2021屆江蘇省無錫江陰市高三暑期作業(yè)開學(xué)檢測數(shù)學(xué)試題

江陰市2020年暑假作業(yè)開學(xué)檢測高三數(shù)學(xué)2020.8注意事項及說明:本卷考試時間為120分鐘，全卷滿分為150分．一、單項選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則(▲)A． B． C． D．2.命題“”的否定是 (▲)A．B．C．D．3.設(shè)，則 (▲)A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列前9項的和為27，，則 (▲)A.100 B.98 C.99 D.975．若非零向量、滿足且，則與的夾角為 (▲)A． B． C． D． 6．函數(shù)（）的圖象大致為 (▲)A． B．C． D．7.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若，，，則 (▲)A． B．C． D．8．2020年新型冠狀病毒肺炎蔓延全國，作為主要戰(zhàn)場的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山”模式的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國速度.隨著疫情發(fā)展，某地也需要參照“小湯山”模式建設(shè)臨時醫(yī)院，其占地是一個正方形和四個以正方形的邊為底邊、腰長為400m的等腰三角形組成的圖形（如圖所示），為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為(▲)A． B． C． D．二、多項選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.給出下列命題，其中正確命題為 (▲)A．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4；B．回歸方程為時，變量x與y具有負的線性相關(guān)關(guān)系；C．隨機變量X服從正態(tài)分布，，則；D．相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，值越大，說明模型的擬合效果越好10.下面的命題正確的有(▲)A.方向相反的兩個非零向量一定共線B單位向量都相等C.若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向,則a>b;D.“若A、B、C、D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四邊形ABCD是平行四邊形”．11.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是(▲)A． B． C． D．12．已知的最小正周期為，則下列說法正確的有A.B．函數(shù)在上為增函數(shù)C.直線要是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，其中第16題第1空2分，第2空3分，共20分.13.的展開式中，的系數(shù)是▲．14.設(shè)曲線在點(0，1)處的切線與曲線上的點處的切線垂直，則點的坐標(biāo)為▲．15．“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為▲．16．已知長方體的頂點都在球的表面上，且，則球的表面積為▲．若與所成的角為，則與所成角的余弦值為▲．四、解答題：本題共6小題，共70分,解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17.（本小題滿分10分）在平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)若，求．▲▲▲18.（本小題滿分10分）已知等差數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；▲▲▲19．（本小題滿分10分）第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）收看人數(shù)143016282012（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計體育達人40非體育達人30合計并判斷能否有的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關(guān)；（2）在全?！绑w育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率。附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828.▲▲▲20.（本小題滿分12分）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．▲▲▲21.（本小題滿分14分）為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計個數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本直徑的平均值μ＝65，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.2，以頻率值作為概率的估計值．(1)為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進行評判(P表示相應(yīng)事件的概率)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9974.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級．(2)將直徑小于等于μ－2σ或直徑大于μ＋2σ的零件認為是次品．①從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨機抽取2件零件，計算其中次品件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)；②從樣本中隨機抽取2件零件，計算其中次品件數(shù)Z的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(Z).▲▲▲22.（本小題滿分14分）已知函數(shù)且的導(dǎo)函數(shù)為.（1）求函數(shù)的極大值；（2）若函數(shù)有兩個零點，求a的取值范圍。▲▲▲江陰市2020年暑假作業(yè)開學(xué)檢測高三數(shù)學(xué)答案一．選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.1.已知集合，則（）A． B． C． D．【答案】A2.命題“”的否定是（）A．B．C．D．【答案】C3.設(shè)，則（）A． B． C． D．【答案】C4．（原）已知等差數(shù)列前9項的和為27，，則（）A.100 B.98 C.99 D.97【答案】B5．若非零向量、滿足且，則與的夾角為（）A． B． C． D．【答案】C6．函數(shù)（）的圖象大致為（）A． B．C． D．【答案】B7.已知函數(shù)（e為自然對數(shù)的底數(shù)），若，，，則（）A． B．C． D．【答案】D8．2020年新型冠狀病毒肺炎蔓延全國，作為主要戰(zhàn)場的武漢，僅用了十余天就建成了“小湯山”模式的火神山醫(yī)院和雷神山醫(yī)院，再次體現(xiàn)了中國速度.隨著疫情發(fā)展，某地也需要參照“小湯山”模式建設(shè)臨時醫(yī)院，其占地是一個正方形和四個以正方形的邊為底邊、腰長為400m的等腰三角形組成的圖形（如圖所示），為使占地面積最大，則等腰三角形的底角為（）A． B． C． D．【答案】D二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求.全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得3分.9.給出下列命題，其中正確命題為（）A．若樣本數(shù)據(jù)，，…，的方差為2，則數(shù)據(jù)，，…，的方差為4；B．回歸方程為時，變量x與y具有負的線性相關(guān)關(guān)系；C．隨機變量X服從正態(tài)分布，，則；D．相關(guān)指數(shù)來刻畫回歸的效果，值越大，說明模型的擬合效果越好【答案】BD10.（原）下面的命題正確的有()A.方向相反的兩個非零向量一定共線B單位向量都相等C.若a,b滿足|a|>|b|且a與b同向,則a>b;D.“若A、B、C、D是不共線的四點，則eq\o(AB,\s\up6(→))＝eq\o(DC,\s\up6(→))”?“四邊形ABCD是平行四邊形”．【答案】AD11.下列函數(shù)中，既是奇函數(shù)又在區(qū)間上單調(diào)遞增的是（）A． B． C． D．【答案】AB12．已知的最小正周期為，則下列說法正確的有A.B．函數(shù)在上為增函數(shù)C.直線要是函數(shù)圖象的一條對稱軸D.點是函數(shù)圖象的一個對稱中心.【答案】BD三、填空題：本題共4小題，每小題5分，其中第16題第1空2分，第2空3分，共20分.13.的展開式中，的系數(shù)是________.【答案】20714.（原）設(shè)曲線在點(0，1)處的切線與曲線上的點處的切線垂直，則點的坐標(biāo)為________．【答案】(1，1)15．“勾3股4弦5”是勾股定理的一個特例.根據(jù)記載，西周時期的數(shù)學(xué)家商高曾經(jīng)和周公討論過“勾3股4弦5”的問題，畢達哥拉斯發(fā)現(xiàn)勾股定理早了500多年，如圖，在矩形中，滿足“勾3股4弦5”，且，為上一點，.若，則的值為________.【答案】16．已知長方體的頂點都在球的表面上，且，則球的表面積為______.若與所成的角為，則與所成角的余弦值為______.【答案】或四、解答題：本題共6小題，共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.（本題10分）在平面四邊形中，，，，．(1)求；(2)若，求．【解析】(1)在中，由正弦定理得．由題設(shè)知，，所以．--------------------3分由題設(shè)知，，所以．--------------5分(2)由題設(shè)及(1)知，．--------------------------7分在中，由余弦定理得．-------------------------------------9分所以．-------------------------------------10分18.原（本題10分）已知等差數(shù)列滿足(1)求數(shù)列的通項公式；(2)設(shè)數(shù)列滿足，求數(shù)列的前項和；【解析】：（1）依題得，解得------------2分--------------------4分（2），①②

兩式相減得：----------------6分==

=-2n?3n，------------------------------------9分

∴Sn=19．（本題10分）第23屆冬季奧運會于2018年2月9日至2月25日在韓國平昌舉行，期間正值我市放寒假，寒假結(jié)束后，某校工會對全校教職工在冬季奧運會期間每天收看比賽轉(zhuǎn)播的時間作了一次調(diào)查，得到如下頻數(shù)分布表：收看時間（單位：小時）收看人數(shù)143016282012（1）若將每天收看比賽轉(zhuǎn)播時間不低于3小時的教職工定義為“體育達人”，否則定義為“非體育達人”，請根據(jù)頻數(shù)分布表補全列聯(lián)表：男女合計體育達人40非體育達人30合計并判斷能否有的把握認為該校教職工是否為“體育達人”與“性別”有關(guān)；（2）在全?！绑w育達人”中按性別分層抽樣抽取6名，再從這6名“體育達人”中選取2名作冬奧會知識講座.求抽取的這兩人恰好是一男一女的概率。附表及公式：0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828.【解析】（1）由題意得下表：男女合計體育達人402060非體育達人303060合計7050120-------------------------------------2分的觀測值為．-----------------4分所以有的把握認為該校教職工是“體育達人”與“性別”有關(guān)．-------------5分（2）由題意知抽取的6名“體育達人”中有4名男職工，2名女職工，-------------7分記“抽取的這兩人恰好是一男一女”為時間A--------------------------------------9分答：抽取的這兩人恰好是一男一女的概率為．-----------------10分20.（本題12分）如圖，在直角梯形中，，，，，是的中點，是與的交點．將沿折起到的位置，如圖．（1）證明：平面；（2）若平面平面，求平面與平面夾角的余弦值．【解析】（1）在圖的直角梯形中，中，因為，，是的中點，所以,連接，則四邊形ABCE是菱形，又因為，所以四邊形ABCE是正方形。----------------------2分所以．即在圖2中，，．-------------------3分又因為且，，是的中點所以所以四邊形BCDE是平行四邊形。從而---------------------------------------------5分所以，．又因為所以平面．--------------------------6分（2）由已知，平面平面，又由（Ⅰ）知，，．所以為二面角的平面角，所以．------------7分如圖，以為原點，建立空間直角坐標(biāo)系，因為，所以，，，．得:，．設(shè)平面的法向量，平面的法向量，平面與平面夾角為，則，得，取，-----------------9分，得，取，------------------11分從而，即平面與平面夾角的余弦值為．------------------------12分21.原（本題14分）為評估設(shè)備M生產(chǎn)某種零件的性能，從設(shè)備M生產(chǎn)零件的流水線上隨機抽取100個零件作為樣本，測量其直徑后，整理得到下表：直徑/mm5859616263646566676869707173合計個數(shù)11356193318442121100經(jīng)計算，樣本直徑的平均值μ＝65，標(biāo)準(zhǔn)差σ＝2.2，以頻率值作為概率的估計值．(1)為評判一臺設(shè)備的性能，從該設(shè)備加工的零件中任意抽取一件，記其直徑為X，并根據(jù)以下不等式進行評判(P表示相應(yīng)事件的概率)：①P(μ－σ<X≤μ＋σ)≥0.6826；②P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)≥0.9544；③P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)≥0.9974.評判規(guī)則為：若同時滿足上述三個不等式，則設(shè)備等級為甲；若僅滿足其中兩個，則等級為乙；若僅滿足其中一個，則等級為丙；若全部都不滿足，則等級為丁，試判斷設(shè)備M的性能等級．(2)將直徑小于等于μ－2σ或直徑大于μ＋2σ的零件認為是次品．①從設(shè)備M的生產(chǎn)流水線上隨機抽取2件零件，計算其中次品件數(shù)Y的數(shù)學(xué)期望E(Y)；②從樣本中隨機抽取2件零件，計算其中次品件數(shù)Z的概率分布列和數(shù)學(xué)期望E(Z).【解析】(1)P(μ－σ<X≤μ＋σ)＝P(62.8<X≤67.2)＝0.8>0.6826，------------------1分P(μ－2σ<X≤μ＋2σ)＝P(60.6<X≤69.4)＝0.94<0.9544，----------------------2分P(μ－3σ<X≤μ＋3σ)＝P(58.4<X≤71.6)＝0.98<0.9974，--------------------3分因為設(shè)備M的數(shù)據(jù)僅滿足一個不等式，故其性能等級為丙．-----------4分(2)易知樣本中次品共6件，可估計設(shè)備M生產(chǎn)零件的次品率為0.06.①由題意可知Y～B(2，eq\f(3,50))，-----------------------------6分于是E(Y)＝2×eq\f(3,50)＝eq\f(3,25).-------------------------------8分②由題意可知Z的取值有0,1,2-------------------------------9分-------------------------------10分-------------------------------11分Z的概率分布列為：Z012Peq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(94)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100)))eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(6))Ceq\o\al(\s\up1(1),\s\do1(94)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100)))eq\f(Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(6)),Ceq\o\al(\s\up1(2),\s\do1(100)))