)11=a，排列321的逆序數(shù)63=a。

（Ⅰ）求a4、a5，并寫出an的表達(dá)式；aab1+321)1的逆序數(shù)為an，如排列21的逆序（Ⅱ）令nnnnnaa1++=，證明32221+++nbbbnn，n=1,2,。

解（Ⅰ）由已知得15,1054==aa，2)1+(12)1(=++++=nnnnan。

（Ⅱ）因?yàn)?2,1=,22222211=+n++n++=+=++nnnnnnnaaaabnnnnn，所以nbbbn221+++.又因?yàn)?2,1=,222222++=+n++=nnnnnnbn，所以)]211()4121()3111[(2221+++++=+++nnnbbbn=32221232++b++nnnn。

綜上，,2,1=,32221+++nnbbnn。

點(diǎn)評：

該題創(chuàng)意新，學(xué)問復(fù)合到位，能很好的反映當(dāng)前的高考趨勢。

五．思維總結(jié)1．不等式證明常用的方法有：

比較法、綜合法和分析法，它們是證明不等式的最基本的方法。

（1）比較法證不等式有作差(商)、變形、推斷三個步驟，變形的主要方向是因式分解、配方，推斷過程必需具體敘述：

假如作差以后的式子可以整理為關(guān)于某一個變量的二次式，則考慮用判別式法證；（2）綜合法是由因?qū)Ч?，而分析法是?zhí)果索因，兩法相互轉(zhuǎn)換，相互滲透，互為前提，充分運(yùn)用這一辯證關(guān)系，可以增加解題思路，開擴(kuò)視野。

2．不等式證明還有一些常用的方法：

換元法、放縮法、反證法、函數(shù)單調(diào)性法、判別式法、數(shù)形結(jié)合法等。

換元法主要有三角代換，均值代換兩種，在應(yīng)用換元法時，要留意代換的等價性。

放縮性是不等式證明中最重要的變形方法之一，放縮要有的放矢，目標(biāo)可以從要證的結(jié)論中考查。

有些不等式，從正面證假如不易說清晰，可以考慮反證法凡是含有至少、惟一或含有其他否定詞的命題，相宜用反證法。

證明不等式時，要依據(jù)題設(shè)、題目的特點(diǎn)和內(nèi)在聯(lián)系，選擇適當(dāng)?shù)淖C明方法，要熟識各種證法中的推理思維，并駕馭相應(yīng)的步驟、技巧和語言特點(diǎn)。

3．幾個重要不等式（1）0,0||,2aaRa則若（2）2222,2(2||2)（當(dāng)僅當(dāng)a=babRababababab++若、則或時取等號）（3）假如a,b都是正數(shù)，那么.2abab+（當(dāng)僅當(dāng)a=b時取等號）最值定理：

若,○1假如P是定值,那么當(dāng)x=y時，S的值最??；○2假如S是定值,那么當(dāng)x=y時，P的值最大；留意：