2021版高考數(shù)學(xué)導(dǎo)與練一輪復(fù)習(xí)（浙江版）知識梳理第九章第六節(jié)　數(shù)學(xué)歸納法

第六節(jié)數(shù)學(xué)歸納法復(fù)習(xí)目標(biāo)學(xué)法指導(dǎo)掌握數(shù)學(xué)歸納法的原理及其步驟,能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡單的數(shù)學(xué)命題.理解數(shù)學(xué)歸納法證題思想,掌握其證題的兩個步驟,特別是第二步,由n=k成立推證n=k+1也成立時,一定要“利用假設(shè)”.數(shù)學(xué)歸納法一般地,證明一個與正整數(shù)n有關(guān)的命題,可按下列步驟進行:(1)歸納奠基:證明當(dāng)n取第一個值n0(n0∈N*)時命題成立;(2)歸納遞推:假設(shè)n=k(k≥n0,k∈N*)時命題成立,證明當(dāng)n=k+1時命題也成立.只要完成這兩個步驟,就可以斷定命題對從n0開始的所有正整數(shù)n都成立.上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法.概念理解數(shù)學(xué)歸納法證明中的兩個步驟體現(xiàn)了遞推思想,第一步是遞推的基礎(chǔ),第二步是遞推的依據(jù),兩個步驟缺一不可,否則就會導(dǎo)致錯誤.(1)第一步中,驗算n=n0中的n0不一定為1,而應(yīng)該是使命題成立的第一個正整數(shù).(2)第二步中,證明n=k+1時命題成立的過程中,一定要用到歸納假設(shè),掌握“一湊假設(shè),二湊結(jié)論”的技巧.1.若f(n)=1+QUOTE12+QUOTE13+…+QUOTE16n-1(n∈N*),則f(1)為(C)(A)1 (B)QUOTE15(C)1+QUOTE12+QUOTE13+QUOTE14+QUOTE15 (D)非以上答案2.數(shù)列{an}滿足an=QUOTEn,n=2k-1,ak,n=2k,其中k∈N*,設(shè)f(n)=a1+a2+…+QUOTEa2n-1(A)22019 (B)22020 (C)42019 (D)42020解析:由題意可知該數(shù)列依次為1,1,3,1,5,3,7,1,9,5,…,可以計算出f(1)=2,f(2)-f(1)=4=41,f(3)-f(2)=16=42,f(4)-f(3)=64=43,…,推理可以得出f(2020)-f(2019)=42019.故選C.3.用數(shù)學(xué)歸納法證明關(guān)于n的恒等式,當(dāng)n=k時,表達(dá)式為1×4+2×7+…+k(3k+1)=k(k+1)2,則當(dāng)n=k+1時,表達(dá)式為.

答案:1×4+2×7+…+k(3k+1)+(k+1)(3k+4)=(k+1)(k+2)24.設(shè)數(shù)列{an}的前n項和為Sn,且對任意的正整數(shù)n都有(Sn-1)2=anSn,則S1=;進一步通過計算S2,S3,猜想Sn=.

解析:由(S1-1)2=QUOTES12得S1=QUOTE12;由(S2-1)2=(S2-S1)S2得S2=QUOTE23;由(S3-1)2=(S3-S2)S3得S3=QUOTE34.猜想Sn=QUOTEnn+1.答案:QUOTE12QUOTEnn+15.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式“QUOTE1n+1+QUOTE1n+2+…+QUOTE12n>QUOTE1324(n>2)”的過程中,由n=k到n=k+1時,不等式的左邊減少項為,增加的項為.

解析:當(dāng)n=k時,左邊的代數(shù)式為QUOTE1k+1+QUOTE1k+2+…+QUOTE1k+k,共有k項,當(dāng)n=k+1時,左邊的代數(shù)式為QUOTE1(k+1)+1+QUOTE1(k+1)+2+…+QUOTE1(k+1)+(k+1),共有(k+1)項,兩式相減的結(jié)果是QUOTE1(k+1)+k+QUOTE1(k+1)+(k+1)所以減少的項為QUOTE1k+1,增加項為QUOTE12k+1+QUOTE12(k+1).答案:QUOTE1k+1QUOTE12k+1+QUOTE12(k+1)考點一用數(shù)學(xué)歸納法證明等式[例1]用數(shù)學(xué)歸納法證明:QUOTE12×4+QUOTE14×6+QUOTE16×8+…+QUOTE12n(2n+2)=QUOTEn4(n+1)(n∈N*證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=QUOTE12×1×(2×1+2右邊=QUOTE14×(1+1)=QUOTE18.左邊=右邊,所以等式成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N*)時等式成立,即有QUOTE12×4+QUOTE14×6+QUOTE16×8+…+QUOTE12k(2k+2)=QUOTEk4(k+1)則當(dāng)n=k+1時,QUOTE12×4+QUOTE14×6+QUOTE16×8+…+QUOTE12k(2k+2)+QUOTE12(k+1)[=QUOTEk4(k+1)+QUOTE14(k+1=QUOTEk(k+2)+1=QUOTE(k+1)24=QUOTEk+14(k+2=QUOTEk+14(k+1+1)所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立,由(1)(2)可知,對于一切n∈N*,等式都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明恒等式應(yīng)注意(1)明確初始值n0的取值并驗證n=n0時等式成立.(2)由n=k證明n=k+1時,弄清左邊增加的項,且明確變形目標(biāo).(3)掌握恒等變形常用的方法:①因式分解;②添拆項;③配方法.用數(shù)學(xué)歸納法證明:n∈N*時,QUOTE11×3+QUOTE13×5+…+QUOTE1(2n-1)(2n+1)=QUOTEn2n證明:①當(dāng)n=1時,左邊=QUOTE11×3=QUOTE13,右邊=QUOTE12×1+1=QUOTE13,左邊=右邊,所以等式成立.②假設(shè)n=k(k≥1)時等式成立,即有QUOTE11×3+QUOTE13×5+…+QUOTE1(2k-1)(2k+1)=QUOTEk2kQUOTE11×3+QUOTE13×5+…+QUOTE1(2k-1)(2k+1)+QUOTE1(2k+1)(2k+3)=QUOTEk2k+1=QUOTEk(2k+3)=QUOTE2k2+3k+1=QUOTEk+12k+3=QUOTEk+12(k+1)所以當(dāng)n=k+1時,等式也成立.由①,②可知,對一切n∈N*等式都成立.考點二用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式[例2](2019·臺州模擬)在正項數(shù)列{an}中,已知a1=1,且滿足an+1=2an-QUOTE1an+1(n∈N*).(1)求a2,a3;(2)證明:an≥(QUOTE32)n-1.(1)解:因為在正項數(shù)列{an}中,a1=1,且滿足an+1=2an-QUOTE1an+1(n∈N*),所以a2=2×1-QUOTE11+1=QUOTE32,a3=2×QUOTE32-QUOTE132+1=QUOTE135.(2)證明:①當(dāng)n=1時,由已知a1=1≥(QUOTE32)1-1=1,不等式成立;②假設(shè)當(dāng)n=k時,不等式成立,即ak≥(QUOTE32)k-1,因為f(x)=2x-QUOTE1x+1在(0,+∞)上是增函數(shù),所以ak+1=2ak-QUOTE1ak+1≥2(QUOTE32)k-1-QUOTE1(32)

k-1+1=(QUOTE32)k+QUOTE13(QUOTE32)k-QUOTE1(32)

k-1+1=(QUOTE32)k+QUOTE13(32)

2k=(QUOTE32)k+QUOTE19[(32)

k+3][2因為k≥1,所以2×(QUOTE32)k-3≥2×QUOTE32-3=0,所以ak+1≥(QUOTE32)k,即當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.根據(jù)①②知不等式對任何n∈N*都成立.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式關(guān)鍵是由n=k時成立,推證n=k+1時也成立,在歸納假設(shè)后,可采用分析法、綜合法、求差(求商)比較法、放縮法等證明.用數(shù)學(xué)歸納法證明不等式QUOTE1×2+QUOTE2×3+…+QUOTEn(n+1)<QUOTE12(n+1)2,n∈N*.證明:(1)當(dāng)n=1時,左邊=QUOTE2,右邊=2,不等式成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時不等式成立,即QUOTE1×2+QUOTE2×3+…+QUOTEk(k+1)<QUOTE12(k+1)2,則QUOTE1×2+QUOTE2×3+…+QUOTEk(k+1)+QUOTE(k+1)(k+2)<QUOTE12(k+1)2+QUOTE(k+1)(k+2)<QUOTE12(k+1)2+QUOTEk+1+k+22=QUOTE12[(k+1)2+2(k+1)+1]=QUOTE12(k+2)2,所以當(dāng)n=k+1時,不等式也成立.綜合(1)(2),不等式對所有正整數(shù)都成立.考點三歸納——猜想——證明[例3](2019·金華十校4月模擬)已知數(shù)列{an},a1=QUOTE12,an+1=QUOTE12an2+QUOTE14an(n∈N*),設(shè)f(n)=[QUOTE1an],其中[x]表示不大于x的最大整數(shù).設(shè)bn=(-1)f(n)an,數(shù)列{bn}的前n項和為Tn.求證:(1)QUOTEan+1an≤QUOTE12(n∈N*);(2)當(dāng)n>3時,QUOTE34<Tn<QUOTE2732.證明:(1)猜想:0<an≤QUOTE12.用數(shù)學(xué)歸納法證明如下:①當(dāng)n=1時,a1=QUOTE12,結(jié)論成立;②假設(shè)n=k時結(jié)論成立,即0<ak≤QUOTE12,則ak+1=QUOTE12ak2+QUOTE14ak=QUOTE12(ak+QUOTE14)2-QUOTE132,所以0<ak+1≤QUOTE14,則n=k+1時,結(jié)論成立.由①②可得,對任意n∈N*,0<an≤QUOTE12成立.所以QUOTEan+1an=QUOTE12an+QUOTE14≤QUOTE12.證明:(2)易求得a2=QUOTE14,a3=QUOTE332,a4=QUOTE572048,于是f(1)=2,f(2)=4,f(3)=10,f(4)=35,所以b1=a1,b2=a2,b3=a3,b4=-a4,因為bn=(-1)f(n)an,所以-an≤bn≤an.所以Tn=a1+a2+a3-a4+b5+…+bn≥a1+a2+a3-a4-a5-…-an.因為QUOTEan+1an≤QUOTE12,有an≤QUOTE12an-1,所以a3-a4-a5-…-an≥a3-QUOTE12a3-(QUOTE12)2·a3-…-(QUOTE12)n-3·a3=a3·(QUOTE12)n-3>0,所以Tn>a1+a2=QUOTE34.又Tn=a1+a2+a3-a4+b5+…+bn≤a1+a2+a3-a4+a5+…+an,而-a4+a5+…+an≤-a4+QUOTE12a4+(QUOTE12)2·a4+…+(QUOTE12)n-4·a4=-a4·(QUOTE12)n-4<0,所以Tn<a1+a2+a3=QUOTE2732.綜上,當(dāng)n>3時,QUOTE34<Tn<QUOTE2732.探索與正整數(shù)n有關(guān)的未知問題、存在性問題,一般先經(jīng)過計算、觀察、歸納,然后猜想出結(jié)論,再用數(shù)學(xué)歸納法證明,即“歸納—猜想—證明”.由于“猜想”是“證明”的前提和“對象”,務(wù)必保證猜想的正確性,同時注意數(shù)學(xué)歸納法步驟的書寫.數(shù)列{an}滿足Sn=2n-an(n∈N*).(1)計算a1,a2,a3,a4,并由此猜想通項公式an;(2)用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)中的猜想.(1)解:當(dāng)n=1時,a1=S1=2-a1,所以a1=1.當(dāng)n=2時,a1+a2=S2=2×2-a2,所以a2=QUOTE32.當(dāng)n=3時,a1+a2+a3=S3=2×3-a3,所以a3=QUOTE74.當(dāng)n=4時,a1+a2+a3+a4=S4=2×4-a4,所以a4=QUOTE158.由此猜想an=QUOTE2n-12n-1(n∈(2)證明:①當(dāng)n=1時,a1=1,結(jié)論成立.②假設(shè)n=k(k∈N*)時,結(jié)論成立,即ak=QUOTE2k-12k-那么n=k+1時,ak+1=Sk+1-Sk=2(k+1)-ak+1-2k+ak=2+ak-ak+1.所以2ak+1=2+ak.所以ak+1=QUOTE2+ak2=QUOTE2+2k-12k-12=QUOTE2k+1即n=k+1時,結(jié)論成立.由①②知猜想an=QUOTE2n-12n-1(n∈考點四用數(shù)學(xué)歸納法證明整除性與幾何問題[例4]用數(shù)學(xué)歸納法證明:凸n邊形的對角線的條數(shù)為f(n)=QUOTE12n(n-3)(n∈N*,n≥3).證明:(1)因為三角形沒有對角線,所以n=3時,f(3)=0,命題成立.(2)假設(shè)n=k(k∈N*,k≥3)時,命題成立,即f(k)=k(k-3),則當(dāng)n=k+1時,凸k邊形由原來的k個頂點變?yōu)閗+1個頂點,對角線條數(shù)增加k-1條.所以f(k+1)=f(k)+k-1=QUOTE12k(k-3)+k-1=QUOTE12(k+1)[(k+1)-3].所以當(dāng)n=k+1時命題成立,由(1)(2)可知對任意n∈N*且n≥3,命題恒成立.(1)關(guān)于幾何問題的變化情況例4中由n=k變換到n=k+1時,對角線條數(shù)不會求,或根本看不清其變化情況導(dǎo)致錯解.(2)證明整除性與幾何問題的關(guān)鍵證明整除性問題的關(guān)鍵是“湊項”,即采用增項、減項、拆項和因式分解等手段,將n=k+1時的式子湊出n=k時的情形,從而利用歸納假設(shè)使問題獲證.[例5]用數(shù)學(xué)歸納法證明:(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.證明:(1)當(dāng)n=1時,(3×1+1)×7-1=27能被9整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時命題成立,即(3k+1)·7k-1能被9整除,則當(dāng)n=k+1時,[3(k+1)+1]·7k+1-1=(3k+1)·7k+1-1+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+6(3k+1)·7k+3·7k+1=(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k.由于(3k+1)·7k-1和9·(2k+3)·7k都能被9整除,所以(3k+1)·7k-1+9·(2k+3)·7k能被9整除,即當(dāng)n=k+1時,命題也成立,故(3n+1)·7n-1(n∈N*)能被9整除.求證:當(dāng)n∈N*時,f(n)=5n+2×3n-1+1能被8整除.證明:(1)當(dāng)n=1時,有f(1)=51+2×31-1+1=8,能被8整除,命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N*)時命題成立,即f(k)=5k+2×3k-1+1能被8整除,那么當(dāng)n=k+1時,有f(k+1)=5k+1+2×3(k+1)-1+1=5×5k+6×3k-1+1=(5k+2×3k-1+1)+4(5k+3k-1)=f(k)+4(5k+3k-1).這里,5k和3k-1均為奇數(shù),它們的和(5k+3k-1)必為偶數(shù),從而4(5k+3k-1)能被8整除.f(k)能被8整除,所以f(k+1)能被8整除.也就是說,當(dāng)n=k+1時命題也成立.根據(jù)(1)和(2),可知命題對任意n∈N*都成立.1.若不等式QUOTE1n+1+QUOTE1n+2QUOTE1n+2+QUOTE1n+3+…+QUOTE13n+1>QUOTEa24對一切正整數(shù)n都成立,求正整數(shù)a的最大值,并證明你的結(jié)論.解:取n=1,則QUOTE11+1+QUOTE11+2+QUOTE13·1+1=QUOTE2624.令QUOTE2624>QUOTEa24,得a<26,而a∈N+,所以取a=25,下面用數(shù)學(xué)歸納法證明QUOTE1n+1+QUOTE1n+2+…+QUOTE13n+1>QUOTE2524,(1)n=1時,已證結(jié)論正確.(2)假設(shè)n=k(k∈N+)時,QUOTE1k+1+QUOTE1k+2+…+QUOTE13k+1>QUOTE2524,則當(dāng)n=k+1時,有QUOTE1(k+1)+1+QUOTE1(k+1)+2+…+QUOTE13k+1+QUOTE13k+2+QUOTE13k+3+QUOTE13(k+1)+1=(QUOTE1k+1+QUOTE1k+2+…+QUOTE13k+1)+(QUOTE13k+2+QUOTE13k+3+QUOTE13k+4-QUOTE1k+1)>QUOTE2524QUOTE2524+[QUOTE13k+2+QUOTE13k+4-QUOTE23(k+1)],因為QUOTE13k+2+QUOTE13k+4=QUOTE6(k+1)9k2+18k+8>QUOTE23(所以QUOTE13k+2+QUOTE13k+4-QUOTE23(k+1)>0,所以QUOTE1(k+1)+1+QUOTE1(k+1)+2+…+QUOTE13(k+1)+1>QUOTE2524即n=k+1時,結(jié)論也成立,由(1)(2)可知,對一切n∈N+,都有QUOTE1n+1+QUOTE1n+2+…+QUOTE13n+1>QUOTE2524,故正整數(shù)a的最大值為25.2.平面內(nèi)有n個圓,其中每兩個圓都交于兩點,且無三個圓交于一點,求證:這n個圓將平面分成n2-n+2個部分.證明:①n=1時,1個圓將平面分成2部分,顯然命題成立.②假設(shè)n=k時,k個圓將平面分成k2-k+2個部分,當(dāng)n=k+1時,第k+1個圓Ck+1交前面k個圓于2k個點,這2k個點將圓Ck+1分成2k段,于是增加了2k個區(qū)域,所以這k+1個圓將平面分成k2-k+2+2k個部分,即(k+1)2-(k+1)+2個部分.故n=k+1時,命題成立.由①,②可知,對n∈N*命題成立.3.已知數(shù)列{an}中,a1=2,an=2-QUOTE1an-1(n≥2,n∈N*).(1)求a2,a3,a4;(2)試猜想{an}的通項公式,并用數(shù)學(xué)歸納法證明你的猜想.解:(1)由a1=2得a2=2-QUOTE12=QUOTE32,a3=2-QUOTE23=QUOTE43,a4=2-QUOTE34=QUOTE54.解:(2)猜想an=QUOTEn+1n,證明:①當(dāng)n=1時,a1=2,QUOTEn+1n=2,即n=1時猜想成立.②假設(shè)n=k時(k∈N*),ak=QUOTEk+1k;則當(dāng)n=k+1時,ak+1=2-QUOTE1ak=2-QUOTEkk+1=QUOTEk+2k+1=QUOTE(k+1)+1k+1;即n=k+1時猜想也成立.因此,由①②知猜想成立.4.已知函數(shù)f(x)=x3,g(x)=x+QUOTEx.(1)求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)的零點個數(shù),并說明理由;(2)設(shè)數(shù)列{an}(n∈N*)滿足a1=a(a>0),f(an+1)=g(an),證明:存在常數(shù)M,使得對于任意的n∈N*,都有an≤M.(1)解:由h(x)=x3-x-QUOTEx知,x∈[0,+∞),而h(0)=0,且h(1)=-1<0,h(2)=6-QUOTE2>0,則x=0為h(x)的一個零點,且h(x)在(1,2)內(nèi)有零點,因此h(x)至少有兩個零點.h′(x)=3x2-1-QUOTE12x.記(x)=3x2-1-QUOTE12x,則′(x)=6x+QUOTE14x-32,當(dāng)x∈(0,+∞)時,′(x)>0,因此(x)在(0,