人教A版高中數(shù)學(xué)二同步學(xué)習(xí)講義：第二章 點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系2.3.1 含答案

學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精學(xué)必求其心得，業(yè)必貴于專精2。3.1直線與平面垂直的判定學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面垂直的定義.2.掌握直線與平面垂直的判定定理的內(nèi)容及其應(yīng)用.3.應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理解決問題．知識點(diǎn)一直線與平面垂直的定義思考在陽光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時(shí)間的變化，影子的位置在移動(dòng),在各個(gè)時(shí)刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？答案不變，90°.梳理定義如果直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，我們就說直線l與平面α互相垂直記法l⊥α有關(guān)概念直線l叫做平面α的垂線，平面α叫做直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做垂足圖示畫法畫直線與平面垂直時(shí),通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的一邊垂直知識點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上（BD，DC與桌面接觸）．如圖，觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系．思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定．思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？答案當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直．梳理文字語言一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直,則該直線與此平面垂直符號語言l⊥a，l⊥b，a?α,b?α,a∩b＝P?l⊥α圖形語言知識點(diǎn)三直線與平面所成的角有關(guān)概念對應(yīng)圖形斜線與平面α相交,但不和平面α垂直，圖中直線PA斜足斜線和平面的交點(diǎn),圖中點(diǎn)A射影過斜線上斜足以外的一點(diǎn)向平面引垂線，過垂足和斜足的直線叫做斜線在這個(gè)平面上的射影，圖中斜線PA在平面α上的射影為直線AO直線與平面所成的角定義：平面的一條斜線和它在平面上的射影所成的銳角,圖中∠PAO規(guī)定：一條直線垂直于平面，它們所成的角是90°;一條直線和平面平行,或在平面內(nèi)，它們所成的角是0°取值范圍設(shè)直線與平面所成的角為θ，0°≤θ≤90°類型一直線與平面垂直的定義例1如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，求證:BC⊥平面PAC。證明∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥BC。又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC。而PA∩AC＝A,∴BC⊥平面PAC。引申探究若本例中其他條件不變，作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E,求證：AE⊥平面PBC.證明由例1知BC⊥平面PAC，又∵AE?平面PAC,∴BC⊥AE.∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，∴AE⊥平面PBC。反思與感悟(1）使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來解決．(2）證明線面垂直的方法①線面垂直的定義．②線面垂直的判定定理．③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面．跟蹤訓(xùn)練1如圖,已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn),過點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，作AF⊥PB于F,求證:PB⊥平面AEF。證明由引申探究知AE⊥平面PBC。∵PB?平面PBC，∴AE⊥PB,又AF⊥PB，且AE∩AF＝A,∴PB⊥平面AEF.類型二直線與平面所成的角例2如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，（1）求A1B與平面AA1D1D所成的角；(2）求A1B與平面BB1D1D所成的角．解(1）∵AB⊥平面AA1D1D，∴∠AA1B就是A1B與平面AA1D1D所成的角,在Rt△AA1B中，∠BAA1＝90°,AB＝AA1，∴∠AA1B＝45°,∴A1B與平面AA1D1D所成的角是45°.(2）連接A1C1交B1D1于點(diǎn)O,連接BO.∵A1O⊥B1D1,BB1⊥A1O,∴A1O⊥平面BB1D1D，∴∠A1BO就是A1B與平面BB1D1D所成的角．設(shè)正方體的棱長為1，則A1B＝eq\r(2),A1O＝eq\f(\r(2)，2）.又∵∠A1OB＝90°,∴sin∠A1BO＝eq\f（A1O,A1B）＝eq\f（1,2）,又∠A1BO∈［0°,90°］，∴∠A1BO＝30°,∴A1B與平面BB1D1D所成的角是30°。反思與感悟求斜線與平面所成角的步驟（1)作圖：作（或找）出斜線在平面內(nèi)的射影，作射影要過斜線上一點(diǎn)作平面的垂線，再過垂足和斜足作直線，注意斜線上點(diǎn)的選取以及垂足的位置要與問題中已知量有關(guān)，才能便于計(jì)算．(2)證明：證明某平面角就是斜線與平面所成的角．（3）計(jì)算：通常在垂線段、斜線和射影所組成的直角三角形中計(jì)算．跟蹤訓(xùn)練2如圖,在三棱錐A－SBC中，∠BSC＝90°，∠ASB＝∠ASC＝60°,SA＝SB＝SC，求直線AS與平面SBC所成的角．解因?yàn)椤螦SB＝∠ASC＝60°，SA＝SB＝SC,所以△ASB與△SAC都是等邊三角形．因此，AB＝AC。如圖,取BC的中點(diǎn)D，連接AD，SD，則AD⊥BC。設(shè)SA＝a，則在Rt△SBC中，BC＝eq\r(2）a,CD＝SD＝eq\f(\r(2)，2)a.在Rt△ADC中，AD＝eq\r(AC2－CD2）＝eq\f（\r（2）,2)a，則AD2＋SD2＝SA2，所以AD⊥SD.又BC∩SD＝D，所以AD⊥平面SBC.因此，∠ASD即為直線AS與平面SBC所成的角．在Rt△ASD中,SD＝AD＝eq\f（\r(2),2）a，所以∠ASD＝45°。1．下面敘述中:①若直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，則這條直線與平面垂直;②若直線與平面內(nèi)的任意一條直線都垂直,則這條直線與平面垂直；③若直線垂直于梯形的兩腰所在的直線，則這條直線垂直于兩底邊所在的直線；④若直線垂直于梯形的兩底邊所在的直線，則這條直線垂直于兩腰所在的直線．其中正確的有（)A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)答案B解析①中若兩條直線為平行直線，則這條直線不一定與平面垂直，所以不正確;②由定義知正確;③中直線與梯形的兩腰所在直線垂直，則與梯形所在平面垂直，由定義知也與兩底邊所在直線垂直，所以正確;④中直線與梯形兩底邊所在直線垂直，則不一定與梯形所在平面垂直，故不一定與兩腰所在直線垂直，不正確．故選B.2．直線l⊥平面α，直線m?α，則l與m不可能(）A．平行 B．相交C．異面 D．垂直答案A解析若l∥m,l?α,m?α，則l∥α，這與已知l⊥α矛盾．所以直線l與m不可能平行．3．如圖所示，若斜線段AB是它在平面α上的射影BO的2倍,則AB與平面α所成的角是（)A．60° B．45°C．30° D．120°答案A解析∠ABO即是斜線AB與平面α所成的角,在Rt△AOB中,AB＝2BO，所以cos∠ABO＝eq\f（1，2）,即∠ABO＝60°。故選A.4．如圖，在四棱錐P－ABCD中,底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD,AP＝AB＝2，BC＝2eq\r（2),E,F分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明:PC⊥平面BEF.證明如圖，連接PE，EC，在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE，所以PE＝CE，即△PEC是等腰三角形．又F是PC的中點(diǎn)，所以EF⊥PC。又BP＝eq\r(AP2＋AB2)＝2eq\r（2）＝BC,F是PC的中點(diǎn),所以BF⊥PC.又BF∩EF＝F，所以PC⊥平面BEF.1．線線垂直和線面垂直的相互轉(zhuǎn)化2．證明線面垂直的方法(1)線面垂直的定義．（2）線面垂直的判定定理．（3)如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面,那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面．（4）如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面,那么它也垂直于另一個(gè)平面．課時(shí)作業(yè)一、選擇題1．下列說法中正確的個(gè)數(shù)是()①若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直,則l⊥α;②若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則l⊥α；③若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直,則l⊥α;④若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α。A．4B．2C．3D．1答案B解析對于①②不能斷定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi),所以①②是錯(cuò)誤的；易知③④是正確的．2．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是（）①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．A．①③B．②C．②④D．①②④答案A解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于①③圖形所在的平面．而②④圖形中的兩邊不一定相交，故該直線與它們所在的平面不一定垂直．3．如果一條直線l與平面α的一條垂線垂直,那么直線l與平面α的位置關(guān)系是(）A．l?α B．l⊥αC．l∥α D．l?α或l∥α答案D解析結(jié)合正方體模型，直線l與平面α的位置關(guān)系是平行或在平面內(nèi),故選D。4．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于（）A．平面OAB B．平面OACC．平面OBC D．平面ABC答案C解析∵OA⊥OB，OA⊥OC且OB∩OC＝O，∴OA⊥平面OBC。5．如圖所示，如果MC⊥菱形ABCD所在平面，那么MA與BD的位置關(guān)系是()A．平行B．垂直相交C．垂直但不相交D．相交但不垂直答案C解析連接AC.因?yàn)锳BCD是菱形，所以BD⊥AC.又MC⊥平面ABCD，則BD⊥MC.因?yàn)锳C∩MC＝C，所以BD⊥平面AMC。又MA?平面AMC，所以MA⊥BD.顯然直線MA與直線BD不共面,因此直線MA與BD的位置關(guān)系是垂直但不相交．6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，下面結(jié)論錯(cuò)誤的是(）A．BD∥平面CB1D1B．AC1⊥BDC．AC1⊥平面CB1DD．異面直線AD與CB1所成的角為45°答案C解析由正方體的性質(zhì)得BD∥B1D1，且BD?平面CB1D1,所以BD∥平面CB1D1，故A正確；因?yàn)锽D⊥平面ACC1A1,所以AC1⊥BD，故B正確;異面直線AD與CB1所成的角即為AD與DA1所成的角，故為45°，所以D正確．7．把正方形ABCD沿對角線AC折起,當(dāng)以A，B，C，D四點(diǎn)為頂點(diǎn)棱錐體積最大時(shí)，直線BD和平面ABC所成的角的大小為(）A．90°B．60°C．45°D．30°答案C解析如圖,當(dāng)DO⊥平面ABC時(shí)，三棱錐D－ABC的體積最大．∴∠DBO為直線BD和平面ABC所成的角,∵在Rt△DOB中,OD＝OB，∴直線BD和平面ABC所成的角大小為45°。8．設(shè)l，m是兩條不同的直線，α是一個(gè)平面，則下列命題正確的是()A．若l⊥m，m?α,則l⊥αB．若l⊥α，l∥m，則m⊥αC．若l∥α,m?α，則l∥mD．若l∥α，m∥α，則l∥m答案B解析根據(jù)定理,兩條平行線中一條直線垂直于一個(gè)平面,則另一條直線也垂直于這個(gè)平面，故選B.二、填空題9．在直三棱柱ABC-A1B1C1中，BC＝CC1,當(dāng)?shù)酌鍭1B1C1滿足條件________時(shí)，有AB1⊥BC1.（注:填上你認(rèn)為正確的一種條件即可，不必考慮所有可能的情況）答案∠A1C1B1＝90°解析如圖所示，連接B1C，由BC＝CC1，可得BC1⊥B1C,因此，要證AB1⊥BC1，則只要證明BC1⊥平面AB1C,即只要證AC⊥BC1即可，由直三棱柱可知，只要證AC⊥BC即可．因?yàn)锳1C1∥AC，B1C1∥BC，故只要證A1C1⊥B1C1即可．(或者能推出A1C1⊥B1C1的條件，如∠A1C1B1＝90°等）10．如圖所示，AB是⊙O的直徑,PA⊥⊙O所在的平面,C是圓上一點(diǎn)，且∠ABC＝30°，PA＝AB,則直線PC與平面ABC所成角的正切值為________．答案2解析因?yàn)镻A⊥平面ABC，所以AC為斜線PC在平面ABC上的射影,所以∠PCA即為PC與平面ABC所成的角．在△PAC中，AC＝eq\f（1，2)AB＝eq\f（1,2)PA，所以tan∠PCA＝eq\f(PA,AC)＝2。11．如圖所示，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若∠B1MN是直角，則∠C1MN＝______.答案90°解析∵B1C1⊥平面ABB1A1，∴B1C1⊥MN。又∵M(jìn)N⊥B1M,∴MN⊥平面C1B1M.又C1M?平面C1B1M，∴MN⊥C1M,∴∠C1MN＝90°。三、解答題12．如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形．已知AD＝2，PA＝2，PD＝2eq\r(2)，求證：AD⊥平面PAB.證明在△PAD中，由PA＝2，AD＝2，PD＝2eq\r(2),可得PA2＋AD2＝PD2,即AD⊥PA。又AD⊥AB，PA∩AB＝A，所以AD⊥平面PAB.13．如圖，正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長為2.（1）求證：AC⊥B1D；（2）求三棱錐C－BDB1的體積．（1）證明∵ABCD－A1B1C1D1為正方體，∴BB1⊥平面ABCD。∵又AC?平面ABCD，∴BB1⊥AC.又∵底面ABCD為正方形，∴AC⊥BD.∵BB1∩BD＝B，∴AC⊥平面BB1D.∵B1D?平面BDB1，∴AC⊥B1D.(2）解∵B1B⊥平面ABCD，∴B1B是三棱錐B1－BDC的高．∵＝eq\f(1,3)S△BDC·BB1＝eq\f(1，3)×eq\f(1，2)×2×2×2＝eq\f（4,3)，∴三棱錐C－BDB1的體積為eq\f(4，3).四、探究與拓展14．如圖所示，四棱錐S－ABCD的底面為正方形,SD⊥底面ABCD,則下列結(jié)論中不正確的是（)A．AC⊥SBB．AB∥平面SCDC．SA與平面SBD所成的角等于SC與平面SBD所成的角D．AB與SC所