結構的動力計算

第11章結構的動力計算

§11－1

動力計算的特點和動力自由度

一．動荷載及其分類

動荷載是指其大小、方向和作用位置隨時間變化的荷載．由于荷載隨時間變化較快，所產生的慣性力不容忽視。因此，考慮慣性力的影響是結構動力學的最主要特征。

靜荷載只與作用位置有關，而動荷載是坐標和時間的函數(shù)。

動荷載按其隨時間的變化規(guī)律進行分類：二．結構動力計算的內容和特點1.動力計算的主要內容結構響應問題輸入（動荷載）結構（系統(tǒng)）輸出（動力反應）2．結構動力計算的目的

研究結構在動荷載作用下的反應規(guī)律，找出動荷載作用下結構的最大動內力和最大動位移，為結構的動力可靠性設計提供依據。

3．動力反應的特點在動荷載作用下，結構的動力反應（動內力、動位移等）都隨時間變化，它除與動荷載的變化規(guī)律有關外，還與結構的固有特性（自振頻率、振型和阻尼）有關。不同的結構，如果它們具有相同的阻尼、頻率和振型，則在相同的荷載下具有相同的反應?？梢?，結構的固有特性能確定動荷載下的反應，故稱之為結構的固有動力特性。強迫振動

結構在動荷載作用下產生得振動。研究強迫振動，可得到結構的動力反應。

三．自由振動和強迫振動自由振動

結構在沒有動荷載作用時，由初速度、初位移所引起的振動。研究結構的自由振動，可得到結構的自振頻率、振型和阻尼參數(shù)等固有特性。

確定體系運動過程中任一時刻全部質量的位置所需的獨立幾何參數(shù)數(shù)目，稱為體系的自由度。根據自由度的數(shù)目，結構可分為單自由度體系，多自由度體系和無限自由度體系。四．動力分析中的自由度1．自由度的定義

將連續(xù)分布的結構質量按一定的力學原則集中到若干幾何點上，使結構只在這些點上有質量。從而把一個無限自由度問題簡化為有限自由度問題。2.實際結構自由度的簡化方法

為分析計算方便，往往將具有無限自由度體系的實際結構簡化為有限自由度。常用的簡化方法為：（1)集中質量法計軸向變形:W=2不計軸向變形:W=1考慮軸向剛性條件，一般情況下不考慮軸向變形

不計軸向變形：

W=1W=2W=3W=1θ結論：①結構自由度數(shù)目與質點的個數(shù)無關②結構自由度數(shù)目與超靜定次數(shù)無關（2）廣義坐標法

假定梁的撓度曲線為式中－滿足位移邊界條件的形狀函數(shù)－廣義坐標

廣義坐標的個數(shù)為體系的自由度數(shù)（3）有限單元法

綜合了集中質量法和廣義坐標法的特點。將實際結構離散為有限個單元的集合，以結點位移作為廣義坐標，將無限自由度問題化為有限自由度問題。結點位移的數(shù)目等于體系的自由度數(shù)。本章主要討論集中質量法。

§11-2

單自由度體系的運動方程

實際上，工程中很多問題可化成單自由度體系進行動力分析或進行初步估算。要掌握其動力反應的規(guī)律，必須首先建立其運動方程。下面介紹建立在達朗貝爾原理基礎上的“動力平衡法”。

所謂動力平衡法，就是把由于結構振動引起的慣性力也作為一種靜力，然后根據靜力平衡條件建立運動方程。一.按平衡條件建立運動方程－剛度法

－慣性力－彈性力對隔離體列平衡方程：k－剛度系數(shù)

剛度法步驟：（1）在質點上沿位移正向加慣性力;（2）取質點為隔離體并作受力圖;（3）根據達朗伯原理對質量m列瞬時動力平衡方程，此即體系的運動方程。二.按位移法協(xié)調建立方程－柔度法

1

δ對質量m列位移皇方程：δ－柔置度系勉數(shù)柔度保法步姿驟：（1）在質執(zhí)量上沿析位移正仗方向加揉慣性力桿；（2）求動垮荷載和南慣性力秩引起的句位移；（3）令朗該位宋移與夕質量m的位誓移相嫌等，飛即把得到糧體系像的位升移方承程（掩運動硬方程獨）。三.建立運閉動方程稿例題例1試建肝立圖擾示剛量架（a）的運動姻方程解：捧（1）剛張度法（a）（b）由于役橫梁債剛度新無限腰大，底剛架戀只產租生水鋼平位囑移。哲設橫裕梁在疲某一牲時刻t的水平紀位移為y(t茂),向右旅為正勒。在滲柱頂武設置記附加桶鏈桿鬼（圖b），以y(藏t)作為基距本未知醫(yī)量，用康位移法懲列動平浙衡方程英：令作圖（圖c），求靠得(c價)(d)考慮動王荷載F(永t)和慣哲性力作MP圖，求閉得（2）柔服度法設橫唱梁在異任一短時刻豬的位快移蠻是由之動荷斧載藝和慣太性力銷共雀同作流用產姓生的趣（圖e），所以蕉，運貨動方篇程為：因此陵，橫姐梁的眠位移撲為：作宿圖（圖f）(e)(f瓜)求得所以，律運動方巴程為可見，貞用兩種榮方法求挺解后運證動方程湖相同。一般三來說另，對廳于剛隔架采民用剛面度法抖簡單習，對撲于梁犁采用坐柔度往法簡備單。例2．試建竟立圖勿（a）所示韻剛架的染運動方賤程（不梯計軸向搶變形）。(a敗)(b)解：用柔走度法弱求解圖示妄結構擦質量m只產生廉水平位泳移。設質妖量m在任一時刻t的水欲平位淹移為葉，它是形由動管荷載(c)質量m的位眨移為和慣性睛力作用產止生的，共同向右為剩正。作酸圖，求得所以餡，運恰動方蠢程成欺為例3．試建立遞圖（a）所示廈剛架的料運動方旨程須（不樣計軸向肆變形）。解：仍用柔蓄度法求送解(a若)（b）分析賺同例2，質吊量m的位丟移為作殿圖、饒圖求得(c承)(d)所以，嘴運動方盾程為由此可圓見，動牌力平衡明法建立減單自由設度體系拉的運動斥方程通富常是以蒼質量的綠靜平衡藍位置作要為計算間動位移蔑的起點河，采用非剛度法商還是柔鑄度法要弱視具體色問題，干是求剛拌度系數(shù)普方便，孝還是求滾柔度系挪數(shù)方便甘來定。查對同一婚體系，爹兩種方用程都是拳一樣的原，對于脂單自由烘度體系：。§1施1-急3單自由膠度體系萄的自由杰振動很（萄不計阻老尼）自由振握動－由絕初位移么或初速親度引起趟的，在客運動中久無動荷稍載作用饞的振動卻。分析漸自由恥振動寺的目道的－康確定拳結構獨的動須力特鳥性，造自振訊頻率枝，自招振周鴨期。一.自由桂振動閉運動子方程單自由用度體系陪的自由弱振動及頑相應的頃彈簧－幅質量模浮型如圖皂示。以梯靜平衡禍位置為酒坐標原辣點，在t時刻，到質量m的位移御為y(t蔽)。取質擦量m為隔救離體贏，作向用在或隔離俱體上肅的力捏：彈性揭力蜜－ky甘(t筆)與位移受方向相留反；慣性力船－與加速限度方向莫相反夸。動平衡溉方程：剛度法堂建立平文衡方程獅：（11－1）柔度法肆建立位稈移方程疏：質量m在t時刻菌的位零移y(t尺)是由脅此時杰作用栽在質蘋量上義的慣思性力告產生曲的，派位移每方程屠為：整理稿，(a街)單自洽由度遷體系終：(b蔽)式（11－1）或趁（a）稱扣為無斜阻尼缸單自文由度披體系侮自由含振動越運動喝方程涼（微央分方疾程）二.自由基振動偉運動然方程銹的解無阻堂尼單查自由抖度體投系自胳由振玩動微故分方僅程寫宋為：（13－2）式中其通解光為當初露始條縱件此方抖程為煉二階征齊次聞線性頑常微需分方軟程式（11－3）還文可寫通成（13－4）式中：（13－5）不計微阻尼院時，著單自劉由度掉體系么的自聞由振捕動是瓜由初頂位移類和初涉速度訂引起褲的簡芒諧振名動。方程筑的解乎：（13－3）三.結構的晚自振周您期和自莊振頻率由式鮮（11－4）y(聰t)是周鞭期函私數(shù)－自振龍周期（瀉固有周棍期）－自振漫頻率（固有頻率）1.結構壯自振迷周期壤和自天振頻騾率畏的鍬各種足等勵價計別算公躬式理解配這些澤公式事各符檢號的蜻含義酷，由魔其中眾一個妖公式料便可粉得到些其他鏈公式秧。2.結構攔自振償頻率ω（或自初振周期T）的醬性質自振頻盼率只與賀結構的留質量和伐剛度有冤關，與采外部干變擾因素血無關，曬它是結酸構本身雄固有的耀特性；告改變結悠構的質移量或剛核度可改穿變其固貪有頻率鹽，不管地實際結企構如何瞇，在同咬樣的干蛙擾力下極，固有仔頻率相素同的結司構的動宏力反應膚相同3.簡諧自政由振動進的特性位移加速拜度慣性力位移植與慣會性力猶作同總頻同長步振育動。4.算例例1求圖畢示體槽系的圾自振贊頻率蘿和自湊振周痕期。解圖示雜結構它體系嬸雖有廣兩個她質量進，但濫它們繞沿同抬一直替線（錢水平抱方向盟）運柴動，服故仍岡為單滋自由絡度體嶄系。慕如圖賽（b）示蠶，作認圖柔度瀉系數(shù)自振攏頻率自振株周期例2．圖示慨排架危的橫古梁為軍剛性鎮(zhèn)桿，右質量方為m，柱爐質量挽不計,求其受自振默頻率海。解不考慮壓軸向變萌形，故剩為一單稀自由度辮體系。納作射圖，眨求出自振頻息率剛度球系數(shù)單自由壁度體系漁的強迫棗振動（不層計阻糟尼）§11－4強迫菜振動——結構在巧動荷載牛作用下放的振動單自由凝度體系好在動荷我載下的腥振動及相牧應的猜振動貢模型菌如圖店示:彈性力慣性狐力平衡看方程不同惡的動長荷載門作用扛，體劣系的削動力握反應繁不同煮。常見的錦幾種動勉荷載作霧用下體鴨系的動宇力反應免：或（11－6）式中結構樸的自角振頻賤率式（11－6)為單自嶄由度體吵系強迫劑振動方邪程僅考嶄慮簡叨諧荷名載—荷載于幅值—荷載善的圓針頻率1.運動炭方程度及其純解二階站線性們非齊睬次常劍微分嘆方程通解：齊次絲式解：設特孝解：運動方奴程的通冬解為：由初梯始條食件確息定陡后缸，運來動方閘程的迫解特解為代入方俊程，求仿得（13－7）式（13-異7）中賞前兩健項為貫初始宏條件續(xù)引起閥的自由欲振動;第三倘項為殘荷載蜜（干襪擾力詞）引起的自屆由振動鄉(xiāng)豐，稱為伴生像自由厲振動。實際淺上，削由于桃阻尼掃的存畏在，廳自由差振動部分迎都很沃快衰亮減掉頃。自梢由振即動消扁失前的振動廚階段稱剪為過渡階勺段。第四項朋為按荷膽載頻率θ進行的有振動，薯此項不網隨時間悼而改變誼。當前柴三項由宵于阻尼愈的作用市隨時間等減小到螞可忽略岔時，此選時的振律動僅剩敬余第四魄項，此低階段為缺振動的平穩(wěn)共階段，稱屠為純受迫埋振動或穩(wěn)態(tài)殊振動。2．穩(wěn)態(tài)退振動分稼析（1）穩(wěn)牛態(tài)振嘆動解令－荷闖載幅蜘值作鼠為靜咸荷載毒作用憶時結茂構產馬生的隨靜位坊移最大動位移令（13－8）動力虛放大腳系數(shù)最大倍動位扁移（采振幅戚）（11－9）－最大亦動位優(yōu)移跪與靜沫位移授之比動力系氏數(shù)楚是頻率石比勿的函數(shù)（2）動嚴位移京的討沙論它反映敞了干擾發(fā)力對結構辭的動力慨作用。（a）若時，干擾力堵產生的夕動力作寒用不明揀顯，因此可汽當作靜亮荷載處腸理；極限仆情況俊，即向或患，則私。意天味著絹結構講為剛瞞體或荷載判不隨孫時間案變化瘦，因它此不拔存在振動問發(fā)題。當物時，差為誼增函數(shù)繁。（b）當誼時突，去，共學振為避開與共振，時可改變歐干擾力衣頻率或改變證結構的想自振頻括率解使劫或秧。（c）當書時啟，駛為減函豈數(shù)且，鞠，刮體長系處穿于靜殘止狀醉態(tài)。（3）降低舍振幅的墊措施－頻贈率比白，應使腔頻率圾比減崖小，俯增加平結構的留自振溜頻率尼，增繞大剛析度，野減小怒質量拆；應使頻群率比增碌大，減棗小結構的自顯振頻率斤，減小嫩剛度，增大創(chuàng)質量省。動位劫移幅座值（盛振幅賽）和玩動內睡力幅瘦值的化計算庸計放算步待驟（1）計弄算動乘力系捎數(shù)；（2）計哀算動疊荷載槍幅值頁作為靜荷山載作消用時忌引起究的靜位糾移和浮靜內伸力；（3）將靜食位移和的靜內力差分別乘以姥動力羞系數(shù)拉得炭動位兔移幅值和溜動內力哥幅值。例：爽求簡訓支梁蔬跨中勉最大兩位移謝和最協(xié)大彎蜻矩.已知一簡翠支梁忽，慣切性矩怖為I，彈期性?；⒘繛镋。在臥跨度德中點藍有電躁動機銹重量G，轉速n。由墊于具戚有偏廁心，扔轉動愚時產剪生離賄心力P，P的豎向弱分量為Psi既nθt。忽略驗梁的質媽量，試捎求強迫像振動的寸動力放擇大系數(shù)宴和跨中螺最大撓悟度和跨凡中最大藏彎矩解(1壘)計算倚動力字系數(shù)梁的飼自振竄頻率模：荷載錫頻率動力系驢數(shù)M圖(2)動荷載喂幅值作賊為靜荷諷載作用時轉的位移網和內力(3)動位歡移振女幅和鐮動彎鹽矩幅腰值動位移振幅動彎除矩幅右值(4滅)最大本位移視和最范大彎訪矩簡支斥梁的丘最大株位移吊和最窯大彎頓矩均罷在梁擔跨中鄉(xiāng)豐點跨中血重量G產生的音靜位移跨中的布最大位傅移跨中梳重量G產生屆的靜院彎矩跨中予的最抄大彎信矩§11－5阻尼：體系葉在振動始過程中槍使其能鑰量耗散恩的犁各慣種因素蛋的統(tǒng)稱木。產生次阻尼滅的原帥因：由結構許變形肺中材握料的貨內摩六擦，標支撐濕及結源點等右構件債聯(lián)結斷處摩堵擦及紐奉周圍俯介質建阻力習等。阻尼被力：在振剛動分析串中用于刺替代阻予尼作用瘡的阻礙絨振動的螞力。阻尼紗對振阿動的宋影響采用嚴阻尼感模型賴：粘碰滯阻致尼力――假定朗阻尼艦力的晉大小拘與體厭系振貴動時懲的速虎度成課正比慨，與傅速度想方向脹相反烏，用粗表派示。――阻尼損常數(shù)亡。具有阻拴尼的單新自由度拴體系的江振動模餡型如圖趕（a）示。彈性魚力阻尼力慣性潤力質量m的動怕平衡芬方程洲為：（11－14）一.有阻尼障的自由季振動自由振遲動方程（13－15）令――阻尼比則（13－16）設脊解為特征垂方程（11－17）特征偵根1.三種晶運動槐形態(tài)(1)瓶.歷(小阻尼能情況)有阻慈尼頻攀率（11－19）方程虧（11－16）的哀解（11－20）由初四始條到件式中或方程喂的解寫祥為（13－20）振幅小阻尼嘴情況下白的自由疫振動是稱按指數(shù)視規(guī)律衰糾減的簡敵諧運動椅。相位角（13－22）（13－21）方程（11－16）解不振動（3）（超阻緞尼情況嘗）不振動（2）（臨賢界阻磚尼情寫況）――臨界秘阻尼俊系數(shù)（11－23）（11－24）2.小阻尼擦時自由坦振動分愉析振動險方程頻率周期(1勺)小阻娃尼的貍自由飼振動產是一掛個衰漫減振暢動；(2歷)在梨時演，阻尼刺對自振控頻率的茫影響可電忽略；鋼筋混得凝土結蠢構：鋼結構從：左右(3任)阻尼比細的確定振幅對澤數(shù)衰減部率還可座表示可為（11－25）阻尼遠比（11－26）（11－27）利用級上式巖，通搭過實束驗可齡確定后體系奶的阻批尼比罰。例：縫對圖示效剛架作絨自由振聞動實驗蔬。設剛奴架的質首量m均集中啞在橫梁私處，橫眨梁海。箱在剛架謹橫梁處朋加一水許平力竊，測娃得側移逐。然油后突然辯卸載，級剛架產叨生自由虹振動，銀測得周遮期杏，及一抽個周期院后剛架鉗的側移緞為削。求系剛架的似阻尼比秀和阻尼藥系數(shù)。解阻尼比阻尼陽系數(shù)二．有墾阻尼的競強迫振考動式（11－14）有擇阻尼棍強迫也振動塘方程器中，不同，苗結構的槍動力反蓄應不同堂。僅考慮腸簡諧荷獲載運動御方程啊及其梅解或（11－28）通解齊次解（1）（11－29）設攜特解運動水方程貨的全織解：式中坑由礙初始條堅件確定塘。由于南阻尼的袍作用，惡含有體的第餡一部分賠的振動臘將逐漸（11－30）（11－31）（11－32）（11－33）(2)穩(wěn)態(tài)振翼動分析穩(wěn)態(tài)劑振動辰方程哀可寫易為振幅（11－35）衰減易消失譽；與艇動荷妥載頻片率莖相芽同的羊第二勵部分出振動謎不衰輔減，落稱為餅穩(wěn)態(tài)售振動寄（純季受迫訪振動膜）。（11－34）相位滿角當捏時，動力系易數(shù)（11－36）阻尼對揀振幅的嶺影響：①隨蜻增大臣而減小激；②當孝時，③當毛時，牽共振跑，，；與頻紹率比動力系許數(shù)和阻繼尼有關。阻尼在撐共振區(qū)內影響根顯著，蕉不能忽催略；在皺共振區(qū)獸外，為脈簡化，彈偏安全統(tǒng)考慮可銳不計阻辜尼的影必響。④并不發(fā)洗生在寒處諒。通常情果況下，很小，（11－37）§1勉1-小6多自冠由度田體系哀的自纏由振蹲動工程榴中，汽很多邊實際再結構燥可簡購化為叫單自棒由度鑄體系妖進行肉計算余，但黨要進藏行更臺加精冒確地聰分析殃，以柏及對脊于絕提大多擦數(shù)實聾際結違構必萄須作自為多黑自由血度體祝系進塘行計聯(lián)算。多自歸由度壞體系丈自由悔振動初分析塔的目廣的是藥確定麗體系專的動件力特稍性――自振頻繭率和振引型。多自甲由度滾體系慢自由斬振動醒的求潛解方口法：模剛度褲法，蛇柔度夾法。一.剛度廣法1.兩個候自由叛度體悅系（1）自疾由振稍動微像分方梨程慣性力盯，（11慨-4嗚1）彈性力（2）頻箱率方壁程和陰自振歌頻率設方程抽的特解泉：即兩質返量作簡胳諧振動代入泛方程遲（11雅-4罰1），得貫位移幅佳值方程兩質讀量的滔動平冠衡方攔程（11-買42）頻率方撐程解頻腿率方彈程得截兩之個根捎：咽，超規(guī)定－第一押頻率或辟基本頻垮率，腎－媽第二頻林率（11-懶43）（3）主跡振型將撕代歐入式驗（11-糕42），俱得質點著的振券動方董程為（11淋-4簽4）體系按角振動有仰如下特灶點：①兩質肯量同作頻同弓步②任意時典刻，兩判質量的征位移比斷值，速肉度比值閃保持不談變且相江等這說淋明體底系的標變形餅形式群不變豆，此廟振動鉗形式步稱為主振型，簡稱振型。為與乳相對懼應的揪振型菌，稱茄為第到一振奇型或基層本振熄型。定義：體系上帳所有質非量按相功同頻率頓作自由婚振動時茂的振動貼形狀稱繁體系的躁主振型精。③按第一貞振型自荷由振動邁的條件④振型良與頻隱率一羞樣是裝體系聚本身搬固有明的屬諷性，列與外嘩界因鳳素無效關。同理，施將破代入代式（11-榴42），得候到（11誤-4咐5）即第二居振型圖示轟兩個眨振型第一飾主振弱型第二主斯振型2．n個自黑由度飲體系自由青振動揭微分搬方程程組：其矩陣澡表達式伍：（11-母47）（11源-4肚6）頻率亞方程（11-違48）解頻率煉方程，矩得女的n個根翻：且鉆，氧，從迅小到借大得檔排列票，依教次稱疾為第嬌一頻束率（滔或基出本頻例率）遮、第蹄二頻靜率其。將自澤振頻悉率代肺入得出稻對悠應的主敞振型向踏量謀。這n個主振甘型線性攻無關。慣性腳力眨，宏作用佛下產振生的精靜位移。二.柔度腫法1.兩個自蒙由度體縣系（1）自由妖振動微雅分方程質量憑在眾任意筍時刻圾的位忍移棋為此竄時（