2023年高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)課件：第七章 7-6推理與證明

第七章§7.6推理與證明考試要求1.了解合情推理的含義，能進(jìn)行簡單的歸納推理和類比推理，體會并認(rèn)識合情

推理在數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)中的作用.2.了解演繹推理的含義，掌握演繹推理的“三段論”，并能運(yùn)用“三段論”進(jìn)

行一些簡單的演繹推理.3.了解直接證明的兩種基本方法——分析法和綜合法；了解分析法和綜合法的

思考過程和特點(diǎn).4.了解反證法的思考過程和特點(diǎn).落實(shí)主干知識探究核心題型內(nèi)容索引課時(shí)精練LUOSHIZHUGANZHISHI落實(shí)主干知識類型定義特點(diǎn)歸納推理由某類事物的______對象具有某些特征，推出該類事物的______對象都具有這些特征的推理，或者由個(gè)別事實(shí)概括出一般結(jié)論的推理由______到______、由______到______類比推理由兩類對象具有某些類似特征和其中一類對象的某些已知特征，推出另一類對象也具有這些特征的推理由______到______1.合情推理部分全部部分整體個(gè)別一般特殊特殊2.演繹推理(1)定義：從一般性的原理出發(fā)，推出某個(gè)特殊情況下的結(jié)論，我們把這種推理稱為演繹推理.簡言之，演繹推理是由一般到______的推理.(2)“三段論”是演繹推理的一般模式，包括：①大前提——已知的一般原理；②小前提——所研究的特殊情況；③結(jié)論——根據(jù)一般原理，對特殊情況做出的判斷.特殊3.直接證明(1)綜合法①定義：一般地，利用已知條件和某些數(shù)學(xué)定義、公理、定理等，經(jīng)過一系列的________，最后推導(dǎo)出所要證明的結(jié)論成立，這種證明方法叫做綜合法.推理論證(其中P表示已知條件、已有的定義、公理、定理等，Q表示所要證明的結(jié)論).③思維過程：由因?qū)Ч?(2)分析法①定義：一般地，從_____________出發(fā)，逐步尋求使它成立的___________，直至最后，把要證明的結(jié)論歸結(jié)為判定一個(gè)明顯成立的條件(已知條件、定理、定義、公理等)為止，這種證明方法叫做分析法.要證明的結(jié)論(其中Q表示要證明的結(jié)論).③思維過程：執(zhí)果索因.充分條件4.間接證明反證法：一般地，假設(shè)原命題_______(即在原命題的條件下，結(jié)論不成立)，經(jīng)過正確的推理，最后得出______，因此說明假設(shè)錯誤，從而證明___________的證明方法.不成立矛盾原命題成立判斷下列結(jié)論是否正確(請?jiān)诶ㄌ栔写颉啊獭被颉啊痢?(1)歸納推理得到的結(jié)論不一定正確，類比推理得到的結(jié)論一定正確.(

)(2)“所有3的倍數(shù)都是9的倍數(shù)，某數(shù)m是3的倍數(shù)，則m一定是9的倍數(shù)”，這是三段論推理，但其結(jié)論是錯誤的.(

)(3)分析法是從要證明的結(jié)論出發(fā)，逐步尋找使結(jié)論成立的充要條件.(

)(4)用反證法證明結(jié)論“a>b”時(shí)，應(yīng)假設(shè)“a<b”.(

)√×××1.已知在數(shù)列{an}中，a1＝1，當(dāng)n≥2時(shí)，an＝an－1＋2n－1，依次計(jì)算a2，a3，a4后，猜想an的表達(dá)式是A.an＝3n－1 B.an＝4n－3C.an＝n2

D.an＝3n－1√a2＝a1＋3＝4，a3＝a2＋5＝9，a4＝a3＋7＝16，a1＝12，a2＝22，a3＝32，a4＝42，猜想an＝n2.2.給出下列命題：“①正方形的對角線相等；②矩形的對角線相等，③正方形是矩形”，按照三段論證明，正確的是A.①②?③

B.①③?②C.②③?①

D.以上都不對√“矩形的對角線相等”是大前提，“正方形是矩形”是小前提，“正方形的對角線相等”是結(jié)論.所以②③?①.3.用反證法證明命題：“設(shè)a，b為實(shí)數(shù)，則方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根”時(shí)，要作的假設(shè)是A.方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根B.方程x3＋ax＋b＝0至多有一個(gè)實(shí)根C.方程x3＋ax＋b＝0至多有兩個(gè)實(shí)根D.方程x3＋ax＋b＝0恰好有兩個(gè)實(shí)根√方程x3＋ax＋b＝0至少有一個(gè)實(shí)根的反面是方程x3＋ax＋b＝0沒有實(shí)根.TANJIUHEXINTIXING探究核心題型命題點(diǎn)1歸納推理題型一合情推理與演繹推理例1

如圖，第1個(gè)圖形由正三角形擴(kuò)展而成，共12個(gè)頂點(diǎn).第n個(gè)圖形由正n＋2邊形擴(kuò)展而來，其中n∈N*，則第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)是A.(2n＋1)(2n＋2) B.3(2n＋2)C.2n(5n＋1) D.(n＋2)(n＋3)√由已知中的圖形可以得到：當(dāng)n＝1時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為12＝3×4，當(dāng)n＝2時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為20＝4×5，當(dāng)n＝3時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為30＝5×6，當(dāng)n＝4時(shí)，圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為42＝6×7，……由此可以推斷，第n個(gè)圖形的頂點(diǎn)個(gè)數(shù)為(n＋2)(n＋3).命題點(diǎn)2類比推理可以類比得到：在四面體P－ABC中，PA，PB，PC兩兩垂直，PA＝a，PB＝b，PC＝c，下面進(jìn)行證明：可將圖形補(bǔ)成以PA，PB，PC為鄰邊的長方體，則四面體P－ABC的外接球即為長方體的外接球，命題點(diǎn)3

演繹推理例3下面是小明同學(xué)利用三段論模式給出的一個(gè)推理過程：①若{an}是等比數(shù)列，則{an＋an＋1}是等比數(shù)列(大前提)，②若bn＝(－1)n，則數(shù)列{bn}是等比數(shù)列(小前提)，③所以數(shù)列{bn＋bn＋1}是等比數(shù)列(結(jié)論)，以上推理A.結(jié)論正確

B.大前提不正確C.小前提不正確

D.全不正確√大前提錯誤：當(dāng)an＝(－1)n時(shí)，an＋an＋1＝0，此時(shí){an＋an＋1}不是等比數(shù)列；小前提正確：∵bn＝(－1)n，∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為－1，公比為－1的等比數(shù)列；結(jié)論錯誤：bn＋bn＋1＝(－1)n＋(－1)n＋1＝0，故數(shù)列{bn＋bn＋1}不是等比數(shù)列.1.觀察下列各式：72＝49,73＝343,74＝2401，…，則72023的末兩位數(shù)字為A.01 B.43 C.07 D.49教師備選∵72＝49,73＝343,74＝2401,75＝16807,76＝117649,78＝823543，…，∴7n(n≥2，n∈N*)的末兩位數(shù)字具備周期性，且周期為4，∵2023＝4×505＋3，∴72023和73的末兩位數(shù)字相同，故72023的末兩位數(shù)字為43.√2.在等差數(shù)列{an}中，若a10＝0，則有等式a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，類比上述性質(zhì)，在等比數(shù)列{bn}中，若b11＝1，則有A.b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b19－n(n<19且n∈N*)B.b1·b2·…·bn＝b1·b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)C.b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b19－n(n<19且n∈N*)D.b1＋b2＋…＋bn＝b1＋b2＋…＋b21－n(n<21且n∈N*)√在等差數(shù)列{an}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，則as＋at＝ap＋aq，若am＝0，則an＋1＋an＋2＋…＋a2m－2－n＋a2m－1－n＝0，所以a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a2m－1－n成立，當(dāng)m＝10時(shí)，a1＋a2＋…＋an＝a1＋a2＋…＋a19－n(n<19且n∈N*)成立，在等比數(shù)列{bn}中，若s＋t＝p＋q(s，t，p，q∈N*)，則bsbt＝bpbq，若bm＝1，則bn＋1bn＋2·…·b2m－2－nb2m－1－n＝1，所以b1b2·…·bn＝b1b2·…·b2m－1－n成立，當(dāng)m＝11時(shí)，b1b2·…·bn＝b1b2·…·b21－n(n<21且n∈N*)成立.3.“對數(shù)函數(shù)是非奇非偶函數(shù)，f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，因此f(x)＝log2|x|是非奇非偶函數(shù)”，以上推理A.結(jié)論正確

B.大前提錯誤C.小前提錯誤

D.推理形式錯誤√本命題的小前提是f(x)＝log2|x|是對數(shù)函數(shù)，但是這個(gè)小前提是錯誤的，因?yàn)閒(x)＝log2|x|不是對數(shù)函數(shù)，它是一個(gè)復(fù)合函數(shù)，只有形如y＝logax(a>0且a≠1)的才是對數(shù)函數(shù).故選C.思維升華(1)歸納推理問題的常見類型及解題策略①與數(shù)字有關(guān)的等式的推理.觀察數(shù)字特點(diǎn)，找出等式左右兩側(cè)的規(guī)律及符號.②與式子有關(guān)的推理.觀察每個(gè)式子的特點(diǎn)，注意縱向?qū)Ρ龋业揭?guī)律.③與圖形變化有關(guān)的推理.合理利用特殊圖形歸納推理出結(jié)論，并用賦值檢驗(yàn)法驗(yàn)證其真?zhèn)涡?思維升華(2)類比推理常見的情形有：平面與空間類比；低維與高維類比；等差與等比數(shù)列類比；運(yùn)算類比；數(shù)的運(yùn)算與向量運(yùn)算類比；圓錐曲線間的類比等.A.n2

B.nn

C.2n D.22n－2√由題意，當(dāng)分母的指數(shù)為1時(shí)，分子為11＝1；當(dāng)分母的指數(shù)為2時(shí)，分子為22＝4；當(dāng)分母的指數(shù)為3時(shí)，分子為33＝27；(2)類比是學(xué)習(xí)探索中一種常用的思想方法，在等差數(shù)列與等比數(shù)列的學(xué)習(xí)中我們發(fā)現(xiàn)：只要將等差數(shù)列的一個(gè)關(guān)系式中的運(yùn)算“＋”改為“×”，“－”改為“÷”，正整數(shù)改為正整數(shù)指數(shù)冪，相應(yīng)地就可以得到與等比數(shù)列的一個(gè)形式相同的關(guān)系式，反之也成立.在等差數(shù)列{an}中有an－k＋an＋k＝2an(n>k)，借助類比，在等比數(shù)列{bn}中有________________.(3)(2022·銀川模擬)一道四個(gè)選項(xiàng)的選擇題，趙、錢、孫、李各選了一個(gè)選項(xiàng)，且選的恰好各不相同.趙說：“我選的是A.”錢說：“我選的是B，C，D之一.”孫說：“我選的是C.”李說：“我選的是D.”已知四人中只有一人說了假話，則說假話的人可能是________.孫、李趙不可能說謊，否則由于錢不選A，則孫和李之一選A，出現(xiàn)兩人說謊.錢不可能說謊，否則與趙同時(shí)說謊；所以可能的情況是趙、錢、孫、李選擇的分別為(A，C，B，D)或(A，D，C，B)，所以說假話的人可能是孫、李.命題點(diǎn)1綜合法例4

設(shè)a，b，c均為正數(shù)，且a＋b＋c＝1，證明：題型二直接證明與間接證明由a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥2ca，得a2＋b2＋c2≥ab＋bc＋ca.由題設(shè)得(a＋b＋c)2＝1，即a2＋b2＋c2＋2ab＋2bc＋2ca＝1，所以3(ab＋bc＋ca)≤1，當(dāng)且僅當(dāng)“a＝b＝c”時(shí)等號成立.當(dāng)且僅當(dāng)“a2＝b2＝c2”時(shí)等號成立，命題點(diǎn)2分析法要證不等式成立，所以原不等式成立.命題點(diǎn)3反證法例6已知非零實(shí)數(shù)a，b，c兩兩不相等.證明：三個(gè)一元二次方程ax2＋2bx＋c＝0，bx2＋2cx＋a＝0，cx2＋2ax＋b＝0不可能都只有一個(gè)實(shí)根.假設(shè)三個(gè)方程都只有一個(gè)實(shí)根，則①＋②＋③，得a2＋b2＋c2－ab－bc－ca＝0，

④④化為(a－b)2＋(b－c)2＋(c－a)2＝0.

⑤于是a＝b＝c，這與已知條件相矛盾.因此，所給三個(gè)方程不可能都只有一個(gè)實(shí)根.③教師備選(2022·貴州質(zhì)檢)請?jiān)诰C合法、分析法、反證法中選擇兩種不同的方法證明：方法一(綜合法)因?yàn)閍>0，b>0，由a>0，b>0，上式顯然成立，則原不等式成立.思維升華(1)綜合法證題從已知條件出發(fā)，分析法從要證結(jié)論入手，證明一些復(fù)雜問題，可采用兩頭湊的方法.(2)反證法適用于不好直接證明的問題，應(yīng)用反證法證明時(shí)必須先否定結(jié)論.只要證(a＋b)2≥4ab，只要證(a＋b)2－4ab≥0，即證a2－2ab＋b2≥0，而a2－2ab＋b2＝(a－b)2≥0恒成立，(2)已知a＋b＋c>0，ab＋bc＋ca>0，abc>0，求證：a>0，b>0，c>0.假設(shè)a，b，c不全是正數(shù)，即至少有一個(gè)不是正數(shù)，不妨先設(shè)a≤0，下面分a＝0和a<0兩種情況討論，如果a＝0，則abc＝0與abc>0矛盾，所以a＝0不可能，如果a<0，那么由abc>0可得，bc<0，又因?yàn)閍＋b＋c>0，所以b＋c>－a>0，于是ab＋bc＋ca＝a(b＋c)＋bc<0，這和已知ab＋bc＋ca>0相矛盾，因此，a<0也不可能，綜上所述，a>0，同理可證b>0，c>0，所以原命題成立.KESHIJINGLIAN課時(shí)精練A.小前提不正確

B.大前提不正確C.推理形式不正確

D.大、小前提都不正確基礎(chǔ)保分練√12345678910111213141516大前提錯誤.因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)y＝ax(a>0，且a≠1)在a>1時(shí)是增函數(shù)，而在0<a<1時(shí)為減函數(shù).2.(2022·大慶聯(lián)考)用反證法證明命題：“若a2＋b2＋c2＋d2＝0，則a，b，c，d都為0”.下列假設(shè)中正確的是A.假設(shè)a，b，c，d都不為0B.假設(shè)a，b，c，d至多有一個(gè)為0C.假設(shè)a，b，c，d不都為0D.假設(shè)a，b，c，d至少有兩個(gè)為0√12345678910111213141516需假設(shè)a，b，c，d不都為0.√1234567891011121314151612345678910111213141516因?yàn)閘og28＝3，4.下面幾種推理是合情推理的是①由圓的性質(zhì)類比出球的有關(guān)性質(zhì)；②由直角三角形、等腰三角形、等邊三角形內(nèi)角和是180°，歸納出所有三角形的內(nèi)角和都是180°；③某次考試張軍成績是100分，由此推出全班同學(xué)成績都是100分；④三角形內(nèi)角和是180°，四邊形內(nèi)角和是360°，五邊形內(nèi)角和是540°，歸納出n邊形內(nèi)角和是(n－2)·180°.A.①②

B.①③④C.①②④

D.②④√12345678910111213141516①為類比推理，從特殊到特殊，正確；②④為歸納推理，從特殊到一般，正確；③不符合類比推理和歸納推理的定義，錯誤.123456789101112131415165.(2022·普寧模擬)有一個(gè)游戲，將標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4的四張卡片分別隨機(jī)發(fā)給甲、乙、丙、丁4個(gè)人，每人一張，并請這4個(gè)人在看自己的卡片之前進(jìn)行預(yù)測：甲說：乙或丙拿到標(biāo)有3的卡片；乙說：甲或丙拿到標(biāo)有2的卡片；丙說：標(biāo)有1的卡片在甲手中；丁說：甲拿到標(biāo)有3的卡片.結(jié)果顯示：甲、乙、丙、丁4個(gè)人的預(yù)測都不正確，那么丁拿到卡片上的數(shù)字為A.1 B.2 C.3 D.4√12345678910111213141516乙、丙、丁所說為假?甲拿4，甲、乙所說為假?丙拿1，甲所說為假?乙拿2，故甲、乙、丙、丁4個(gè)人拿到的卡片上的數(shù)字依次為4,2,1,3.123456789101112131415166.觀察下列數(shù)的特點(diǎn)：1,2,2,3,3,3,4,4,4,4，…，則第2023項(xiàng)是A.61 B.62C.63 D.64√1234567891011121314151612345678910111213141516由規(guī)律可得，數(shù)字相同的數(shù)的個(gè)數(shù)依次為1,2,3,4，…，n.則第2017項(xiàng)至第2080項(xiàng)均為64，即第2023項(xiàng)是64.123456789101112131415167.觀察下列各式：已知a＋b＝1，a2＋b2＝3，a3＋b3＝4，a4＋b4＝7，a5＋b5＝11，…，則歸納猜測a7＋b7＝________.29觀察發(fā)現(xiàn)，1＋3＝4,3＋4＝7,4＋7＝11，又7＋11＝18,11＋18＝29，∴a7＋b7＝29.8.若三角形內(nèi)切圓半徑為r，三邊長為a，b，c，則三角形的面積S＝

(a＋b＋c)r，利用類比思想：若四面體內(nèi)切球半徑為R，四個(gè)面的面積為S1，S2，S3，S4，則四面體的體積V＝__________________.12345678910111213141516設(shè)四面體的內(nèi)切球的球心為O，則球心O到四個(gè)面的距離都是R，所以四面體的體積等于以O(shè)為頂點(diǎn)，分別以四個(gè)面為底面的4個(gè)三棱錐體積的和.12345678910111213141516故原不等式成立.123456789101112131415161234567891011121314151612345678910111213141516∵x>0且y>0，∴1＋x≥2y,1＋y≥2x.兩式相加得2＋x＋y≥2x＋2y，即x＋y≤2.此與已知條件x＋y>2相矛盾，12345678910111213141516√技能提升練1234567891011121314151612.大于1的正整數(shù)m的三次冪可“分裂”成若干個(gè)連續(xù)奇數(shù)的和，如23＝3＋5,33＝7＋9＋11,43＝13＋15＋17＋19，…，若m3分裂后，其中有一個(gè)奇數(shù)是103，則m的值是A.9 B.10C.11 D.1212345678910111213141516√因?yàn)榈讛?shù)為2的分裂成2個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為3的分裂成3個(gè)奇數(shù)，底數(shù)為4的分裂成4個(gè)奇數(shù)，所以m3有m個(gè)奇數(shù)，12345678910111213141516又2n＋1＝103時(shí)，有n＝51，則奇數(shù)103是從3開始的第52個(gè)奇數(shù)，12345678910111213141516所以第52個(gè)奇數(shù)是底數(shù)為10的數(shù)的立方分裂的奇數(shù)的其中一個(gè)，即m＝10.13.在正整數(shù)數(shù)列中，由1開始依次按如下規(guī)則取它的項(xiàng)：第一次取1；第二次取2個(gè)連續(xù)偶數(shù)2,4；第三次取3個(gè)連續(xù)奇數(shù)5,7,9；第四次取4個(gè)連續(xù)偶數(shù)10,12,14