一階電路響應(yīng)

一階電路響應(yīng)以下均為個人理解，如有錯誤，請大佬指出，小生立馬就改正。以下均為理想化的模型。換路的概念在講接下來的主要內(nèi)容前，我們要先說明下什么是換路。換路就是電路工作狀態(tài)的改變，比如突然接入或切除電源，改變電路結(jié)構(gòu)或電路元件參數(shù)等換路定律：電容：由電容電壓連續(xù)性定理可知，如果在換路時刻電容電流有界，則電容電壓在換路時刻不能躍變，且連續(xù)，即uC(0+)=uC(0-)=uC(0)。電感：由電感電流連續(xù)性定理可知：如果在換路時刻電感電壓有界，則電感電流在換路時刻不能躍變，且連續(xù)，即iL(0+)=iL(0-)=iL(0)。1.一階電路響應(yīng)的零輸入響應(yīng)換路后外加激勵為零，僅由動態(tài)元件初始儲能產(chǎn)生的電壓和電流。1.1RC電路的零輸入響應(yīng)已知uCu_CuC?(0-)=uCu_CuC?(0+)=U0U_0U0?由基爾霍夫電壓定律（KVL）可知：-uRu_RuR?+uCu_CuC?=0（式1）。由此可知:i=-Cducdt\frac{duc}{dt}dtduc?（式2）uRu_RuR?=Ri將（式2）帶入（式1）可得：RCducdt\frac{duc}{dt}dtduc?+uCu_CuC?=0表明：①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；②響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與RC有關(guān);令T=RC,稱T為一階電路響應(yīng)的時間常數(shù)。一階電路響應(yīng)的時間常數(shù)T=RC時間常數(shù)T的大小反映了電路過渡過程時間的長短T大→過渡過程時間長T小→過渡過程時間短C大（R一定）W=Cu2u^2u2/2儲能大放電時間長R大（C一定）i=u/R放電電流小放電時間長。時間常數(shù)T的幾何意義：uc=U0e?tRCu_c=U_0e^{-\frac{t}{RC}}uc?=U0?e?RCt?能量關(guān)系:電容不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢W=12CU02W={\frac{1}{2}}CU_0{^2}W=21?CU0?21.2RL電路的零輸入響應(yīng)iL(0+)=iL(0?)=USR1+R=I0i_L(0+)=i_L(0-)={\frac{U_S}{R_1+R}}=I_0iL?(0+)=iL?(0?)=R1?+RUS??=I0?LdiLdt+RiL=0(t≥0)L{\frac{di_L}{dt}}+Ri_L=0(t\geq0)LdtdiL??+RiL?=0(t≥0)。由以上兩條式子，得出如下方程：iL(t)=I0e?RLti_L(t)=I_0e^{-{\frac{R}{L}}t}iL?(t)=I0?e?LR?tuL(t)=LdiLdt=?RI0e?RLtu_L(t)=L{\frac{di_L}{dt}}=-RI_0e^{-{\frac{R}{L}}t}uL?(t)=LdtdiL??=?RI0?e?LR?t。表明：①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律衰減的函數(shù)；②響應(yīng)與初始狀態(tài)成線性關(guān)系，其衰減快慢與L/R有關(guān);一階RL電路時間常數(shù):T=LRT={\frac{L}{R}}T=RL?③時間常數(shù)T的大小反映了電路過渡過程時間的長短T大→過渡過程時間長T小→過渡過程時間短能量關(guān)系：電感不斷釋放能量被電阻吸收,直到全部消耗完畢。12LI02{\frac{1}{2}}LI_0{^2}21?LI0?2。1.3結(jié)論①一階電路響應(yīng)的零輸入響應(yīng)是由儲能元件的初值引起的響應(yīng),都是由初始值衰減為零的指數(shù)衰減函數(shù)。②衰減快慢取決于時間常數(shù)TT=RCT=RCT=RCT=LRT={\frac{L}{R}}T=RL?R為與動態(tài)元件相連的一端口電路的等效電阻。③同一電路中所有響應(yīng)具有相同的時間常數(shù)。④一階電路響應(yīng)的零輸入響應(yīng)和初始值成正比，稱為零輸入線性。2.一階電路響應(yīng)的零狀態(tài)響應(yīng)零狀態(tài)響應(yīng)：動態(tài)元件初始能量為零，由t>0電路中，外加激勵作用所產(chǎn)生的響應(yīng)2.1RC電路的零狀態(tài)響應(yīng)uC=US(1?e?tRC)u_C=U_S(1-e^{-{\frac{t}{RC}}})uC?=US?(1?e?RCt?)由上式可知：i=USRe?tRCi={\frac{U_S}{R}}e^{-{\frac{t}{RC}}}i=RUS??e?RCt?。表明：①電壓、電流是隨時間按同一指數(shù)規(guī)律變化的函數(shù)；②電容電壓由兩部分構(gòu)成：穩(wěn)態(tài)分量（強制分量）+暫態(tài)分量（自由分量）③響應(yīng)變化的快慢，由時間常數(shù)T＝RC決定；T大，充電慢，T小充電就快。④能量關(guān)系：電源提供的能量：CUS2U_S^2US2?電阻消耗的能量：12{\frac{1}{2}}21?CCCUS2U_S^2US2?電容儲存的能量：12{\frac{1}{2}}21?CCCUS2U_S^2US2?。表明：①電源提供的能量一半消耗在電阻上，一半轉(zhuǎn)換成電場能量儲存在電容中。2.2RL電路的零狀態(tài)響應(yīng)iL=USR(1?e?RLt)i_L={\frac{U_S}{R}}(1-e^{-{\frac{R}{L}}t})iL?=RUS??(1?e?LR?t)同理，由上式可知：uL=USe?RLtu_L=U_Se^{-{\frac{R}{L}}t}uL?=US?e?LR?t3.直流一階電路響應(yīng)的三要素法三要素法是一種求解直流一階電路響應(yīng)的簡便方法。它可用于求解電路任一變量的零輸入響應(yīng)和直流源作用下的零狀態(tài)響應(yīng)、全響應(yīng)。被求解的變量既可以是狀態(tài)變量，也可是非狀態(tài)變量。三要素法的依據(jù)是：直流一階電路響應(yīng)中的響應(yīng)都有初始值和穩(wěn)態(tài)值，而且響應(yīng)都是從初始值開始按指數(shù)規(guī)律變化(增長或衰減)并趨向于穩(wěn)態(tài)值的，其變化過程唯一地由電路的時間常數(shù)T決定；同一一階電路響應(yīng)中各支路電流和電壓的時間常數(shù)是相同的。在直流一階電路響應(yīng)中，響應(yīng)隨時間變化的方式有兩種可能的情況,如上圖所示。表示為：f(t)=f(∞)+[f(0+)?f(∞)]e?tTf(t)=f(∞)+[f(0_+)-f(∞)]e^{-{\frac{t}{T}}}f(t)=f(∞)+[f(0+?)?f(∞)]e?Tt?其中：f(t)可以是電路中任一支路電流或電壓；f(0+)(0_+)(0+?)表示該電流或電壓的初始值；f(∞)表示該電流或電壓的穩(wěn)態(tài)值；T表示電路的時間常數(shù)。在直流一階電路響應(yīng)的分析中把這種通過先求出初始值、穩(wěn)態(tài)值、時間常數(shù)，然后根據(jù)這三個要素確定響應(yīng)的方法，稱為三要素法。3.1三要素法求解步驟（1）求初始值f(0+)。①求出電容電壓初始值uCu_CuC?(0+0_+0+?)或電感電流初始值iL(0+)；②用電壓為uC(0+)的直流電壓源等效電容或用電流為iL(0+)的直流電流源置換電感，所得電路為一直流電阻電路，稱為t=0+時的等效電路，由此電路可求得任一支路電壓或電流的初始值，即f(0+)。（2）求穩(wěn)態(tài)值f(∞)。用開路置換電容或用短路置換電感，所得到的電路為一直流電阻電路，稱為t=∞時的等效電路，由此電路可以得任一支路電壓或電流的穩(wěn)態(tài)值，即f(∞)。（3）求時間常數(shù)。①求出接在動態(tài)元件兩端的單口電阻網(wǎng)絡(luò)的戴維南等效電