自動控制原理四

第四節(jié)二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)5/17/20231一、典型二階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)

下圖所示為穩(wěn)定的二階系統(tǒng)的典型結(jié)構(gòu)圖。開環(huán)傳遞函數(shù)為:閉環(huán)傳遞函數(shù)為:-這是最常見的一種系統(tǒng)，很多高階系統(tǒng)也可簡化為二階系統(tǒng)。稱為典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)，稱為阻尼系數(shù)，稱為無阻尼振蕩圓頻率或自然頻率。5/17/20232特征根為：，注意：當(dāng)不同時，（極點）有不同的形式，其階躍響應(yīng)的形式也不同。它的階躍響應(yīng)有振蕩和非振蕩兩種情況。特征方程為：⒈當(dāng)時，特征方程有一對共軛的虛根，稱為零(無)阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為持續(xù)的等幅振蕩。⒉當(dāng)時，特征方程有一對實部為負(fù)的共軛復(fù)根，稱為欠阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為衰減的振蕩過程。⒊當(dāng)時，特征方程有一對相等的實根，稱為臨界阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。⒋當(dāng)時，特征方程有一對不等的實根，稱為過阻尼系統(tǒng)，系統(tǒng)的階躍響應(yīng)為非振蕩過程。5/17/20233當(dāng)輸入為單位階躍函數(shù)時，，有：[分析]：當(dāng)時，極點為：此時輸出將以頻率做等幅振蕩，所以，稱為無阻尼振蕩圓頻率。5/17/20234兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)為：當(dāng)時，極點為：極點的負(fù)實部決定了指數(shù)衰減的快慢，虛部是振蕩頻率。稱為阻尼振蕩圓頻率。5/17/20235兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)階躍響應(yīng)函數(shù)為：當(dāng)時，極點為：5/17/20236兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)當(dāng)時，極點為：即特征方程為特征方程還可為5/17/20237兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)因此過阻尼二階系統(tǒng)可以看作兩個時間常數(shù)不同的慣性環(huán)節(jié)的串聯(lián)，其單位階躍響應(yīng)為于是閉環(huán)傳函為：這里，式中5/17/20238

上述四種情況分別稱為二階無阻尼、欠阻尼、臨界阻尼和過阻尼系統(tǒng)。其阻尼系數(shù)、特征根、極點分布和單位階躍響應(yīng)如下表所示：單位階躍響應(yīng)極點位置特征根阻尼系數(shù)單調(diào)上升兩個互異負(fù)實根單調(diào)上升一對負(fù)實重根

衰減振蕩一對共軛復(fù)根(左半平面）

等幅周期振蕩一對共軛虛根

典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)5/17/20239典型兩階系統(tǒng)的瞬態(tài)響應(yīng)可以看出：隨著的增加，c(t)將從無衰減的周期運動變?yōu)橛兴p的正弦運動，當(dāng)時c(t)呈現(xiàn)單調(diào)上升運動(無振蕩)?？梢姺从硨嶋H系統(tǒng)的阻尼情況，故稱為阻尼系數(shù)。5/17/202310衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)二、典型二階系統(tǒng)的性能指標(biāo)及其與系統(tǒng)參數(shù)的關(guān)系（一）衰減振蕩瞬態(tài)過程：⒈上升時間：根據(jù)定義，當(dāng)時，。解得：5/17/202311稱為阻尼角，這是由于。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)5/17/202312衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)⒉峰值時間：當(dāng)時，整理得：由于出現(xiàn)在第一次峰值時間，取n=1，有：其中5/17/202313衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)5/17/202314⒊最大超調(diào)量：故：衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)將峰值時間代入5/17/202315衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)5/17/202316衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)⒋調(diào)節(jié)時間：可見，寫出調(diào)節(jié)時間的表達(dá)式是困難的。由右圖可知響應(yīng)曲線總在一對包絡(luò)線之內(nèi)。包絡(luò)線為根據(jù)調(diào)節(jié)時間的定義，當(dāng)t≥ts時|c(t)-c(∞)|≤c(∞)×Δ%。5/17/202317當(dāng)t=t’s時，有：由于實際響應(yīng)曲線的收斂速度比包絡(luò)線的收斂速度要快因此可用包絡(luò)線代替實際響應(yīng)來估算調(diào)節(jié)時間。即認(rèn)為響應(yīng)曲線的包絡(luò)線進(jìn)入誤差帶時，調(diào)整過程結(jié)束。衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)5/17/202318當(dāng)較小時，近似?。?，且所以衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)5/17/202319衰減振蕩瞬態(tài)過程的性能指標(biāo)5/17/202320衰減振幸蕩瞬態(tài)向過程的惜性能指遷標(biāo)5/前4/北20體2321⒌良振蕩次關(guān)數(shù)N：衰減振為蕩瞬態(tài)創(chuàng)過程的熄性能指復(fù)標(biāo)由分析知，在之間，調(diào)節(jié)時間和超調(diào)量都較小。工程上常取作為設(shè)計依據(jù)，稱為最佳阻尼常數(shù)。5/4怕/20悔2322非振蕩而瞬態(tài)伐過程寶的性器能指眉標(biāo)這是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。利用牛頓迭代公式（二）非振蕩瞬態(tài)過程：⒈對于，極點為：牛頓迭代公式：對其根可迭代求出5/范4/晴20完2323非振蕩卡瞬態(tài)伶過程縮慧的性駐能指裂標(biāo)在c(t)中，有兩個衰減指數(shù)項，所以是一個單調(diào)上升的過程。用調(diào)整時間就可以描述瞬態(tài)過程的性能。⒉對于，極點為：當(dāng)時利用舟牛頓碎迭代爽公式華可得當(dāng)時，，這時可用一階系統(tǒng)來近似5/4該/20固2324非振蕩瞬今態(tài)過程步的性能夾指標(biāo)5/貪4/小20質(zhì)2325非振蕩瞬或態(tài)過程興的性能寨指標(biāo)當(dāng)時，系統(tǒng)也具有單調(diào)非振蕩的瞬間過程，是單調(diào)非振蕩的臨界狀態(tài)。在非振蕩過程中，它的最小。通常，都希望控制系統(tǒng)有較快的響應(yīng)時間，即希望希統(tǒng)的阻尼系數(shù)在0~1之間。而不希望處于過阻尼情況，因為調(diào)節(jié)時間過長。但對于一些特殊的系統(tǒng)不希望出現(xiàn)超調(diào)系統(tǒng)（如液位控制）和大慣性系統(tǒng)（如加熱裝置），則可以處于情況。當(dāng)時，極點遠(yuǎn)離虛軸，且c(t)中包含極點s2的衰減項的系數(shù)小，所以由極點s2引起的指數(shù)項衰減的很快，因此，在瞬態(tài)過程中可以忽略s2的影響，把二階系統(tǒng)近似為一階系統(tǒng)。5/4鑼/20妻2326阻尼系數(shù)是二階系統(tǒng)的一個重要參數(shù)，用它可以間接地判斷一個二階系統(tǒng)的瞬態(tài)品質(zhì)。在的情況下瞬態(tài)特性為單調(diào)變化曲線，無超調(diào)和振蕩，但長。當(dāng)時，輸出量作等幅振蕩或發(fā)散振蕩，系統(tǒng)不能穩(wěn)定工作。[總結(jié)遞]在欠阻尼情況下工作時，若過小，則超調(diào)量大，振蕩次數(shù)多，調(diào)節(jié)時間長，瞬態(tài)控制品質(zhì)差。注意到只與有關(guān)，所以一般根據(jù)來選擇。越大，（當(dāng)一定時）為了限制超調(diào)量，并使較小，一般取0.4~0.8，則超調(diào)量在25%~1.5%之間。5/胞4/歲20嗓2327阻尼哄系數(shù)伍、阻耍尼角杰與最感大超轟調(diào)量稠的關(guān)猶系zb=cos-1zd%zb=cos-1zd%0.184.26°72.90.6950.278.46°52.70.745.57°4.60.372.54°37.230.70745°4.30.466.42°25.380.7820.560°16.30.836.87°1.50.653.13°9.840.925.84°0.155/甚4/圣20歉2328瞬態(tài)題過程廈的性咳能指日標(biāo)例蕉子[例]：求系統(tǒng)的特征參數(shù)并分析與性能指標(biāo)的關(guān)系：[解]剖：閉環(huán)陜傳遞函筑數(shù)為：時，。快速性好，振蕩加劇；時，下面分析瞬態(tài)性能指標(biāo)和系統(tǒng)參數(shù)之間的關(guān)系：（假設(shè)）5/4閱/20聰2329改善辨二階窩系統(tǒng)姐響應(yīng)悲特性擱的措欺施三、改兩善二階憶系統(tǒng)響權(quán)應(yīng)特性野的措施二階系澇統(tǒng)超調(diào)健產(chǎn)生過眉程[0,t1]誤差信甩號為正護(hù)，產(chǎn)生駁正向修屬正作用償，以使騙誤差減屋小，但煉因系統(tǒng)屑阻尼系翼數(shù)小，汽正向速奔度大，賠造成響霉應(yīng)出現(xiàn)恰正向超絞調(diào)。[t1,t2]誤差搜信號橫為負(fù)，產(chǎn)生已反向芝修正困作用槽，但理開始單反向鞠修正侄作用暫不夠?qū)W大，揚經(jīng)過墳一段剩時間用才使單正向節(jié)速度巴為零摔，此遙時輸邊出達(dá)概到最陵大值嚴(yán)。[t2,t3]誤差慕信號圾為負(fù)，此時反竿向修正罷作用，驅(qū)大，使訪輸出返僑回過程殃中又穿河過穩(wěn)態(tài)威值，出根現(xiàn)反向辦超調(diào)。[t3,t4]誤差北信號散為正，產(chǎn)生包正向叛修正克作用蕩，但凳開始楊正向補(bǔ)修正專作用鏟不夠買大，測經(jīng)過春一段窗時間血才使惜反向酒速度統(tǒng)為零隆，此等時輸比出達(dá)爺?shù)椒炊断蜃顕诖笾当K。5/4撒/20廟2330改善炊二階甩系統(tǒng)妻響應(yīng)伶特性師的措狀施二階系句統(tǒng)超調(diào)累產(chǎn)生原宿因[0,t1]正向修巧正作用筋太大，折特別在房誠靠近t1點時。[t1,t2]反向榜修正色作用烘不足復(fù)。減小至二階富系統(tǒng)反超調(diào)惕的思女路[0徹,t1]減小妖正向否修正抖作用晉。附完加與乘原誤虜差信拼號相波反的菌信號反。[t1,t2]加大漂反向遠(yuǎn)修正軌作用令。附尺加與敘原誤瀉差信歷號同談向的拾信號扁。[t2,t3]減小反挪向修正懷作用。離附加與恥原誤差振信號相羨反的信定號。[t3,t4]加大差正向蠅修正兔作用慘。附胖加與職原誤偶差信況號同他向的童信號堆。即在酬[0巧,t2]內(nèi)附州加一崖個負(fù)俗信號若，在帽[t2,t4]內(nèi)附脫加一狗個正犧信號勵。減去刊輸出幫的微撐分或加上狠誤差煤的微碑分都具陰有這紀(jì)種效沈果。5/4殖/20噴2331改善二睬階系統(tǒng)聾響應(yīng)特流性的措漠施a.輸出量滾的速度拜反饋控膛制--+-b.誤差渡的比午例+欄微分俱控制將輸抱出量粗的速紙度信甩號c’兩(t仇)采用負(fù)焦反饋形須式反饋床到輸入墳端并與風(fēng)誤差信趣號e(t們)比較著，構(gòu)卷成一朽個內(nèi)委反饋期回路漁。簡驚稱速朗度反朝饋。以誤干差信忠號e(t刻)與誤潮差信雞號的棟微分儀信號e’(令t)的和家產(chǎn)生免控制蒙作用孕。簡株稱PI控制謊。又脆稱微滑分順堵饋為了廢改善但系統(tǒng)覽性能利而改愧變系緞統(tǒng)的勉結(jié)構(gòu)繭、參嚷數(shù)或閥附加哈具有澡一定島功能王的環(huán)唉節(jié)的跑方法伸稱為窗對系則統(tǒng)進(jìn)儲行?；闭?。原附加閃環(huán)節(jié)壓稱為評校正膝環(huán)節(jié)蠢。速度暮反饋銀和速撞度順獸饋是妄較常臂用的瓣校正備方法辛。5/4熱/20折2332改善型二階恒系統(tǒng)向響應(yīng)缺特性交的措蓄施a.輸出量煎的速度州反饋控鎮(zhèn)制---與典型二階系統(tǒng)的標(biāo)準(zhǔn)形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。5/4僅/20膜2333改善二衡階系統(tǒng)膝響應(yīng)特紡性的措科施+-b.誤差的羨比例+氏微分控佩制-與典型來二階系裙統(tǒng)的標(biāo)辨準(zhǔn)形式比較⒈不改變無阻尼振蕩頻率⒉等效阻尼系數(shù)為由于，即等效阻尼系數(shù)加大，將使超調(diào)量δ%和調(diào)節(jié)時間ts變小。⒊閉環(huán)傳遞函數(shù)有零點，將會給系統(tǒng)帶來影響。5/宋4/帶20弊2334改善二根階系統(tǒng)假響應(yīng)特隔性的措甚施c.比例+樸微分控蔥制與速前度反饋鋪控制的混關(guān)系--比例結(jié)+微譯分控小制相芹當(dāng)于新分別裳對輸撈入信溜號和餅反饋悼信號拆進(jìn)行纖比例巧+微纏分。荷其中段對反飄饋信迷號進(jìn)倦行比聾例+懂微分脂相當(dāng)靈于速移度反澇饋。末所以載誤差錫的比匹例+妥微分姓控制宮相當(dāng)類于輸撐出的龜速度滔反饋胃構(gòu)成笛的閉踏環(huán)系蠅統(tǒng)再笨串聯(lián)透比例王+微美分環(huán)營節(jié)。替因此犧可以炎將其逆分別梨討論則。-5/閘4/麻20宮2335具有騙零點徐的二朗階系旬統(tǒng)零極點分布圖四、具供有零點靠的二階啞系統(tǒng)分寬析具有零點的二階系統(tǒng)比典型的二階系統(tǒng)多一個零點，(和不變)。其閉環(huán)傳遞函數(shù)為：，零點為：具有零點的二階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)為：5/紹4/違20薦2336由上圖可看出：使得比響應(yīng)迅速且有較大超調(diào)量。具有撫零點聞的二趨階系明統(tǒng)分遍析5/4鎮(zhèn)/20佛2337設(shè)為零點和極點實部之比具有樂零點闊的二卸階系估統(tǒng)分并析5/雷4/各20洗2338具有諒零點濟(jì)的二乏階系伶統(tǒng)分難析具有零制點的二業(yè)階系統(tǒng)批階躍響蜓應(yīng)為：式中：，零極點分布圖5/4掙/20挽2339具有果零點飾的二院階系斤統(tǒng)分娛析根據(jù)上去式可以或得出主屋要性能誼指標(biāo)如敬下：式中：，，5/閑4/量20蕩2340具有零錦點的二肆階系統(tǒng)扔分析具有廣零點屯的二畢階系械統(tǒng)階斃躍響外應(yīng)為袖：5/4舉/20攏2341比例壤+微敏分控阻制的響性能+-比例+康微分控里制的性以能顯然，這是一個典型二階環(huán)節(jié)加微分順饋。不同的是其原二階環(huán)節(jié)的阻尼系數(shù)增加了，變?yōu)椋鵁o阻尼振蕩頻率不變。我們知道，當(dāng)阻尼系數(shù)不變時，附加零點會使系統(tǒng)的超調(diào)量增大。但是，增加了順饋環(huán)節(jié)雖然增加了一個零點，卻使系統(tǒng)的阻尼系數(shù)增加了。一般來講，超調(diào)量會下降。這樣，就能改善系統(tǒng)的瞬態(tài)性能。5/4續(xù)/20啦2342具有零今點的二母階系統(tǒng)魄分析5/事4/島20圍2343我們可以不證明地給出c(t)的緊湊形式：20根據(jù)上式可以得出主要性能指標(biāo)如下：①②③具有甜零點農(nóng)的二倍階系盼統(tǒng)分彈析5/刷4/升20喇2344瞬態(tài)成過程都的性歡能指延標(biāo)例刮3-噴1[解]：①③當(dāng)T不變時，T=0.25，②[例3-1]：如圖所示系統(tǒng)，試求：①和;②和③若要求時，當(dāng)T不變時K=?5/4裙/20峽2345瞬態(tài)畢過程錦的性重能指色標(biāo)例阿3-煩2[解]：系統(tǒng)的閉環(huán)傳遞函數(shù)為：[例3-2]：上例中，用速度反饋改善系統(tǒng)的性能。如下圖所示。為使，求的值。并計算加入速度反饋后的瞬態(tài)指標(biāo)。--165/將4/淺20良2346這時徐的瞬俱態(tài)性離能指恒標(biāo)為受：瞬態(tài)狀過程耽的性徐能指沙標(biāo)例房誠3-慌2顯然，加入了速度反饋后，不變，而增加了倍。上例中，若要求，則：5/4崖/20旨2347具有綁零點墊的二易階系相統(tǒng)性五能指柜標(biāo)與講實例[解]：[例3-3]對典型的二階系統(tǒng)（）采用微分順饋校正。為使，試確定順饋系數(shù)和。5/狗4/姿20菜2348具有零冷點的二德階系統(tǒng)賭性能指翅標(biāo)與實姐例與未加微分順饋時比較：

顯然，加了微分順饋后，瞬態(tài)品質(zhì)提高了。表三識羅列介了典民型二漠階系膨統(tǒng)，羞附加百速度騙反饋重，附剪加微對分順蘿饋后樂的性趴能指惡標(biāo)。5/4希/20翅2349五、擾逢動作用完下典型蘭二階系放統(tǒng)的分陡析擾動作晌用下