2020-2021學(xué)年北京166中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷

第1頁（共1頁）2020-2021學(xué)年北京166中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷一、選擇題（共40分）1．（4分）一支游泳隊有男運動員16人，女運動員12人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為7的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．62．（4分）已知sinα＝?，則cos2α＝（）A．﹣? B．? C．? D．?3．（4分）在△ABC中，，若，，則＝（）A． B． C． D．4．（4分）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．5．（4分）設(shè)，為非零向量，則“”是“與方向相同”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件6．（4分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．27．（4分）已知△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcosC＝a+ccosB，則該三角形的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形8．（4分）將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，得到的圖象恰好關(guān)于直線對稱，則φ的一個值是（）A． B． C． D．9．（4分）重慶譽為“橋都”，數(shù)十座各式各樣的大橋橫跨長江、嘉陵江兩岸，其中朝天門長江大橋是世界第一大拱橋，其主體造型為：橋拱部分（開口向下的拋物線）與主桁（圖中粗線）部分（可視為余弦函數(shù)一個周期的圖象）相結(jié)合．已知拱橋部分長552m，兩端引橋各有190m，主桁最高處距離橋面89.5m，則將下列函數(shù)等比放大后，與主桁形狀最相似的是（）A．y＝0.45cosx B．y＝4.5cosx C．y＝0.9cos D．y＝9cos10．（4分）如圖，已知圓O的半徑為2，AB是圓O的一條直徑，EF是圓O的一條弦，且EF＝2，點P在線段EF上，則的最小值是（）A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣1二、填空題（共30分）11．（5分）已知向量，，若，則x＝．12．（5分）已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為13．（5分）每年5月17口為國際電信日，某市電信公司每年在電信日當(dāng)天對辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．根據(jù)以往的統(tǒng)計結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參與活動的統(tǒng)計圖，現(xiàn)將頻率視為概率．則兩位客戶選擇同一套餐的概率為．14．（5分）三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若小正方形面積為1，大正方形面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，則＝．15．（5分）平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點，F(xiàn)是AE的中點，則向量＝．16．（5分）定義：對于實數(shù)m和兩定點M，N，在某圖形上恰有n（n∈N*）個不同的點Pi，使得，稱該圖形滿足“n度契合”．若邊長為4的正方形ABCD中，＝2，＝3，且該正方形滿足“4度契合”，則實數(shù)m的取值范圍是．三、解答題（共80分）17．已知向量，，且與的夾角為．（1）求m及；（2）若與垂直，求實數(shù)λ的值．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB與∠D互補，cos∠ACB＝，AC＝BC＝2，AB＝4AD．（1）求AB的長；（2）求sin∠ACD．19．校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域；（2）設(shè)，，求sinα的值．21．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面積的最大值．22．借助三角比及向量知識，可以方便地討論平面上點及圖象的旋轉(zhuǎn)問題．試解答下列問題．（1）在直角坐標(biāo)系中，點A（，﹣1），將點A繞坐標(biāo)原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點B．如果終邊經(jīng)過點A的角記為α，那么終邊經(jīng)過點B的角記為+α．試用三角比知識，求點B的坐標(biāo)；（2）如圖，設(shè)向量＝（h，k），把向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量，求向量的坐標(biāo)；（3）設(shè)A（a，a），B（m，n）為不重合的兩定點，將點B繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得點C，判斷C是否能夠落在直線y＝x上，若能，試用a，m，n表示相應(yīng)θ的值，若不能，說明理由．

2020-2021學(xué)年北京166中學(xué)高一（下）期中數(shù)學(xué)試卷參考答案與試題解析一、選擇題（共40分）1．（4分）一支游泳隊有男運動員16人，女運動員12人，若用分層抽樣的方法從該隊的全體運動員中抽取一個容量為7的樣本，則抽取男運動員的人數(shù)為（）A．3 B．4 C．5 D．6【分析】根據(jù)分層抽樣原理，計算應(yīng)抽取男運動員的人數(shù)即可．【解答】解：由題意知，應(yīng)抽取男運動員的人數(shù)為16×＝4（人）．故選：B．【點評】本題考查了分層抽樣原理應(yīng)用問題，是基礎(chǔ)題．2．（4分）已知sinα＝?，則cos2α＝（）A．﹣? B．? C．? D．?【分析】由題意利用二倍角的余弦公式，計算求得結(jié)果．【解答】解：∵sinα＝?，則cos2α＝1﹣2sin2α＝1﹣2×＝，故選：B．【點評】本題主要考查二倍角的余弦公式，屬于基礎(chǔ)題．3．（4分）在△ABC中，，若，，則＝（）A． B． C． D．【分析】畫出圖形，利用向量的基本定理，寫出結(jié)果即可．【解答】解：在△ABC中，，，，如圖，則D為BC的一個3等分點，作平行四邊形，則＝＝．故選：C．【點評】本題考查平面向量的基本定理的應(yīng)用，考查轉(zhuǎn)化思想以及計算能力，是基礎(chǔ)題．4．（4分）甲、乙兩人下棋，兩人下成和棋的概率是，甲獲勝的概率是，則甲不輸?shù)母怕蕿椋ǎ〢． B． C． D．【分析】利用互斥事件的概率加法公式即可得出．【解答】解：∵甲獲勝與甲、乙兩人下成和棋是互斥事件．∴根據(jù)互斥事件的概率計算公式可知：甲不輸?shù)母怕蔖＝+＝．故選：A．【點評】本題考查互斥事件與對立事件的概率公式，關(guān)鍵是判斷出事件的關(guān)系，然后選擇合適的概率公式，屬于基礎(chǔ)題．5．（4分）設(shè)，為非零向量，則“”是“與方向相同”的（）A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件 C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件【分析】由充分條件、必要條件的判定方法及向量共線的概念分析得答案．【解答】解：對于非零向量，，由?與方向相同或相反，反之，與方向相同?，則“”是“與方向相同”的必要而不充分條件．故選：B．【點評】本題考查充分條件、必要條件的判定方法，考查向量共線的概念，是基礎(chǔ)題．6．（4分）已知△ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（a+b）2﹣c2＝4，C＝120°，則△ABC的面積為（）A． B． C． D．2【分析】利用余弦定理表示出cosC，并利用完全平方公式變形，將已知等式及cosC的值代入求出ab的值，再由sinC的值，利用三角形面積公式即可求出三角形ABC面積．【解答】解：∵cosC＝＝＝cos120°＝﹣，且（a+b）2﹣c2＝4，∴＝﹣，即8﹣4ab＝﹣2ab，即ab＝4，則S△ABC＝absinC＝×4×＝．故選：C．【點評】此題考查了余弦定理，以及三角形面積公式，熟練掌握余弦定理是解本題的關(guān)鍵．7．（4分）已知△ABC中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，且滿足bcosC＝a+ccosB，則該三角形的形狀是（）A．等腰三角形 B．直角三角形 C．等邊三角形 D．等腰或直角三角形【分析】直接利用正弦定理和三角函數(shù)的關(guān)系式的變換求出結(jié)果．【解答】解：已知△ABC中，滿足bcosC＝a+ccosB，利用正弦定理整理得：sinBcosC＝sinA+sinCcosB，轉(zhuǎn)換為sin（B﹣C）＝sin（B+C），故B﹣C＝B+C，整理得C＝0，與三角形的內(nèi)角相矛盾，故B﹣C＝π﹣B﹣C，整理得：2B＝π，解得B＝．故△ABC為直角三角形，故選：B．【點評】本題考查的知識要點：正弦定理，三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式，主要考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力及思維能力，屬于基礎(chǔ)題．8．（4分）將函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，得到的圖象恰好關(guān)于直線對稱，則φ的一個值是（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函數(shù)的圖象的平移變換和正弦型函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用求出結(jié)果．【解答】解：函數(shù)y＝sin2x的圖象向左平移φ（φ＞0）個單位，得到g（x）＝sin（2x+2φ）的圖象，該圖象恰好關(guān)于直線對稱，故g（）＝sin（2φ）＝±1，對于A：當(dāng)φ＝時，函數(shù)g（）＝，故A錯誤；對于B：當(dāng)φ＝時，函數(shù)g（）＝，故B錯誤；對于C：當(dāng)φ＝時，函數(shù)g（）＝，故B錯誤；對于D：當(dāng)φ＝時，函數(shù)g（）＝1，故D正確；故選：D．【點評】本題考查的知識要點：三角函數(shù)的關(guān)系式的平移變換，三角函數(shù)的值，主要考查學(xué)生的運算能力和數(shù)學(xué)思維能力，屬于基礎(chǔ)題．9．（4分）重慶譽為“橋都”，數(shù)十座各式各樣的大橋橫跨長江、嘉陵江兩岸，其中朝天門長江大橋是世界第一大拱橋，其主體造型為：橋拱部分（開口向下的拋物線）與主桁（圖中粗線）部分（可視為余弦函數(shù)一個周期的圖象）相結(jié)合．已知拱橋部分長552m，兩端引橋各有190m，主桁最高處距離橋面89.5m，則將下列函數(shù)等比放大后，與主桁形狀最相似的是（）A．y＝0.45cosx B．y＝4.5cosx C．y＝0.9cos D．y＝9cos【分析】由題意建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)f（x）＝Acosωx，求出A、T的值，再按100：1的比例縮小，求出函數(shù)y的解析式．【解答】解：由題意，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示則f（x）＝Acosωx；其中A＝≈45，T＝552+190+190＝932≈900，若按100：1的比例縮小，則A′＝0.45，T′＝9，ω＝≈＝，所以函數(shù)y＝0.45cosx．故選：A．【點評】本題考查了余弦函數(shù)模型的應(yīng)用問題，也考查了運算求解能力，是中檔題．10．（4分）如圖，已知圓O的半徑為2，AB是圓O的一條直徑，EF是圓O的一條弦，且EF＝2，點P在線段EF上，則的最小值是（）A．1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣1【分析】由題意把轉(zhuǎn)化為含有的代數(shù)式，再求出||的最小值，則答案可求．【解答】解：＝（）?（）＝（）?（﹣）＝﹣4，當(dāng)P為EF中點時，||min＝＝，則的最小值為：3﹣4＝﹣1．故選：D．【點評】本題考查平面向量的數(shù)量積運算，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想，是中檔題．二、填空題（共30分）11．（5分）已知向量，，若，則x＝2．【分析】根據(jù)即可得出9x﹣18＝0，然后解出x的值即可．【解答】解：∵，，∴9x﹣18＝0，解得x＝2．故答案為：2．【點評】本題考查了平行向量的坐標(biāo)關(guān)系，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．12．（5分）已知一組數(shù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則這組數(shù)的方差為【分析】根據(jù)平均數(shù)的定義求出m的值，再計算這組數(shù)的方差．【解答】解：數(shù)據(jù)1，2，m，6，7的平均數(shù)為4，則＝×（1+2+m+6+7）＝4，解得m＝4，所以這組數(shù)的方差為s2＝×[（1﹣4）2+（2﹣4）2+（4﹣4）2+（6﹣4）2+（7﹣4）2]＝．故答案為：．【點評】本題考查了平均數(shù)與方差的計算問題，是基礎(chǔ)題．13．（5分）每年5月17口為國際電信日，某市電信公司每年在電信日當(dāng)天對辦理應(yīng)用套餐的客戶進(jìn)行優(yōu)惠，優(yōu)惠方案如下：選擇套餐1的客戶可獲得優(yōu)惠200元，選擇套餐2的客戶可獲得優(yōu)惠500元，選擇套餐3的客戶可獲得優(yōu)惠300元．根據(jù)以往的統(tǒng)計結(jié)果繪出電信日當(dāng)天參與活動的統(tǒng)計圖，現(xiàn)將頻率視為概率．則兩位客戶選擇同一套餐的概率為．【分析】現(xiàn)將頻率視為概率，利用相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式能求出兩位客戶選擇同一套餐的概率．【解答】解：現(xiàn)將頻率視為概率．則兩位客戶選擇同一套餐的概率為：P＝＝．故答案為：．【點評】本題考查概率的求法，考查相互獨立事件概率乘法公式、互斥事件概率加法公式等基礎(chǔ)知識，考查運算求解能力等數(shù)學(xué)核心素養(yǎng)，是基礎(chǔ)題．14．（5分）三國時期吳國的數(shù)學(xué)家趙爽創(chuàng)制了一幅“勾股圓方圖”，如圖所示的“勾股圓方圖”中，四個相同的直角三角形與中間的小正方形拼成一個大正方形，若小正方形面積為1，大正方形面積為25，直角三角形中較大的銳角為θ，則＝．【分析】設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，由題意列關(guān)于x，y的方程組，求解得到x，y的值，進(jìn)一步得到tanθ，展開兩角差的正切得答案．【解答】解：如圖，設(shè)BC＝x，AC＝y(tǒng)，則，解得．∴tanθ＝．∴＝．故答案為：．【點評】本題考查三角恒等變換及化簡求值，考查兩角差的正切，是基礎(chǔ)題．15．（5分）平行四邊形ABCD中，AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，E是BC的中點，F(xiàn)是AE的中點，則向量＝﹣6．【分析】可畫出圖形，根據(jù)條件可得出數(shù)量積的斜率，然后進(jìn)行數(shù)量積的運算即可求出答案．【解答】解：如圖，∵ABCD是平行四邊形，E是BC的中點，F(xiàn)是AE的中點，∴，＝＝＝，且AB＝2，AD＝4，∠BAD＝60°，∴向量＝（）?（）＝＝2﹣×﹣＝﹣6．故答案為：﹣6．【點評】本題考查了向量加法和數(shù)乘向量的幾何意義，相等向量和相反向量的定義，向量的數(shù)乘和數(shù)量積的運算，考查了計算能力，屬于基礎(chǔ)題．16．（5分）定義：對于實數(shù)m和兩定點M，N，在某圖形上恰有n（n∈N*）個不同的點Pi，使得，稱該圖形滿足“n度契合”．若邊長為4的正方形ABCD中，＝2，＝3，且該正方形滿足“4度契合”，則實數(shù)m的取值范圍是m＝﹣或2＜m＜6．【分析】利用數(shù)量積的定義和M，N兩點的位置可得點Pi的運動軌跡是以（2，）為圓心，半徑r＝的圓，只需該圓與正方形有4個交點即可．即可求得m的取值范圍．【解答】解，如圖建立平面直角坐標(biāo)系，可得N（0，1），M（4，2），設(shè)Pi（x，y），由，可得（x﹣2）2+（y﹣）2＝，即點Pi的運動軌跡是以（2，）為圓心，半徑r＝的圓，只需該圓與正方形有4個交點即可．如圖：當(dāng)r＝2，即m＝﹣時（圖中從內(nèi)往外第一個圓），有4個交點；當(dāng)動圓在圖中第二個與第三個之間（從內(nèi)往外第一個圓）時有4個交點，此時：＝，∴2＜m＜6．∴答案為：m＝﹣或2＜m＜6．【點評】本題考查學(xué)生對文字的處理能力和數(shù)量積的定義．動點軌跡問題，屬于中檔題．三、解答題（共80分）17．已知向量，，且與的夾角為．（1）求m及；（2）若與垂直，求實數(shù)λ的值．【分析】（1）根據(jù)題意，由數(shù)量積的坐標(biāo)計算公式和計算公式可得m＝×，解可得m的值，求出﹣2的坐標(biāo)，求出﹣2的模即可得答案；（2）根據(jù)題意，由向量垂直的判斷方法可得（）?＝1+2λ＝0，解可得λ的值，即可得答案．【解答】解：（1）根據(jù)題意，向量，，則?＝m，||＝1，||＝，又由與的夾角為，則有?＝||||cosθ，即m＝×，解可得：m＝1，則﹣2＝（﹣1，﹣2），故|﹣2|＝＝；（2）由（1）的結(jié)論，m＝1，則＝（1，1），若與垂直，則（）?＝1+2λ＝0，解可得：λ＝﹣．【點評】本題考查向量數(shù)量積的計算，涉及向量的坐標(biāo)計算，屬于基礎(chǔ)題．18．如圖，在四邊形ABCD中，∠ACB與∠D互補，cos∠ACB＝，AC＝BC＝2，AB＝4AD．（1）求AB的長；（2）求sin∠ACD．【分析】（1）在△ABC中使用余弦定理求出AB；（2）在△ACD中，使用正弦定理求出．【解答】解：（1）在△ABC中，由余弦定理得：AB2＝AC2+BC2﹣2AC?BCcos∠ACB＝16．∴AB＝4．（2）AD＝＝1．∵∠ACB與∠D互補，∴cosD＝﹣cos∠ACB＝﹣．∴sinD＝．在△ACD中，由正弦定理得：，∴sin∠ACD＝＝．【點評】本題考查了正弦定理，余弦定理解三角形，屬于基礎(chǔ)題．19．校在2013年的自主招生考試成績中隨機(jī)抽取40名學(xué)生的筆試成績，按成績共分成五組：第1組[75，80），第2組[80，85），第3組[85，90），第4組[90，95），第5組[95，100]，得到的頻率分布直方圖如圖所示，同時規(guī)定成績在85分以上的學(xué)生為“優(yōu)秀”，成績小于85分的學(xué)生為“良好”，且只有成績?yōu)椤皟?yōu)秀”的學(xué)生才能獲得面試資格．（Ⅰ）求出第4組的頻率，并補全頻率分布直方圖；（Ⅱ）根據(jù)樣本頻率分布直方圖估計樣本的中位數(shù)與平均數(shù)；（Ⅲ）如果用分層抽樣的方法從“優(yōu)秀”和“良好”的學(xué)生中共選出5人，再從這5人中選2人，那么至少有一人是“優(yōu)秀”的概率是多少？【分析】（1）根據(jù)頻率分布直方圖的性質(zhì)，根據(jù)所給的頻率分布直方圖中小矩形的長和寬，求出矩形的面積，即這組數(shù)據(jù)的頻率，根據(jù)各小組的頻率之和為1求出第四組的頻率，進(jìn)一步補全頻率分布直方圖；（2）第一、二兩組的頻率和為0.4，第三組的頻率為0.3，所以中位數(shù)落在第三組，由此能求出筆試成績的中位數(shù)，利用組中值乘以改組的頻率可得平均數(shù)；（3）根據(jù)概率公式計算，事件“5位同學(xué)中抽兩位同學(xué)”有10種可能，而且這些事件的可能性相同，其中事件“至少有一人是“優(yōu)秀””可能種數(shù)是9，那么即可求得事件M的概率．【解答】解：（1）其它組的頻率為（0.01+0.07+0.06+0.02）×5＝0.8，所以第4組的頻率為0.2，頻率分布圖如圖：（2）設(shè)樣本的中位數(shù)為x，則5×0.01+5×0.07+（x﹣85）×0.06＝0.5，解得x＝，∴樣本中位數(shù)的估計值為，平均數(shù)為77.5×0.05+82.5×0.35+87.5×0.30+92.5×0.20+97.5×0.10＝87.25；（3）依題意良好的人數(shù)為40×0.4＝16人，優(yōu)秀的人數(shù)為40×0.6＝24人優(yōu)秀與良好的人數(shù)比為3：2，所以采用分層抽樣的方法抽取的5人中有優(yōu)秀3人，良好2人，記“從這5人中選2人至少有1人是優(yōu)秀”為事件M，將考試成績優(yōu)秀的三名學(xué)生記為A，B，C，考試成績良好的兩名學(xué)生記為a，b，從這5人中任選2人的所有基本事件包括：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，ab共10個基本事件，事件M含的情況是：AB，AC，BC，Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，共9個，所以P（M）＝＝0.9．【點評】本題考查頻率分布直方圖的性質(zhì)，以及平均數(shù)和中位數(shù)的計算，考查等可能事件的概率，本題是一個概率與統(tǒng)計的綜合題目．屬于中檔題．20．已知函數(shù)．（1）求函數(shù)f（x）在區(qū)間上的值域；（2）設(shè)，，求sinα的值．【分析】（1）利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性和值域性質(zhì)進(jìn)行求解即可．（2）根據(jù)三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式以及兩角和差的正弦公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化計算即可．【解答】解：（1），當(dāng)x∈[0，]時，，即當(dāng)2x+＝時，函數(shù)取得最小值為y＝2sin＝﹣，當(dāng)2x+＝時，函數(shù)取得最大值為y＝2sin＝2，所以，此時f（x）的值域為．（2）因為，所以，，所以，＝．【點評】本題主要考查三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用三角函數(shù)的倍角公式以及輔助角公式進(jìn)行化簡，結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)以及兩角和差的三角公式進(jìn)行轉(zhuǎn)化是解決本題的關(guān)鍵．難度中等．21．在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且滿足．（1）求角C；（2）若c＝2，求△ABC面積的最大值．【分析】（1）由已知結(jié)合正弦定理及和差角公式進(jìn)行化簡可求tanC，進(jìn)而可求C；（2）由余弦定理及基本不等式可求ab的范圍，然后結(jié)合三角形的面積公式即可求解．【解答】解：（1）因為，所以3（sinB﹣sinCcosA）＝sinAsinC，所以3sinB＝sinAsinC+3sinCcosA＝3sin（A+C），所以3sinAcosC+3sinCcosA＝sinAsinC+3sinCcosA，整理得3sinAcosC＝sinAsinC，因為sinA＞0，所以sinC＝cosC，即tanC＝，由C為三角形內(nèi)角得，C＝，（2）由余弦定理得c2＝a2+b2﹣ab≥ab，當(dāng)且僅當(dāng)a＝b時取等號，故ab≤4，S△ABC＝＝，故△ABC面積的最大值．【點評】本題主要考查了正弦定理，和差角公式，余弦定理及三角形的面積公式，屬于中檔題．22．借助三角比及向量知識，可以方便地討論平面上點及圖象的旋轉(zhuǎn)問題．試解答下列問題．（1）在直角坐標(biāo)系中，點A（，﹣1），將點A繞坐標(biāo)原點O按逆時針方向旋轉(zhuǎn)到點B．如果終邊經(jīng)過點A的角記為α，那么終邊經(jīng)過點B的角記為+α．試用三角比知識，求點B的坐標(biāo)；（2）如圖，設(shè)向量＝（h，k），把向量按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得到向量，求向量的坐標(biāo)；（3）設(shè)A（a，a），B（m，n）為不重合的兩定點，將點B繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)θ角得點C，判斷C是否能夠落在直線y＝x上，若能，試用a，m，n表示相應(yīng)θ的值，若不能，說明理