同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第09章 重積分

------------------------------------高等數(shù)學(xué)教案§9重積分------------------------------------內(nèi)蒙古財(cái)經(jīng)大學(xué)統(tǒng)計(jì)與數(shù)學(xué)學(xué)院公共數(shù)學(xué)教研室同濟(jì)第六版《高等數(shù)學(xué)》教案WORD版-第09章重積分第九章重積分教學(xué)目的：理解二重積分、三重積分的概念，了解重積分的性質(zhì)，知道二重積分的中值定理。掌握二重積分的（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）計(jì)算方法。掌握計(jì)算三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算方法。8、會(huì)用重積分求一些幾何量與物理量（平面圖形的面積、體積、重心、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、引力等）。教學(xué)重點(diǎn)：二重積分的計(jì)算（直角坐標(biāo)、極坐標(biāo)）；三重積分的（直角坐標(biāo)、柱面坐標(biāo)、球面坐標(biāo)）計(jì)算。3、二、三重積分的幾何應(yīng)用及物理應(yīng)用。教學(xué)難點(diǎn)：利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分；利用球坐標(biāo)計(jì)算三重積分；物理應(yīng)用中的引力問題?！?.1二重積分的概念與性質(zhì)一、二重積分的概念1曲頂柱體的體積設(shè)有一立體,它的底是xOy面上的閉區(qū)域D,它的側(cè)面是以D的邊界曲線為準(zhǔn)線而母線平行于z軸的柱面,它的頂是曲面z=f(x,y),這里f(x,y)0且在D上連續(xù).這種立體叫做曲頂柱體.現(xiàn)在我們來討論如何計(jì)算曲頂柱體的體積.首先,用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域s1,s2,,sn.分別以這些小閉區(qū)域的邊界曲線為準(zhǔn)線,作母線平行于z軸的柱面,這些柱面把原來的曲頂柱體分為n個(gè)細(xì)曲頂柱體.在每個(gè)si中任取一點(diǎn)(xi,hi),以f(xi,hi)為高而底為si的平頂柱體的體積為f(xi,hi)si(i=1,2,×××,n).這個(gè)平頂柱體體積之和可以認(rèn)為是整個(gè)曲頂柱體體積的近似值.為求得曲頂柱體體積的精確值,將分割加密,只需取極限,即其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值.2.平面薄片的質(zhì)量.設(shè)有一平面薄片占有xOy面上的閉區(qū)域D,它在點(diǎn)(x,y)處的面密度為r(x,y),這里r(x,y)0且在D上連續(xù).現(xiàn)在要計(jì)算該薄片的質(zhì)量M.用一組曲線網(wǎng)把D分成n個(gè)小區(qū)域s1,s2,×××,sn.把各小塊的質(zhì)量近似地看作均勻薄片的質(zhì)量:r(xi,hi)si.各小塊質(zhì)量的和作為平面薄片的質(zhì)量的近似值:將分割加細(xì),取極限,得到平面薄片的質(zhì)量其中l(wèi)是個(gè)小區(qū)域的直徑中的最大值.定義設(shè)f(x,y)是有界閉區(qū)域D上的有界函數(shù).將閉區(qū)域D任意分成n個(gè)小閉區(qū)域s1,s2,×××,sn.其中si表示第i個(gè)小區(qū)域,也表示它的面積.在每個(gè)si上任取一點(diǎn)(xi,hi),作和.如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí),這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,記作,即.f(xy)被積函數(shù),f(xy)d被積表達(dá)式,d面積元素,xy積分變量,D積分區(qū)域,積分和.直角坐標(biāo)系中的面積元素:如果在直角坐標(biāo)系中用平行于坐標(biāo)軸的直線網(wǎng)來劃分D,那么除了包含邊界點(diǎn)的一些小閉區(qū)域外,其余的小閉區(qū)域都是矩形閉區(qū)域.設(shè)矩形閉區(qū)域si的邊長(zhǎng)為xi和yi,則si=xiyi,因此在直角坐標(biāo)系中,有時(shí)也把面積元素ds記作dxdy,而把二重積分記作其中dxdy叫做直角坐標(biāo)系中的面積元素.二重積分的存在性:當(dāng)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù)時(shí),積分和的極限是存在的,也就是說函數(shù)f(x,y)在D上的二重積分必定存在.我們總假定函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),所以f(x,y)在D上的二重積分都是存在的.二重積分的幾何意義:如果f(x,y)0,被積函數(shù)f(x,y)可解釋為曲頂柱體的在點(diǎn)(x,y)處的豎坐標(biāo),所以二重積分的幾何意義就是柱體的體積.如果f(x,y)是負(fù)的,柱體就在xOy面的下方,二重積分的絕對(duì)值仍等于柱體的體積,但二重積分的值是負(fù)的.二.二重積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)c1、c2為常數(shù)則.性質(zhì)2如果閉區(qū)域D被有限條曲線分為有限個(gè)部分閉區(qū)域則在D上的二重積分等于在各部分閉區(qū)域上的二重積分的和例如D分為兩個(gè)閉區(qū)域D1與D2,則.性質(zhì)3(s為D的面積).性質(zhì)4如果在D上,f(x,y)g(x,y),則有不等式.特殊地有.性質(zhì)5設(shè)M、m分別是f(x,y)在閉區(qū)域D上的最大值和最小值,s為D的面積,則有.性質(zhì)6(二重積分的中值定理)設(shè)函數(shù)f(x,y)在閉區(qū)域D上連續(xù),s為D的面積,則在D上至少存在一點(diǎn)(x,h)使得.§9.2二重積分的計(jì)算法一、利用直角坐標(biāo)計(jì)算二重積分X--型區(qū)域:D:j1(x)yj2(x),axb.Y--型區(qū)域:D:y1(x)yy2(x),cyd.混合型區(qū)域:設(shè)f(x,y)0,D={(x,y)|j1(x)yj2(x),axb}.此時(shí)二重積分在幾何上表示以曲面z=f(x,y)為頂,以區(qū)域D為底的曲頂柱體的體積.對(duì)于x0[a,b],曲頂柱體在x=x0的截面面積為以區(qū)間[j1(x0),j2(x0)]為底、以曲線z=f(x0,y)為曲邊的曲邊梯形,所以這截面的面積為.根據(jù)平行截面面積為已知的立體體積的方法,得曲頂柱體體積為.即V=.可記為.類似地,如果區(qū)域D為Y--型區(qū)域:D:y1(x)yy2(x),cyd,則有.例1.計(jì)算,其中D是由直線y=1、x=2及y=x所圍成的閉區(qū)域.解:畫出區(qū)域D.方法一.可把D看成是X--型區(qū)域:1x2,1yx.于是.注積分還可以寫成解法2.也可把D看成是Y--型區(qū)域:1y2,yx2.于是.例2.計(jì)算,其中D是由直線y=1、x=-1及y=x所圍成的閉區(qū)域.解畫出區(qū)域D,可把D看成是X--型區(qū)域:-1x1,xy1.于是.也可D看成是Y--型區(qū)域：-1y1,-1x<y.于是.例3計(jì)算,其中D是由直線y=x-2及拋物線y2=x所圍成的閉區(qū)域.解積分區(qū)域可以表示為D=D1+D2,其中;.于是.積分區(qū)域也可以表示為D:-1y2,y2xy+2.于是.討論積分次序的選擇.例4求兩個(gè)底圓半徑都等于r的直交圓柱面所圍成的立體的體積.解設(shè)這兩個(gè)圓柱面的方程分別為x2+y2=r2及x2+z2=r2.利用立體關(guān)于坐標(biāo)平面的對(duì)稱性,只要算出它在第一卦限部分的體積V1,然后再乘以8就行了.第一卦限部分是以D={(x,y)|0y,0xr}為底,以頂?shù)那斨w.于是.二.利用極坐標(biāo)計(jì)算二重積分有些二重積分,積分區(qū)域D的邊界曲線用極坐標(biāo)方程來表示比較方便,且被積函數(shù)用極坐標(biāo)變量r、q表達(dá)比較簡(jiǎn)單.這時(shí)我們就可以考慮利用極坐標(biāo)來計(jì)算二重積分.按二重積分的定義.下面我們來研究這個(gè)和的極限在極坐標(biāo)系中的形式.以從極點(diǎn)O出發(fā)的一族射線及以極點(diǎn)為中心的一族同心圓構(gòu)成的網(wǎng)將區(qū)域D分為n個(gè)小閉區(qū)域,小閉區(qū)域的面積為:,其中表示相鄰兩圓弧的半徑的平均值.在si內(nèi)取點(diǎn),設(shè)其直角坐標(biāo)為(xi,hi),則有,.于是,即.若積分區(qū)域可表示為j1(q)rj2(q),aqb,則.討論:如何確定積分限?..例5.計(jì)算,其中D是由中心在原點(diǎn)、半徑為a的圓周所圍成的閉區(qū)域.解在極坐標(biāo)系中,閉區(qū)域D可表示為0ra,0q2.于是.注此處積分也常寫成利用計(jì)算廣義積分:設(shè)D1={(x,y)|x2+y2￡R2,x30,y30},D2={(x,y)|x2+y2￡2R2,x30,y30},S={(x,y)|0￡x￡R,0￡y￡R}.顯然D1ìSìD2.由于,從則在這些閉區(qū)域上的二重積分之間有不等式.因?yàn)?又應(yīng)用上面已得的結(jié)果有,,于是上面的不等式可寫成.令R?+￥,上式兩端趨于同一極限,從而.例6求球體x2+y2+z24a2被圓柱面x2+y2=2ax所截得的（含在圓柱面內(nèi)的部分）立體的體積.解由對(duì)稱性,立體體積為第一卦限部分的四倍.,其中D為半圓周及x軸所圍成的閉區(qū)域.在極坐標(biāo)系中D可表示為0r2acosq,.于是.§9.3三重積分一、三重積分的概念定義設(shè)f(x,y,z)是空間有界閉區(qū)域上的有界函數(shù).將任意分成n個(gè)小閉區(qū)域v1,v2,×××,vn其中vi表示第i個(gè)小閉區(qū)域,也表示它的體積.在每個(gè)vi上任取一點(diǎn)(xi,hi,i),作乘積f(xi,hi,i)vi(i=1,2,×××,n)并作和.如果當(dāng)各小閉區(qū)域的直徑中的最大值l趨于零時(shí),這和的極限總存在,則稱此極限為函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上的三重積分,記作.即.三重積分中的有關(guān)術(shù)語(yǔ):——積分號(hào),f(x,y,z)——被積函數(shù),f(x,y,z)dv——被積表達(dá)式,dv體積元素,x,y,z——積分變量,——積分區(qū)域.在直角坐標(biāo)系中,如果用平行于坐標(biāo)面的平面來劃分,則vi=xiyizi,因此也把體積元素記為dv=dxdydz,三重積分記作.當(dāng)函數(shù)f(x,y,z)在閉區(qū)域上連續(xù)時(shí),極限是存在的,因此f(x,y,z)在上的三重積分是存在的,以后也總假定f(x,y,z)在閉區(qū)域上是連續(xù)的.三重積分的性質(zhì):與二重積分類似.比如;;,其中V為區(qū)域的體積.二、三重積分的計(jì)算1利用直角坐標(biāo)計(jì)算三重積分三重積分的計(jì)算:三重積分也可化為三次積分來計(jì)算.設(shè)空間閉區(qū)域可表為z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,則,即.其中D:y1(x)yy2(x),axb.它是閉區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域.提示:設(shè)空間閉區(qū)域可表為z1(x,y)zz2(x,y),y1(x)yy2(x),axb,計(jì)算.基本思想:對(duì)于平面區(qū)域D:y1(x)yy2(x),axb內(nèi)任意一點(diǎn)(x,y),將f(x,y,z)只看作z的函數(shù),在區(qū)間[z1(x,y),z2(x,y)]上對(duì)z積分,得到一個(gè)二元函數(shù)F(x,y),,然后計(jì)算F(x,y)在閉區(qū)域D上的二重積分,這就完成了f(x,y,z)在空間閉區(qū)域上的三重積分.,則.即.其中D:y1(x)yy2(x),axb.它是閉區(qū)域在xOy面上的投影區(qū)域.例1計(jì)算三重積分,其中為三個(gè)坐標(biāo)面及平面x+2y+z=1所圍成的閉區(qū)域.解作圖,區(qū)域可表示為:0z1-x-2y,,0x1.于是.討論:其它類型區(qū)域呢?有時(shí),我們計(jì)算一個(gè)三重積分也可以化為先計(jì)算一個(gè)二重積分、再計(jì)算一個(gè)定積分.設(shè)空間閉區(qū)域={(x,y,z)|(x,y)Dz,c1zc2},其中Dz是豎坐標(biāo)為z的平面截空間閉區(qū)域所得到的一個(gè)平面閉區(qū)域,則有.例2計(jì)算三重積分,其中是由橢球面所圍成的空間閉區(qū)域.解空間區(qū)域可表為:,-czc.于是.練習(xí)1將三重積分化為三次積分其中(1)是由曲面z=1-x2-y2,z=0所圍成的閉區(qū)域.(2)是雙曲拋物面xy=z及平面x+y-1=0,z=0所圍成的閉區(qū)域.(3)其中是由曲面z=x2+2y2及z=2-x2所圍成的閉區(qū)域.2將三重積分化為先進(jìn)行二重積分再進(jìn)行定積分的形式,其中由曲面z=1-x2-y2,z=0所圍成的閉區(qū)域.2利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),并設(shè)點(diǎn)M在xOy面上的投影P的極坐標(biāo)為P(r,q),則這樣的三個(gè)數(shù)、q、z就叫做點(diǎn)M的柱面坐標(biāo),這里規(guī)定r、q、z的變化范圍為:0r<+,0q2,-<z<+.坐標(biāo)面r=r0,q=q0,z=z0的意義:點(diǎn)M的直角坐標(biāo)與柱面坐標(biāo)的關(guān)系:xcosysinzz柱面坐標(biāo)系中的體積元素:dv=rdrdqdz.簡(jiǎn)單來說,dxdy=rdrdq,dxdydz=dxdy×dz=rdrdqdz.柱面坐標(biāo)系中的三重積分:.例3利用柱面坐標(biāo)計(jì)算三重積分,其中是由曲面z=x2+y2與平面z=4所圍成的閉區(qū)域.解閉區(qū)域可表示為:r2z4,0r2,0q2.于是.3利用球面坐標(biāo)計(jì)算三重積分設(shè)M(x,y,z)為空間內(nèi)一點(diǎn),則點(diǎn)M也可用這樣三個(gè)有次序的數(shù)r、j、q來確定,其中r為原點(diǎn)O與點(diǎn)M間的距離,j為與z軸正向所夾的角,q為從正z軸來看自x軸按逆時(shí)針方向轉(zhuǎn)到有向線段的角,這里P為點(diǎn)M在xOy面上的投影,這樣的三個(gè)數(shù)r、j、q叫做點(diǎn)M的球面坐標(biāo),這里r、j、q的變化范圍為0r<+,0j<,0q2.坐標(biāo)面r=r0,j=j0,q=q0的意義:點(diǎn)的直角坐標(biāo)與球面坐標(biāo)的關(guān)系:x=rsinjcosq,y=rsinjsinq,z=rcosj.球面坐標(biāo)系中的體積元素:dv=r2sinjdrdjdq.球面坐標(biāo)系中的三重積分:.例4求半徑為a的球面與半頂角a為的內(nèi)接錐面所圍成的立體的體積.解該立體所占區(qū)域可表示為:0r2acosj,0ja,0q2.于是所求立體的體積為.提示球面的方程為x2y2(za)2a2即x2y2z22az在球面坐標(biāo)下此球面的方程為r22arcos即r2acos§9.4重積分的應(yīng)用元素法的推廣:有許多求總量的問題可以用定積分的元素法來處理.這種元素法也可推廣到二重積分的應(yīng)用中.如果所要計(jì)算的某個(gè)量U對(duì)于閉區(qū)域D具有可加性(就是說,當(dāng)閉區(qū)域D分成許多小閉區(qū)域時(shí),所求量U相應(yīng)地分成許多部分量,且U等于部分量之和),并且在閉區(qū)域D內(nèi)任取一個(gè)直徑很小的閉區(qū)域ds時(shí),相應(yīng)的部分量可近似地表示為f(x,y)ds的形式,其中(x,y)在ds內(nèi),則稱f(x,y)ds為所求量U的元素,記為dU,以它為被積表達(dá)式,在閉區(qū)域D上積分:,這就是所求量的積分表達(dá)式.一、曲面的面積設(shè)曲面S由方程z=f(x,y)給出,D為曲面S在xOy面上的投影區(qū)域,函數(shù)f(x,y)在D上具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)fx(x,y)和fy(x,y).現(xiàn)求曲面的面積A.在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)P(x,y),并在區(qū)域D內(nèi)取一包含點(diǎn)P(x,y)的小閉區(qū)域ds,其面積也記為ds.在曲面S上點(diǎn)M(x,y,f(x,y))處做曲面S的切平面T,再做以小區(qū)域ds的邊界曲線為準(zhǔn)線、母線平行于z軸的柱面.將含于柱面內(nèi)的小塊切平面的面積作為含于柱面內(nèi)的小塊曲面面積的近似值,記為dA.又設(shè)切平面T的法向量與z軸所成的角為g,則,這就是曲面S的面積元素.于是曲面S的面積為,或.設(shè)dA為曲面S上點(diǎn)M處的面積元素dA在xOy面上的投影為小閉區(qū)域dM在xOy面上的投影為點(diǎn)P(xy)因?yàn)榍嫔宵c(diǎn)M處的法向量為n(fxfy1),所以提示dA與xOy面的夾角為(n^k)dAcos(n^k)dn×k|n|cos(n^k)1cos(n^k)|n|1討論:若曲面方程為x=g(y,z)或y=h(z,x),則曲面的面積如何求？,或.其中Dyz是曲面在yOz面上的投影區(qū)域,Dzx是曲面在zOx面上的投影區(qū)域.例1求半徑為R的球的表面積.解上半球面方程為,x2y2R2因?yàn)閦對(duì)x和對(duì)y的偏導(dǎo)數(shù)在D:x2+y2R2上無界,所以上半球面面積不能直接求出.因此先求在區(qū)域D1:x2+y2a2(aR)上的部分球面面積,然后取極限..于是上半球面面積為.整個(gè)球面面積為A=2A1=4R2.提示:,,.解球面的面積A為上半球面面積的兩倍上半球面的方程為而,,所以例2設(shè)有一顆地球同步軌道通訊衛(wèi)星距地面的高度為h36000km運(yùn)行的角速度與地球自轉(zhuǎn)的角速度相同試計(jì)算該通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積的比值(地球半徑R6400km)解取地心為坐標(biāo)原點(diǎn)地心到通訊衛(wèi)星中心的連線為z軸建立坐標(biāo)系通訊衛(wèi)星覆蓋的曲面是上半球面被半頂角為的圓錐面所截得的部分的方程為x2y2R2sin2于是通訊衛(wèi)星的覆蓋面積為其中Dxy{(xy)|x2y2R2sin2}是曲面在xOy面上的投影區(qū)域利用極坐標(biāo)得由于代入上式得由此得這顆通訊衛(wèi)星的覆蓋面積與地球表面積之比為由以上結(jié)果可知衛(wèi)星覆蓋了全球三分之一以上的面積故使用三顆相隔角度的通訊衛(wèi)星就可以覆蓋幾乎地球全部表面二、質(zhì)心設(shè)有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點(diǎn)P(x,y)處的面密度為r(x,y),假定(x,y)在D上連續(xù).現(xiàn)在要求該薄片的質(zhì)心坐標(biāo).在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x,y),及包含點(diǎn)P(x,y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為dMx=y(x,y)ds,dMy=x(x,y)ds.平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為,.設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為,平面薄片的質(zhì)量為M,則有于是,.在閉區(qū)域D上任取包含點(diǎn)P(x,y)小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩元素分別為dMx=y(x,y)ds,dMy=x(x,y)ds.平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩分別為,.設(shè)平面薄片的質(zhì)心坐標(biāo)為,平面薄片的質(zhì)量為M,則有于是,.提示:將P(x,y)點(diǎn)處的面積元素ds看成是包含點(diǎn)P的直徑得小的閉區(qū)域.D上任取一點(diǎn)P(x,y),及包含的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對(duì)x軸和對(duì)y軸的力矩(僅考慮大小)元素分別為討論:如果平面薄片是均勻的,即面密度是常數(shù),則平面薄片的質(zhì)心(稱為形心)如何求？求平面圖形的形心公式為,.例3求位于兩圓=2sin和=4sin之間的均勻薄片的質(zhì)心.解因?yàn)殚]區(qū)域D對(duì)稱于y軸,所以質(zhì)心必位于y軸上,于是.因?yàn)?,所以.所求形心是.類似地占有空間閉區(qū)域、在點(diǎn)(xyz)處的密度為(xyz)(假寬(xyz)在上連續(xù))的物體的質(zhì)心坐標(biāo)是其中例4求均勻半球體的質(zhì)心.解取半球體的對(duì)稱軸為z軸,原點(diǎn)取在球心上,又設(shè)球半徑為a,則半球體所占空間閉區(qū)可表示為{(xyz)|x2+y2+z2a2,z0}顯然,質(zhì)心在z軸上,故..故質(zhì)心為.提示0ra,,0q2.,三、轉(zhuǎn)動(dòng)慣量設(shè)有一平面薄片,占有xOy面上的閉區(qū)域D,在點(diǎn)P(x,y)處的面密度為(x,y),假定r(x,y)在D上連續(xù).現(xiàn)在要求該薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量.在閉區(qū)域D上任取一點(diǎn)P(x,y),及包含點(diǎn)P(x,y)的一直徑很小的閉區(qū)域ds(其面積也記為ds),則平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量的元素分別為dIx=y2(x,y)ds,dIy=x2(x,y)ds.整片平面薄片對(duì)于x軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量和y軸的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量分別為,.例5求半徑為a的均勻半圓薄片(面密度為常量