2023高考數(shù)學(xué)考點(diǎn)12-三角化簡求值

考點(diǎn)12三角化簡求值【高考再現(xiàn)】熱點(diǎn)一利用兩角和差的正弦、余弦、正切公式求值1.〔2023年高考〔重慶文〕〕〔〕A． B． C． D．【方法總結(jié)】兩角和與差的三角函數(shù)公式可看作是誘導(dǎo)公式的推廣，可用α、β的三角函數(shù)表示α±β的三角函數(shù)，在使用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，特別要注意角與角之間的關(guān)系，完成統(tǒng)一角和角與角轉(zhuǎn)換的目的.(1)運(yùn)用兩角和與差的三角函數(shù)公式時(shí)，不但要熟練、準(zhǔn)確，而且要熟悉公式的逆用及變形，如tanα＋tanβ＝tan(α＋β)·(1－tanαtanβ)和二倍角的余弦公式的多種變形等．(2)應(yīng)熟悉公式的逆用和變形應(yīng)用，公式的正用是常見的，但逆用和變形應(yīng)用那么往往容易被無視，公式的逆用和變形應(yīng)用更能開拓思路，培養(yǎng)從正向思維向逆向思維轉(zhuǎn)化的能力，只有熟悉了公式的逆用和變形應(yīng)用后，才能真正掌握公式的應(yīng)用.熱點(diǎn)二利用倍角公式以及誘導(dǎo)公式求值1.〔2023年高考〔遼寧文〕〕,(0,π),那么= 〔〕A．1 B． C． D．12.〔2023年高考〔江西文〕〕假設(shè),那么tan2α= 〔〕A．- B． C．- D．【答案】B【解析】主要考查三角函數(shù)的運(yùn)算,分子分母同時(shí)除以可得,帶入所求式可得結(jié)果.3.〔2023年高考〔大綱文〕〕為第二象限角,,那么 〔〕A． B． C． D．4.〔2023年高考〔山東理〕〕假設(shè),,那么 〔〕A． B． C． D．5.〔2023年高考〔江西理〕〕假設(shè)tan+=4,那么sin2= 〔〕A． B． C． D．【答案】D【解析】此題考查三角恒等變形式以及轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想.因?yàn)?所以..6.〔2023年高考〔大綱理〕〕為第二象限角,,那么 〔〕A． B． C． D．【方法總結(jié)】一、利用誘導(dǎo)公式化簡求值時(shí)的原那么1．“負(fù)化正〞，運(yùn)用公式三將任意負(fù)角的三角函數(shù)化為任意正角的三角函數(shù)．2．“大化小〞，利用公式一將大于360°的角的三角函數(shù)化為0°到360°的三角函數(shù)，利用公式二將大于180°的角的三角函數(shù)化為0°到180°的三角函數(shù)．3．“小化銳〞，利用公式六將大于90°的角化為0°到90°的角的三角函數(shù)．4．“銳求值〞，得到0°到90°的三角函數(shù)后，假設(shè)是特殊角直接求得，假設(shè)是非特殊角可由計(jì)算器求得.二、利用倍角公式化簡求值二倍角公式實(shí)際就是由兩角和公式中令β＝α所得．特別地，對于余弦：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α，這三個(gè)公式各有用處，同等重要，特別是逆用即為“降冪公式〞，在考題中常有表達(dá)．【考點(diǎn)剖析】一．明確要求二．命題方向1．考查利用三角函數(shù)的公式對三角函數(shù)式進(jìn)行化簡求值.2.公式逆用、變形應(yīng)用是高考熱點(diǎn)．3.題型以選擇題、解答題為主.三．規(guī)律總結(jié)根底梳理2．誘導(dǎo)公式公式一：sin(α＋2kπ)＝sinα，cos(α＋2kπ)＝cos_α，其中k∈Z.公式二：sin(π＋α)＝－sin_α，cos(π＋α)＝－cos_α，tan(π＋α)＝tanα.公式三：sin(－α)＝－sin_α，cos(－α)＝cos_α.公式四：sin(π－α)＝sinα，cos(π－α)＝－cos_α.公式五：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)－α))＝sinα.公式六：sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝cos_α，coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)＋α))＝－sin_α3．兩角和與差的正弦、余弦、正切公式4．二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)S2α：sin2α＝2sin_αcos_α；(2)C2α：cos2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；(3)T2α：tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α).5．有關(guān)公式的逆用、變形等6．函數(shù)f(α)＝acosα＋bsinα(a，b為常數(shù))，可以化為f(α)＝eq\r(a2＋b2)sin(α＋φ)或f(α)＝eq\r(a2＋b2)cos(α－φ)，其中φ可由a，b的值唯一確定．一個(gè)口訣誘導(dǎo)公式的記憶口訣為：奇變偶不變，符號(hào)看象限．三種方法在求值與化簡時(shí)，常用方法有：(1)弦切互化法：主要利用公式tanα＝eq\f(sinα,cosα)化成正、余弦．(2)和積轉(zhuǎn)換法：利用(sinθ±cosθ)2＝1±2sinθcosθ的關(guān)系進(jìn)行變形、轉(zhuǎn)化．(3)巧用“1〞的變換：1＝sin2θ＋cos2θ＝cos2θ(1＋tan2θ)＝taneq\f(π,4)＝….三個(gè)防范兩個(gè)技巧(1)拆角、拼角技巧：2α＝(α＋β)＋(α－β)；α＝(α＋β)－β；β＝eq\f(α＋β,2)－eq\f(α－β,2)；eq\f(α－β,2)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(β,2)))－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(α,2)＋β)).(2)化簡技巧：切化弦、“1〞的代換等．三個(gè)變化(1)變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是“配湊〞．(2)變名：通過變換函數(shù)名稱到達(dá)減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有“切化弦〞、“升冪與降冪〞等．(3)變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有：“常值代換〞、“逆用變用公式〞、“通分約分〞、“分解與組合〞、“配方與平方〞等．【根底練習(xí)】1．〔教材習(xí)題改編〕，，那么等于〔〕A．B．C．D．2．〔經(jīng)典習(xí)題〕函數(shù)，那么等于〔〕A．B．C．D．3．〔經(jīng)典習(xí)題〕，那么等于〔〕A．3B．6C．12D．【答案】A【解析】4．〔經(jīng)典習(xí)題〕sin585°的值為()A．－eq\f(\r(2),2)B.eq\f(\r(2),2)C．－eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),2)【答案】A【解析】：sin585°＝sin(360°＋225°)＝sin225°＝sin(180°＋45°)＝－sin45°＝－eq\f(\r(2),2).5．(教材習(xí)題改編)sin(π＋θ)＝－eq\r(3)cos(2π－θ)，|θ|<eq\f(π,2)，那么θ等于()A．－eq\f(π,6)B．－eq\f(π,3)C.eq\f(π,6)D.eq\f(π,3)6．〔經(jīng)典習(xí)題〕假設(shè)，那么的值為()A．0B.eq\f(3,4)C．1D.eq\f(5,4)【答案】B【解析】：7.(教材習(xí)題改編)的值是()A.eq\f(1,2)B.eq\f(\r(3),2)C．－eq\f(1,2)D．－eq\f(\r(3),2)8.(經(jīng)典習(xí)題)假設(shè)，是第三象限角，那么()A．－eq\f(7\r(2),10)B.eq\f(7\r(2),10)C．－eq\f(\r(2),10)D.eq\f(\r(2),10)【答案】A【解析】：由條件sinα＝－eq\r(1－cos2α)＝－eq\f(3,5)，sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,4)))＝eq\f(\r(2),2)sinα＋eq\f(\r(2),2)cosα＝－eq\f(7\r(2),10).9．(教材習(xí)題改編)sinα＝eq\f(3,5)且α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，那么sin2α－cos2α等于________．10．(教材習(xí)題改編)如果sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，那么coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3π,2)－A))的值是________．【解析】：∵sin(π＋A)＝eq\f(1,2)，∴－sinA＝eq\f(1,2).∴coseq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)π－A))＝－sinA＝eq\f(1,2).11．(人教A版教材習(xí)題改編)以下各式的值為eq\f(1,4)的是()．A．2cos2eq\f(π,12)－1 B．1－2sin275°C.eq\f(2tan22.5°,1－tan222.5°) D．sin15°cos15°12．(人教A版教材習(xí)題改編)sin(π＋α)＝eq\f(1,2)，那么cosα的值為()．A．±eq\f(1,2)B.eq\f(1,2)C.eq\f(\r(3),2)D．±eq\f(\r(3),2)【名校模擬】一．根底扎實(shí)1．〔臺(tái)州2023高三調(diào)研試卷理〕〔〕(A)(B)(C)(D)【答案】D【解析】．2．(2023·嘉興調(diào)研)計(jì)算eq\f(1,tan10°)－4cos10°＝________.3．(2023·衡陽模擬)sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，那么tan2α的值為________．【解析】：由sinα＝eq\f(5,13)，α∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,2)，π))，可得cosα＝－eq\f(12,13)，tanα＝－eq\f(5,12).∴tan2α＝eq\f(2tanα,1－tan2α)＝eq\f(2×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12))),1－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(5,12)))2)＝－eq\f(120,119).4．(2023·贛州模擬)sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,6)))＋cosα＝eq\f(4,5)eq\r(3)，那么sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(α＋\f(π,3)))的值為()A.eq\f(4,5)B.eq\f(3,5)C.eq\f(\r(3),2)D.eq\f(\r(3),5)5．(2023·長沙模擬)假設(shè)角α的終邊落在第三象限，那么eq\f(cosα,\r(1－sin2α))＋eq\f(2sinα,\r(1－cos2α))的值為()A．3B．－3C．1 D．－16．〔2023海淀區(qū)高三年級(jí)第二學(xué)期期末練習(xí)文〕的值為〔A〕〔B〕〔C〕〔D〕【答案】C【解析】7．〔2023年石家莊市高中畢業(yè)班教學(xué)質(zhì)量檢測(二)文〕=〔〕A．B．-C．D．-【答案】A【解析】故答案為A.8．(長春市實(shí)驗(yàn)中學(xué)2023屆高三模擬考試〔文〕)，那么等于〔〕9．(河南省鄭州市2023屆高三第二次質(zhì)量預(yù)測文)，那么=__【答案】：【解析】：依題意得，，.二．能力拔高.1．(2023·寧波模擬)化簡：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,tan\f(α,2))－tan\f(α,2)))·eq\f(1－cos2α,sin2α)＝________.2．(中原六校聯(lián)誼2023年高三第一次聯(lián)考理)那么的值是〔〕A． B． C． D．【答案】C【解析】∵∴∴3．，那么〔〕A． B． C． D．4．(山西省2023年高考考前適應(yīng)性訓(xùn)練理)〔〕A．B．C．D．25．(浙江省杭州學(xué)軍中學(xué)2023屆高三第二次月考理，那么的值為〔〕A．B．C．D．6．(2023·湖州一中模擬)cosα＝eq\f(1,7)，cos(α－β)＝eq\f(13,14)，且0<β<α<eq\f(π,2)，(1)求tan2α的值；(2)求β.7．(2023·溫州模擬)假設(shè)eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝3，tan(α－β)＝2，那么tan(β－2α)＝________.【解析】：由條件知eq\f(sinα＋cosα,sinα－cosα)＝eq\f(tanα＋1,tanα－1)＝3，∴tanα＝2.∴tan(β－2α)＝tan[(β－α)－α]8．(2023·杭州師大附中月考)如果f(tanx)＝sin2x－5sinxcosx，那么f(5)＝________.9．(2023·杭州調(diào)研)點(diǎn)A(sin2011°，cos2011°)在直角坐標(biāo)平面上位于()．A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限10．(河北省唐山市2023—2023學(xué)年度高三年級(jí)第二次模擬考試?yán)?是第三象限的角，且tan=2，那么sin〔+〕= A． B． C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，α為第三象限，所以，，所以?yīng)選A.11．〔成都市2023屆高中畢業(yè)班第二次診斷性檢測理〕假設(shè)，那么=〔〕(A)(B)