奇妙的莫比烏斯

01莫比烏斯的發(fā)現(xiàn)長(zhǎng)方形有幾個(gè)面？一張四邊形紙條有幾條邊，幾個(gè)面？容易知道，有4條邊，2個(gè)面。那么，能否將它變成2條邊，2個(gè)面呢？這個(gè)也容易做到，只要將它卷成一個(gè)圓柱形，即可。怎么判斷是兩個(gè)面？只要用一種顏色的繪筆，在紙圈上的一面涂抹，涂完一個(gè)圈上的一面涂抹，最后把整個(gè)紙圈全部抹成這種顏色而不留下任何空白？莫比烏斯的發(fā)現(xiàn)德國(guó)數(shù)學(xué)家，天文學(xué)家莫比烏斯(AugustMobius,1790~1868)困惑一道數(shù)學(xué)幾何學(xué)難題：怎樣在長(zhǎng)方形的紙條上，用一種顏色，把整個(gè)紙條正反面抹成一種顏色。他頭昏腦漲之余，到野外散步，一片片肥大的玉米葉子，在他眼里變成了他腦中綠色的紙條。葉子彎曲聳拉下來，有許多扭成半圓形。

他隨便撕下一片，順著葉子自然扭曲的方向?qū)映梢粋€(gè)圓圈兒，他驚喜地發(fā)現(xiàn)，這‘綠色的圓圈兒'就是他夢(mèng)寐以求的那種圈。莫比烏斯捉了一只小甲蟲，放在上面讓它爬。結(jié)果，小甲蟲不翻越任何邊界就爬遍了圓圈兒的所有部分。莫比烏斯圈就這樣被發(fā)現(xiàn)了，并以他的名字命名。同時(shí)獨(dú)立發(fā)現(xiàn)這個(gè)怪圈的還有數(shù)學(xué)家約翰?李斯丁。這莫比烏斯圈有一個(gè)最令人著迷的性質(zhì)：它只有一條邊和一個(gè)面。莫比烏斯于1809年入萊比錫大學(xué)學(xué)習(xí)法律,后轉(zhuǎn)攻數(shù)學(xué)、物理和天文，尤其涉及天文和數(shù)學(xué)兩大領(lǐng)域。擔(dān)任過“數(shù)學(xué)王子”高斯（Gauss,1777?1855）的助教，后在高斯的推薦下成為特級(jí)教授和萊比錫天文臺(tái)的觀測(cè)員，并于1848年成為萊比錫天文臺(tái)臺(tái)長(zhǎng)。莫比烏斯在數(shù)學(xué)上有很多貢獻(xiàn)，不過他為世人所知還多半是因?yàn)檫@個(gè)用他的名字命名的奇怪曲面：莫比烏斯環(huán)。莫比烏斯也因此成了拓?fù)鋵W(xué)研究的先驅(qū)者。02奇特的莫比烏斯環(huán)如莫比烏斯所做的，只要將一個(gè)長(zhǎng)方形紙條ABCD的一端AB固定,另一端CD扭轉(zhuǎn)180度后，把AB和DC粘合在一起就可得到一條莫比烏斯環(huán)。拿起手中的紙條親自做一個(gè)“莫比烏斯圈”吧!

同學(xué)們和各位家長(zhǎng)們，請(qǐng)你仔細(xì)觀察上面的動(dòng)態(tài)演示圖，不難發(fā)現(xiàn)這個(gè)莫比烏斯環(huán)：雖然在每個(gè)局部都可以說正面反面，但整體上不能分隔成正面和反面，即這種曲面是只有一個(gè)面的“單側(cè)曲面”。勤奮的小螞蟻”公正的螞蟻無可辯駁地證明了這個(gè)圈兒只有一個(gè)面你能走到頭嗎？若是在這樣的二維世界里行走，你不用繞過邊界就可以走遍整個(gè)世界。若是用一支筆沿著邊界涂色，不用提筆就可以涂遍整個(gè)邊界，就是說它也是一個(gè)只有一條邊界的曲面。這個(gè)怪圈因?yàn)榫哂幸恍┢娈惖男再|(zhì)而成為數(shù)學(xué)珍品之一。

探尋它的神秘（一）若是在莫比烏斯環(huán)的中間畫上一條線，然后用剪刀沿著這條線剪開這個(gè)莫比烏斯環(huán)，將會(huì)得到什么呢?實(shí)驗(yàn)結(jié)果：如果沿著莫比烏斯環(huán)中間剪開，和一般的紙帶（會(huì)分成斷開的兩條環(huán)）不一樣，而會(huì)形成一個(gè)比原來的莫比烏斯環(huán)周長(zhǎng)大一倍、把紙帶的端頭扭轉(zhuǎn)了四次再粘合一起的環(huán)。（二）若是在莫比烏斯環(huán)的三等分處畫一條線，然后用剪刀沿著這條線剪開這個(gè)莫比烏斯環(huán)，將會(huì)得到什么呢?實(shí)驗(yàn)結(jié)果：如果沿著莫比烏斯環(huán)三等分處剪開，剪刀繞兩個(gè)圈竟又回到原出發(fā)點(diǎn)，這時(shí)會(huì)形成兩條帶子，其中一條和原來的周長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，另一條則比原來的莫比烏斯環(huán)周長(zhǎng)大一倍，而且兩條是套在一起的。（三）若是在莫比烏斯環(huán)的四等分處畫一條線，然后用剪刀沿著這條線剪開這個(gè)莫比烏斯環(huán)，將會(huì)得到什么呢？實(shí)驗(yàn)結(jié)果：如果沿著莫比烏斯環(huán)四等分處剪開，這時(shí)會(huì)形成兩條比原來的莫比烏斯環(huán)周長(zhǎng)都大一倍帶子，而且兩條是套在一起的。（四）若是在莫比烏斯環(huán)的五等分處畫一條線，然后用剪刀沿著這條線剪開這個(gè)莫比烏斯環(huán)，將會(huì)得到什么呢呢？此環(huán)節(jié)的活動(dòng)請(qǐng)你一起來參與，主動(dòng)去發(fā)現(xiàn)吧！實(shí)驗(yàn)結(jié)果：如果沿著莫比烏斯環(huán)五等分處剪開，這時(shí)會(huì)形成三條帶子，兩條比原來的莫比烏斯環(huán)周長(zhǎng)都大一倍帶子，另一條則和原來的周長(zhǎng)一樣長(zhǎng)，而且三條是套在一起的。結(jié)論由此規(guī)律，你能得出什么結(jié)論呢？（五）若是在（一）的結(jié)果基礎(chǔ)上，對(duì)剪出來的環(huán)再沿著中間用剪刀剪開，又將得到什么結(jié)果呢？（六）將兩張疊在一起的長(zhǎng)方形紙帶制成一條莫比烏斯環(huán)。（1）將兩張疊在一起的長(zhǎng)方形紙帶同時(shí)扭轉(zhuǎn)半圈，把相應(yīng)的端頭粘合在一起（2）把食指放在兩層帶之間移動(dòng)；（3）把雙層帶拉開成單層帶，比較雙、單層帶的長(zhǎng)度與扭轉(zhuǎn)半圈數(shù)；（4）將單層帶恢復(fù)為雙層帶，同時(shí)沿它的中間線剪開。通過以上這些步驟，分別又會(huì)發(fā)現(xiàn)什么呢？好吧！你們可以自己玩玩！相信一定能感受到這個(gè)“怪圈”神奇了。04生活、藝術(shù)中的莫比烏斯環(huán)莫比烏斯環(huán)乍看起來似乎不過是數(shù)學(xué)中意外發(fā)現(xiàn)的一個(gè)新奇的玩具而已。其實(shí)，這個(gè)“怪圈”遠(yuǎn)非數(shù)學(xué)中的一個(gè)拓?fù)溆螒?。莫比烏?858年發(fā)現(xiàn)了它，可有關(guān)論文在巴黎研究院的卷宗里埋藏了7年之久．1865年發(fā)表出來后以奇妙的單側(cè)單面性吸引無數(shù)學(xué)者步入拓?fù)涞牡钐?，從而促進(jìn)了拓?fù)鋵W(xué)的形成和發(fā)展。它更因其所具有的特性和內(nèi)在的意義，被大量的運(yùn)用于生活和藝術(shù)設(shè)計(jì)中。1.莫比烏斯環(huán)傳動(dòng)帶普通傳動(dòng)帶有兩個(gè)面，只用到一面，而以莫比烏斯環(huán)做傳動(dòng)帶，因它只有一面,損耗就較平均，從而可延長(zhǎng)使用壽命，提高了利用效率。1979年，美國(guó)著名輪胎公司百路馳創(chuàng)造性地把傳送帶制成莫比烏斯圈形狀，這樣一來，整條傳送帶環(huán)面各處均勻地承受磨損，避免了普通傳送帶單面受損的情況，使得其壽命延長(zhǎng)了整整一倍。另外，針式打印機(jī)中的色帶，為充分利用其表面，常被設(shè)計(jì)成莫比烏斯環(huán)。再如，音樂磁帶中莫比烏斯圈的運(yùn)用，可以加大磁帶的信息承載量。2.莫比烏斯圈過山車在美國(guó)匹茲堡著名肯尼森林游樂園里，就有一部“加強(qiáng)版”的云霄飛車——它的軌道被設(shè)計(jì)成一個(gè)莫比烏斯圈。乘客在軌道的兩面上飛馳。相信，定然很刺激。3.各種莫比烏斯環(huán)標(biāo)志莫比烏斯圈循環(huán)往復(fù)的幾何特征，蘊(yùn)含著永恒、無限的意義，因此常被用于各類標(biāo)志設(shè)計(jì)。微處理器廠商PowerArchitecture的商標(biāo)就是一條莫比烏斯圈，PowerArchitecture技術(shù)是一個(gè)主流平臺(tái)，被廣泛應(yīng)用于包括汽車控制、遠(yuǎn)程通訊、無線和有線基礎(chǔ)架構(gòu)、企業(yè)網(wǎng)絡(luò)、服務(wù)器和數(shù)字家庭。國(guó)際通用的循環(huán)再造標(biāo)志就是一個(gè)綠色的、擺放成三角形的莫比烏斯帶，如垃圾回收標(biāo)志。4.埃舍爾的《莫比烏斯帶》系列作品在所有莫比烏斯環(huán)的藝術(shù)作品中，荷蘭的圖形藝術(shù)家M.C.埃舍爾(M.C.Escher,1898?1972)的《莫比烏斯帶》系列最能表現(xiàn)莫比烏斯環(huán)的生動(dòng)形象，同時(shí)也是最具震撼力的作品了。作為荷蘭科學(xué)思維版畫大師的M.C.埃舍爾是20世紀(jì)畫壇中獨(dú)樹一幟的藝術(shù)家。讓埃舍爾備受拓?fù)鋵W(xué)家關(guān)注的原因則是他對(duì)于莫比烏斯環(huán)的藝術(shù)上的理解。

當(dāng)然，埃舍爾并不是一開始就想到莫比烏斯環(huán)的。他曾表示：“1960年，一位英國(guó)數(shù)學(xué)家（我已經(jīng)記不起他的名字了）勸我作一幅莫比烏斯環(huán)的版畫。而那時(shí)我對(duì)這個(gè)東西還幾乎一無所知?！比欢?，莫比烏斯環(huán)似乎一直在等待真正賞識(shí)它的人出現(xiàn)，一旦埃舍爾發(fā)現(xiàn)了它,它立即就成了埃舍爾的主題。他曾多次繪制這個(gè)有趣的莫比烏斯環(huán):時(shí)我對(duì)這個(gè)東西還幾乎一無所知?！比欢?，莫比烏斯環(huán)似乎一直在等待真正賞識(shí)它的人出現(xiàn)，一旦埃舍爾發(fā)現(xiàn)了它,它立即就成了埃舍爾的主題。他曾多次繪制這個(gè)有趣的莫比烏斯環(huán):《莫比烏斯I》(MobiusI,1963)《騎士》（Horseman，木刻，1946）

《纏著魔帶的立方體》(CubewithMagicRibbons,1957)《莫比烏斯帶》“埃舍爾不僅畫各種莫比烏斯環(huán)，卻并不拘泥于典型的莫比烏斯環(huán)。他將其與自己擅長(zhǎng)的鑲嵌畫融合，探索各種可能，達(dá)到了形形色色的奇妙效果。”如，《莫比烏斯II》(MobiusII,1963)中生動(dòng)形象地展示了莫比烏斯環(huán)的拓?fù)鋵W(xué)性質(zhì)。一只紅螞蟻無限地爬下去，不斷地在里側(cè)外側(cè)徘徊，形象地展示了莫比烏斯環(huán)的一個(gè)面的特性。如此便將理解晦澀的理論所需的空間想象能力降低，使之更易被人所理解。5.莫比烏斯環(huán)觸發(fā)的各種設(shè)計(jì)創(chuàng)意上海世博會(huì)的湖南館“桃花源里?湘都(xiangdu)”，主體建筑外觀采用了雙莫比烏斯環(huán)扣造型，外表用紙裝飾，遠(yuǎn)觀如一尊巨大的動(dòng)態(tài)雕塑藝術(shù)品。整個(gè)“魔比思環(huán)”就像展開的卷軸，環(huán)體上的影像組成循環(huán)流動(dòng)的彩帶，時(shí)而全景演播時(shí)而滾動(dòng)變化，時(shí)而回歸為純凈的留白，給人以更多靜思與遐想的空間。還有坐落在哈薩克斯坦共和國(guó)首都阿斯塔納的哈薩克斯坦國(guó)家圖書館集現(xiàn)代特色和傳統(tǒng)經(jīng)典于一身，整個(gè)建筑呈向內(nèi)“循環(huán)”的螺旋流線造型，簡(jiǎn)約而雅致。BIG建筑師事務(wù)所資金合伙人Bjarkelngels解釋道：“國(guó)家圖書館的設(shè)計(jì)是將穿越空間與時(shí)間的四個(gè)世界性經(jīng)典造型——圓形、環(huán)形、拱形和圓頂形——以莫比烏斯環(huán)的形式融合在了一起。它擁有環(huán)形的清晰明了，擁有圓形大廳的庭院設(shè)計(jì)、擁有拱形的走廊通道，以及蒙古圓頂帳篷般的柔和輪廓，四種建筑原型的結(jié)合創(chuàng)造了一個(gè)新的兼具地方性和國(guó)際性特色，既現(xiàn)代又永恒經(jīng)典，既獨(dú)特又具有建筑歸屬感的全新國(guó)家標(biāo)志性建筑。”這種建筑設(shè)計(jì)，可以在同樣平面面積中通過不同角度的“空間扭曲”而讓原有的空間在不同方向得以“延伸”，從而獲得更多的可用空間?！八寜Ρ谠诓煌慕嵌茸兓?，時(shí)而是墻，時(shí)而是屋頂，時(shí)而成了地板，最后又變成了墻?！眹?guó)家圖書館項(xiàng)目負(fù)責(zé)人托馬斯?克里斯托弗森如是說。又如，這是中國(guó)科技館的展品之一，叫“三葉扭結(jié)”。它是由“莫比烏斯環(huán)”演變而成的，是由一條三棱柱帶經(jīng)過三次盤繞，將其中的一端旋轉(zhuǎn)120后首尾相接，構(gòu)成三面連通的單側(cè)單邊的三葉扭結(jié)造型。三葉扭結(jié)雖是立體圖形，但只有一個(gè)面，即單側(cè)面。這藍(lán)白相間的燈不停地閃爍，乍看是個(gè)漂亮的燈飾，但細(xì)瞧，它也只有一面和一邊，正喻示著科學(xué)沒有國(guó)界，各種科學(xué)之間沒有邊界，科學(xué)是相互連通的，科學(xué)和藝術(shù)也是相互連通的！一年一度的英國(guó)古德伍德速度節(jié)上，為蓮花汽車公司設(shè)計(jì)的雕塑，以類似莫比烏斯環(huán)的無限延伸空間向人們展示了汽車競(jìng)速的無限樂趣，無論是形體還是構(gòu)思都讓人無比震撼。6.郵票上的莫比烏斯環(huán)SVERIGE50瑞典1982年發(fā)行了“不可能的圖形”系列郵票，其中有一枚郵票，這是一個(gè)立體化的“莫比烏斯圈”。只是，這種莫比烏斯環(huán)在現(xiàn)實(shí)中是不可能存在的，意在引導(dǎo)人們關(guān)注科學(xué)，探索宇宙不解之謎。這枚莫比烏斯環(huán)婚戒標(biāo)寫著：“我會(huì)一直在你身邊！”真是寓意深遠(yuǎn)！8.影視、文學(xué)作品中的莫比烏斯環(huán)以《愛麗絲漫游奇境》享譽(yù)文壇的路易斯?卡洛爾，恐怕是世界上最有數(shù)學(xué)情懷的童話作家。在他的故事中，少不了妙趣橫生的數(shù)學(xué)謎題。其中“手絹中的宇宙”就是如此一個(gè)奧妙無窮的莫比烏斯環(huán)：怎樣用兩張方手絹，縫成一個(gè)沒有里面與外面之分的“口袋”？——這個(gè)口袋由于兩面相通，所以能夠“裝下全宇宙”。由A.J.Deutsch創(chuàng)作的短篇小說《一個(gè)叫莫比烏斯的地鐵站》為波士頓地鐵站創(chuàng)造了一個(gè)新的行駛線路，整個(gè)線路按照莫比烏斯方式扭曲，走入這個(gè)線路的火車都消失不見?！抖呃睞夢(mèng)》（趕走討厭的客人）一集中，哆啦A夢(mèng)有個(gè)道具的外觀就是莫比烏斯帶，在故事中，只要將這個(gè)環(huán)套在門把上，則外面的人進(jìn)來之后，看到的仍然是外面。9.密碼——青銅西班牙現(xiàn)代雕塑大師蘇比拉克作品的“密碼”這件作品由三部分組成：作品上部分的數(shù)字方格是“蘇比拉克幻方”，方框內(nèi)的16個(gè)數(shù)字橫、豎、斜或分組相加均為33。33是耶穌死亡的年齡，也是耶穌復(fù)活的年齡！作品中間部分的“環(huán)帶”就是“莫比烏斯帶”，象征無限遠(yuǎn)的意義。同時(shí)，又有魔幻和神秘之意義。作品下部分的織物皺褶則象征古希臘文明的藝術(shù)特點(diǎn)。整個(gè)作品將組合