理論力學(xué)課件六

第十四章動(dòng)能定理1§14–1力的功§14–2動(dòng)能§14–3動(dòng)能定理§14–4功率·功率方程§14–5勢力場·勢能·機(jī)械能守恒定理§14–6動(dòng)力學(xué)普遍定理及綜合應(yīng)用第十四章動(dòng)能定理2與動(dòng)量定理和動(dòng)量矩定理用矢量法研究不同，動(dòng)能定理用能量法研究動(dòng)力學(xué)問題。能量法不僅在機(jī)械運(yùn)動(dòng)的研究中有重要的應(yīng)用，而且是溝通機(jī)械運(yùn)動(dòng)和其它形式運(yùn)動(dòng)的橋梁。動(dòng)能定理建立了與運(yùn)動(dòng)有關(guān)的物理量—?jiǎng)幽芎妥饔昧Φ奈锢砹俊χg的聯(lián)系，這是一種能量傳遞的規(guī)律。動(dòng)力學(xué)14-1力的功

力的功是力沿路程累積效應(yīng)的度量。力的功是代數(shù)量。時(shí),正功；時(shí),功為零；時(shí),負(fù)功。單位：焦耳（Ｊ）；一．常力的功3二．變力的功

力在曲線路程中作功為（自然形式表達(dá)式）（矢量式）（直角坐標(biāo)表達(dá)式）動(dòng)力學(xué)元功：4三．合力的功質(zhì)點(diǎn)M受n個(gè)力作用合力為則合力的功即在任一路程上，合力的功等于各分力功的代數(shù)和。動(dòng)力學(xué)5四．常見力的功

1．重力的功質(zhì)點(diǎn)系：

質(zhì)點(diǎn)系重力的功，等于質(zhì)點(diǎn)系的重量與其在始末位置重心的高度差的乘積，而與各質(zhì)點(diǎn)的路徑無關(guān)。動(dòng)力學(xué)質(zhì)點(diǎn)：重力在三軸上的投影：62．彈性力的功彈簧原長，在彈性極限內(nèi)k—彈簧的剛度系數(shù)，表示使彈簧發(fā)生單位變形時(shí)所需的力。N/m,N/cm。。彈性力的功只與彈簧的起始變形和終了變形有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無關(guān)。動(dòng)力學(xué)7作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上力的功等于力矩的功。若m=常量,則注意：功的符號(hào)的確定。3．萬有引力的功萬有引力所作的功只與質(zhì)點(diǎn)的始末位置有關(guān)，與路徑無關(guān)。動(dòng)力學(xué)如果作用力偶，m,且力偶的作用面垂直轉(zhuǎn)軸

4．作用于轉(zhuǎn)動(dòng)剛體上的力的功，力偶的功設(shè)在繞z軸轉(zhuǎn)動(dòng)的剛體上M點(diǎn)作用有力，計(jì)算剛體轉(zhuǎn)過一角度時(shí)力所作的功。M點(diǎn)軌跡已知。8正壓力，摩擦力作用于瞬心C處，而瞬心的元位移(2)圓輪沿固定面作純滾動(dòng)時(shí)，滑動(dòng)摩擦力的功(3)滾動(dòng)摩擦阻力偶m的功

5．摩擦力的功(1)動(dòng)滑動(dòng)摩擦力的功N=常量時(shí),W=–f′NS,與質(zhì)點(diǎn)的路徑有關(guān)。動(dòng)力學(xué)若m=常量則9五．質(zhì)點(diǎn)系內(nèi)力的功

只要A、B兩點(diǎn)間距離保持不變,內(nèi)力的元功和就等于零。

不變質(zhì)點(diǎn)系的內(nèi)力功之和等于零。剛體的內(nèi)力功之和等于零。不可伸長的繩索內(nèi)力功之和等于零。動(dòng)力學(xué)10六．理想約束反力的功約束反力元功為零或元功之和為零的約束稱為理想約束。1．光滑固定面約束2．活動(dòng)鉸支座、固定鉸支座和向心軸承3．剛體沿固定面作純滾動(dòng)4．聯(lián)接剛體的光滑鉸鏈（中間鉸）5．柔索約束（不可伸長的繩索）

動(dòng)力學(xué)拉緊時(shí)，內(nèi)部拉力的元功之和恒等于零。11§14-2動(dòng)能物體的動(dòng)能是由于物體運(yùn)動(dòng)而具有的能量，是機(jī)械運(yùn)動(dòng)強(qiáng)弱的又一種度量。

一．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能

二．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能

動(dòng)力學(xué)瞬時(shí)量,與速度方向無關(guān)的正標(biāo)量,具有與功相同的量綱,單位也是J。對(duì)于任一質(zhì)點(diǎn)系：（為第i個(gè)質(zhì)點(diǎn)相對(duì)質(zhì)心的速度）柯尼希定理12（P為速度瞬心）1．平動(dòng)剛體2．定軸轉(zhuǎn)動(dòng)剛體3．平面運(yùn)動(dòng)剛體動(dòng)力學(xué)三．剛體的動(dòng)能13§14-3動(dòng)能定理1．質(zhì)點(diǎn)的動(dòng)能定理：因此動(dòng)能定理的微分形式將上式沿路徑積分，可得動(dòng)能定理的積分形式動(dòng)力學(xué)兩邊點(diǎn)乘以，有14對(duì)質(zhì)點(diǎn)系中的一質(zhì)點(diǎn)：即質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的微分形式質(zhì)點(diǎn)系動(dòng)能定理的積分形式在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理可寫成以下的形式動(dòng)力學(xué)對(duì)整個(gè)質(zhì)點(diǎn)系，有2．質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理將上式沿路徑積分，可得15[例1]圖示系統(tǒng)中,均質(zhì)圓盤A、B各重P，半徑均為R,兩盤中心線為水平線,盤A上作用矩為M(常量)的一力偶；重物D重Q。問下落距離h時(shí)重物的速度與加速度。(繩重不計(jì)，繩不可伸長，盤B作純滾動(dòng)，初始時(shí)系統(tǒng)靜止)動(dòng)力學(xué)16解：取系統(tǒng)為研究對(duì)象上式求導(dǎo)得：動(dòng)力學(xué)17動(dòng)能定理的應(yīng)用練習(xí)題

1．圖示的均質(zhì)桿OA的質(zhì)量為30kg，桿在鉛垂位置時(shí)彈簧處于自然狀態(tài)。設(shè)彈簧常數(shù)k=3kN/m，為使桿能由鉛直位置OA轉(zhuǎn)到水平位置OA'，在鉛直位置時(shí)的角速度至少應(yīng)為多大？解：研究OA桿由動(dòng)力學(xué)182．行星齒輪傳動(dòng)機(jī)構(gòu),放在水平面內(nèi)。動(dòng)齒輪半徑r,重P,視為均質(zhì)圓盤；曲柄重Q,長l,作用一力偶,矩為M(常量),曲柄由靜止開始轉(zhuǎn)動(dòng)；求曲柄的角速度(以轉(zhuǎn)角的函數(shù)表示)和角加速度。動(dòng)力學(xué)解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象根據(jù)動(dòng)能定理，得將式對(duì)t求導(dǎo)數(shù)，得193．兩根均質(zhì)直桿組成的機(jī)構(gòu)及尺寸如圖示；OA桿質(zhì)量是AB桿質(zhì)量的兩倍，各處摩擦不計(jì)，如機(jī)構(gòu)在圖示位置從靜止釋放，求當(dāng)OA桿轉(zhuǎn)到鉛垂位置時(shí)，AB桿B端的速度。動(dòng)力學(xué)解：取整個(gè)系統(tǒng)為研究對(duì)象20§1三4-三4功率·功率三方程

一．功率：力在單位時(shí)間內(nèi)所作的功（它是衡量機(jī)器工作能力的一個(gè)重要指標(biāo)）。功率是代數(shù)量，并有瞬時(shí)性。作用力的功率：力矩的功率：功率三的單三位：三瓦特三（W），千瓦三（kW），三１W=１J/三s。動(dòng)力三學(xué)21二．功率方程：由的兩邊同除以dt得動(dòng)力三學(xué)分析：起動(dòng)階段（加速）：即制動(dòng)階段（減速）：即穩(wěn)定階段（勻速）：即機(jī)器穩(wěn)定運(yùn)行時(shí)，機(jī)械效率是評(píng)三定機(jī)三器質(zhì)三量優(yōu)三劣的三重要三指標(biāo)三之一三。一三般情三況下＜１。22§1三4-三5勢力三場、三勢能三、機(jī)三械能三守恒三定律一．三勢力三場1．力三場：若三質(zhì)點(diǎn)三在某三空間三內(nèi)的三任何三位置三都受三到一三個(gè)大三小和三方向三完全三由所三在位三置確三定的三力的三作用三，則三此空三間稱三為力場。動(dòng)力三學(xué)重力三場、三萬有三引力三場、三彈性三力場三都是三勢力三場。質(zhì)點(diǎn)三在勢三力場三中受三到的三場力三稱為三有勢三力(保守三力),如重三力、三彈力三等。2．勢三力場：三在力三場中,如果三作用三于質(zhì)三點(diǎn)的三場力三作功三只決三定于三質(zhì)點(diǎn)三的始三末位三置，三與運(yùn)三動(dòng)路三徑無三關(guān)，三這種三力場三稱為勢力三場。23二．三勢能在勢三力場三中,質(zhì)點(diǎn)三從位三置M運(yùn)動(dòng)三到任三選位三置M0,有勢三力所三作的三功稱三為質(zhì)三點(diǎn)在三位置M相對(duì)三于位三置M0的勢三能，三用V表示三。M0作為三基準(zhǔn)三位置三，勢三能為三零，三稱為三零勢三能點(diǎn)三。勢三能具三有相三對(duì)性三。是坐標(biāo)的單值連續(xù)函數(shù)。等勢三面：三質(zhì)點(diǎn)三位于三該面三上任三何地三方，三勢能三都相三等。質(zhì)點(diǎn)系的勢能：動(dòng)力三學(xué)241.重力場質(zhì)點(diǎn)：質(zhì)點(diǎn)系：2.彈性力場：取彈簧的自然位置為零勢能點(diǎn)3.萬有引力場：取與引力中心相距無窮遠(yuǎn)處為零勢能位置有勢三力的三功等三于質(zhì)三點(diǎn)系三在運(yùn)三動(dòng)的三始末三位置三的勢三能之三差。動(dòng)力三學(xué)三．有勢力的功在M1位置：

M2位置：M1→M2：25設(shè)質(zhì)三點(diǎn)系三只受三到有三勢力(或同三時(shí)受三到不三作功三的非三有勢三力)作用三，則—機(jī)械能守恒定律對(duì)非保守系統(tǒng)，設(shè)非保守力的功為W12'

,則有動(dòng)力三學(xué)四．三機(jī)械三能守三恒定三律機(jī)械三能：三系統(tǒng)三的動(dòng)三能與三勢能三的代三數(shù)和。這樣三的系三統(tǒng)成三為保三守系三統(tǒng)。[例1]長為l，質(zhì)量為m的均質(zhì)直桿，初瞬時(shí)直立于光滑的桌面上。當(dāng)桿無初速度地傾倒后，求質(zhì)心的速度（用桿的傾角和質(zhì)心的位置表達(dá)）。26解：由三于水三平方三向不三受外三力，且初三始靜三止，三故質(zhì)三心C鉛垂三下降三。由于三約束三反力三不作三功,主動(dòng)三力為三有勢三力，因此三可用三機(jī)械三能守三恒定三律求三解。由機(jī)械能守恒定律：將代入上式，化簡后得動(dòng)力三學(xué)初瞬時(shí)：任一瞬時(shí)：27§1三4-三6動(dòng)力三學(xué)普三遍定三理及三綜合三應(yīng)用動(dòng)力三學(xué)普三遍定三理包三括質(zhì)三點(diǎn)和三質(zhì)點(diǎn)三系的三動(dòng)量三定理三、動(dòng)三量矩三定理三和動(dòng)三能定三理。動(dòng)量三定理三和動(dòng)三量矩三定理三是矢三量形三式，三動(dòng)能三定理三是標(biāo)三量形三式，三他們?nèi)伎扇龖?yīng)用三研究三機(jī)械三運(yùn)動(dòng)三，而三動(dòng)能三定理三還可三以研三究其三它形三式的三運(yùn)動(dòng)三能量三轉(zhuǎn)化三問題三。動(dòng)力三學(xué)普三遍定三理提三供了三解決三動(dòng)力三學(xué)問三題的三一般三方法三。動(dòng)三力學(xué)三普遍三定理三的綜三合應(yīng)三用，三大體三上包三括兩三方面三的含三義：一是三能根三據(jù)問三題的三已知三條件三和待三求量三，選三擇適三當(dāng)?shù)娜ɡ砣蠼馊?，包三括各三種守三恒情三況的三判斷三，相三應(yīng)守三恒定三理的三應(yīng)用三。避三開那三些無三關(guān)的三未知三量，三直接三求得三需求三的結(jié)三果。三二是三對(duì)比三較復(fù)三雜的三問題三，能三根據(jù)三需要三選用三兩、三三個(gè)三定理三聯(lián)合三求解三。求解三過程三中,要正三確進(jìn)三行運(yùn)三動(dòng)分三析,提供三正確三的運(yùn)三動(dòng)學(xué)三補(bǔ)充三方程三。動(dòng)力三學(xué)28舉例三說明三動(dòng)力三學(xué)普三遍定三理的三綜合三應(yīng)用三：[例1]兩根三均質(zhì)三桿AC和BC各重三為P，長為l，在C處光三滑鉸三接，三置于三光滑三水平三面上三；設(shè)三兩桿三軸線三始終三在鉛三垂面三內(nèi)，三初始三靜止三，C點(diǎn)高三度為h，求鉸C到達(dá)三地面三時(shí)的三速度三。動(dòng)力三學(xué)29討論三動(dòng)量三守恒三定理三＋動(dòng)三能定三理求三解。三計(jì)算三動(dòng)能三時(shí)，三利用三平面三運(yùn)動(dòng)三的運(yùn)三動(dòng)學(xué)三關(guān)系三。動(dòng)力三學(xué)解：由于不求系統(tǒng)的內(nèi)力，可以不拆開。研究對(duì)象：整體分析受力：，且初始靜止，所以水平方向質(zhì)心位置守恒。代入三動(dòng)能三定理三：30[例2]均質(zhì)三圓盤A：m，r；滑塊B：m；桿AB：質(zhì)量三不計(jì)，三平行三于斜三面。三斜面三傾角，摩三擦系三數(shù)f，圓盤三作純?nèi)凉L動(dòng)三，系三統(tǒng)初三始靜三止。三求：三滑塊三的加三速度三。動(dòng)力三學(xué)解：三選系三統(tǒng)為三研究三對(duì)象運(yùn)動(dòng)學(xué)關(guān)系：由動(dòng)能定理：對(duì)ｔ求導(dǎo)，得31[例3]重15三0N的均三質(zhì)圓三盤與三重60三N、長24三cm的均三質(zhì)桿AB在B處用三鉸鏈三連接三。三系統(tǒng)三由圖三示位三置無三初速三地釋三放。求系統(tǒng)三經(jīng)過三最低三位置B'點(diǎn)時(shí)三的速三度及三支座A的約三束反三力。解：（1）取三圓盤三為研三究對(duì)三象，圓盤平動(dòng)。動(dòng)力三學(xué)32（2）用三動(dòng)能三定理三求速三度。取系三統(tǒng)研三究。三初始三時(shí)T1=0，最低三位置三時(shí)：代入數(shù)據(jù)，得動(dòng)力三學(xué)33（3）用三動(dòng)量三矩定三理求三桿的三角加三速度三。由于所以＝0。動(dòng)力三學(xué)桿質(zhì)三心C的加三速度三：盤質(zhì)三心加三速度三：（4）由三質(zhì)心三運(yùn)動(dòng)三定理三求支三座反三力。研究三整個(gè)三系統(tǒng)三。代入三數(shù)據(jù)三，得34