四年級奧數(shù)容斥問題

四年級奧數(shù)容斥問題第1頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第1頁。專題簡析：容斥問題涉及到一個(gè)重要原理——包含與排除原理，也叫容斥原理。即當(dāng)兩個(gè)計(jì)數(shù)部分有重復(fù)包含時(shí)，為了不重復(fù)計(jì)數(shù)，應(yīng)從它們的和中排除重復(fù)部分。容斥原理：對n個(gè)事物，如果采用不同的分類標(biāo)準(zhǔn)，按性質(zhì)a分類與性質(zhì)b分類（如圖），那么具有性質(zhì)a或性質(zhì)b的事物的個(gè)數(shù)=Na＋Nb－Nab。第2頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第2頁。例1、一個(gè)班有48人，班主任在班會(huì)上問：“誰做完語文作業(yè)？請舉手！”有37人舉手。又問：“誰做完數(shù)學(xué)作業(yè)？請舉手！”有42人舉手。最后問：“誰語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都沒有做完？”沒有人舉手。求這個(gè)班語文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)。第3頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第3頁。分析

解答：完成語文作業(yè)的有37人，完成數(shù)學(xué)作業(yè)的有42人，一共有：37＋42=79人，多于全班人數(shù)。這是因?yàn)檎Z文、數(shù)學(xué)作業(yè)都完成的人數(shù)在統(tǒng)計(jì)做完語文作業(yè)的人數(shù)時(shí)算過一次，在統(tǒng)計(jì)做完數(shù)學(xué)作業(yè)的人數(shù)時(shí)又算了一次，這樣就多算了一次。所以，這個(gè)班語文、數(shù)作業(yè)都完成的有：79－48=31人。第4頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第4頁。

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習(xí)

一1，五年級有122名學(xué)生參加語文、數(shù)學(xué)考試，每人至少有一門功課取得優(yōu)秀成績。其中語文成績優(yōu)秀的有65人，數(shù)學(xué)優(yōu)秀的有87人。語文、數(shù)學(xué)都優(yōu)秀的有多少人？2，四年級一班有54人，訂閱《小學(xué)生優(yōu)秀作文》和《數(shù)學(xué)大世界》兩種讀物的有13人，訂《小學(xué)生優(yōu)秀作文》的有45人，每人至少訂一種讀物，訂《數(shù)學(xué)大世界》的有多少人？3，學(xué)校文藝組每人至少會(huì)演奏一種樂器，已知會(huì)拉手風(fēng)琴的有24人，會(huì)彈電子琴的有17人，其中兩種樂器都會(huì)演奏的有8人。這個(gè)文藝組一共有多少人？第5頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第5頁。例2、某班有36個(gè)同學(xué)在一項(xiàng)測試中，答對第一題的有25人，答對第二題的有23人，兩題都答對的有15人。問多少個(gè)同學(xué)兩題都答得不對？第6頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第6頁。分析

與解答：已知答對第一題的有25人，兩題都答對的有15人，可以求出只答對第一題的有：25－15=10人。又已知答對第二題的有23人，用只答對第一題的人數(shù)，加上答對第二題的人數(shù)就得到至少有一題答對的人數(shù)：10＋23=33人。所以，兩題都答得不對的有：36－33=3人。第7頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第7頁。

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習(xí)

二1，五（1）班有40個(gè)學(xué)生，其中25人參加數(shù)學(xué)小組，23人參加科技小組，有19人兩個(gè)小組都參加了。那么，有多少人兩個(gè)小組都沒有參加？2，一個(gè)班有55名學(xué)生，訂閱《小學(xué)生數(shù)學(xué)報(bào)》的有32人，訂閱《中國少年報(bào)》的有29人，兩種報(bào)紙都訂閱的有25人。兩種報(bào)紙都沒有訂閱的有多少人？3，某校選出50名學(xué)生參加區(qū)作文比賽和數(shù)學(xué)比賽，結(jié)果3人兩項(xiàng)比賽都獲獎(jiǎng)了，有27人兩項(xiàng)比賽都沒有獲獎(jiǎng)。已知作文比賽獲獎(jiǎng)的有14人，問數(shù)學(xué)比賽獲獎(jiǎng)的有多少人？第8頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第8頁。例3、某班有56人，參加語文競賽的有28人，參加數(shù)學(xué)競賽的有27人，如果兩科都沒有參加的有25人，那么同時(shí)參加語文、數(shù)學(xué)兩科競賽的有多少人？第9頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第9頁。分析

、要求兩科競賽同時(shí)參加的人數(shù)，應(yīng)先求出至少參加一科競賽的人數(shù)：56－25=31人，再求兩科競賽同時(shí)參加的人數(shù)：28＋27－31=24人。第10頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第10頁。

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習(xí)

三1，一個(gè)旅行社有36人，其中會(huì)英語的有24人，會(huì)法語的有18人，兩樣都不會(huì)的有4人。兩樣都會(huì)的有多少人？2，一個(gè)俱樂部有103人，其中會(huì)下中國象棋的有69人，會(huì)下國際象棋的有52人，這兩種棋都不會(huì)下的有12人。問這兩種棋都會(huì)下的有多少人？3，三年級一班參加合唱隊(duì)的有40人，參加舞蹈隊(duì)的有20人，既參加合唱隊(duì)又參加舞蹈隊(duì)的有14人。這兩隊(duì)都沒有參加的有10人。請算一算，這個(gè)班共有多少人？第11頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第11頁。例4、在1到100的自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)也不是6的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？第12頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第12頁。分析：從1到100的自然數(shù)中，減去5或6的倍數(shù)的個(gè)數(shù)。從1到100的自然數(shù)中，5的倍數(shù)有100÷5=20個(gè)，6的倍數(shù)有16個(gè)（100÷6=16……4），其中既是5的倍數(shù)又是6的倍數(shù)（即5和6的公倍數(shù)）的數(shù)有3個(gè)（100÷30=3……10）。因此，是6或5的倍數(shù)的個(gè)數(shù)是16＋20－3=33個(gè)，既不是5的倍數(shù)又不是6的倍數(shù)的數(shù)的個(gè)數(shù)是：100－33=67個(gè)。第13頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第13頁。

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習(xí)

四1，在1到200的全部自然數(shù)中，既不是5的倍數(shù)又不是8的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？2，在1到130的全部自然數(shù)中，既不是6的倍數(shù)又不是5的倍數(shù)的數(shù)有多少個(gè)？3，五（1）班做廣播操，全班排成4行，每行的人數(shù)相等。小華排的位置是：從前面數(shù)第5個(gè)，從后面數(shù)第8個(gè)。這個(gè)班共有多少個(gè)學(xué)生？第14頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第14頁。例5、光明小學(xué)舉辦學(xué)生書法展覽。學(xué)校的櫥窗里展出了每個(gè)年級學(xué)生的書法作品，其中有24幅不是五年級的，有22幅不是六年級的，五、六年級參展的書法作品共有10幅，其他年級參展的書法作品共有多少幅？第15頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第15頁。分析

：由題意知，24幅作品是一、二、三、四、六年級參展作品的總數(shù)，22幅是一、二、三、四、五年級參展作品的總數(shù)。24＋22=46幅，這是一個(gè)五、六年級和兩個(gè)一、二、三、四年級參展的作品數(shù)，從其中去掉五、六兩個(gè)年級共參展的10幅作品，即得到兩個(gè)一、二、三、四年級參展作品的總數(shù)，再除以2，即可求出其他年級參展作品的總數(shù)。（24＋22－10）÷2=18幅。第16頁，共17頁。四年級奧數(shù)容斥問題全文共17頁，當(dāng)前為第16頁。

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習(xí)

五1，科技節(jié)那天，學(xué)校的科技室里展出了每個(gè)年級學(xué)生的科技作品，其中有110件不是一年級的，有100件不是二年級的，一、二年級參展的作品共有32件。其他年級參展的作品共有多少件？2，六（1）兒童節(jié)那天，學(xué)校的畫廊里展出了每個(gè)年級學(xué)生的圖畫作品，其中有25幅畫不是三年級的，有19幅畫不是四年級的，三、四兩個(gè)年級參展的畫共有8幅。其他年級參展的畫共有多