平面向量的基本概念

平面向量的基本概念平面向量的基本概念/NUMPAGES15平面向量的基本概念平面向量的基本概念平面向量的實(shí)際背景及基本概念1.向量的概念：我們把既有大小又有方向的量叫向量。2.數(shù)量的概念：只有大小沒有方向的量叫做數(shù)量。數(shù)量與向量的區(qū)別：數(shù)量只有大小，是一個代數(shù)量，可以進(jìn)行代數(shù)運(yùn)算、比較大小；向量有方向，大小，雙重性，不能比較大小.有向線段：帶有方向的線段叫做有向線段。有向線段的三要素：起點(diǎn)，大小，方向A(A(起點(diǎn))B（終點(diǎn)）a5.有向線段與向量的區(qū)別；（1）相同點(diǎn)：都有大小和方向（2）不同點(diǎn)：①有向線段有起點(diǎn)，方向和長度，只要起點(diǎn)不同就是不同的有向線段比如：上面兩個有向線段是不同的有向線段。②向量只有大小和方向，并且是可以平移的，比如：在①中的兩個有向線段表示相同（等）的向量。③向量是用有向線段來表示的，可以認(rèn)為向量是由多個有向線段連接而成6.向量的表示方法：①用有向線段表示；②用字母ａ、ｂ（黑體，印刷用）等表示；③用有向線段的起點(diǎn)與終點(diǎn)字母：；7.向量的模：向量的大?。ㄩL度）稱為向量的模，記作||.8.零向量、單位向量概念：長度為零的向量稱為零向量，記為：0。長度為1的向量稱為單位向量。9.平行向量定義：①方向相同或相反的非零向量叫平行向量；②我們規(guī)定0與任一向量平行.即：0∥ａ。說明：（1）綜合①、②才是平行向量的完整定義；（2）向量ａ、ｂ、ｃ平行，記作ａ∥ｂ∥ｃ.10.相等向量長度相等且方向相同的向量叫相等向量.說明：（1）向量ａ與ｂ相等，記作ａ＝ｂ；（2）零向量與零向量相等；（3）任意兩個相等的非零向量，都可用同一條有向線段來表示，并且與有向線段的起點(diǎn)無關(guān).11.共線向量與平行向量關(guān)系：BAOCBAOCDEF說明：（1）平行向量是可以在同一直線上的。（2）共線向量是可以相互平行的。例1.判斷下列說法是否正確，為什么？（1）平行向量是否一定方向相同？（2）不相等的向量是否一定不平行？（3）與零向量相等的向量必定是什么向量？（4）與任意向量都平行的向量是什么向量？（5）若兩個向量在同一直線上，則這兩個向量一定是什么向量？（6）兩個非零向量相等當(dāng)且僅當(dāng)什么？（7）共線向量一定在同一直線上嗎？解析：（1）不是，方向可以相反，可有定義得出。（2）不是，當(dāng)兩個向量方向相同的時候，只要長度不相等就不是相等向量，但是是平行的。（3）零向量（4）零向量（5）共線向量（平行向量（6）長度相等且方向相同（7）不一定，可以平行。例2.下列命題正確的是（）A.ａ與ｂ共線，ｂ與ｃ共線，則ａ與c也共線B.任意兩個相等的非零向量的始點(diǎn)與終點(diǎn)是平行四邊形的四頂點(diǎn)C.向量ａ與ｂ不共線，則ａ與ｂ都是非零向量D.有相同起點(diǎn)的兩個非零向量不平行解：由于零向量與任一向量都共線，所以A不正確；由于數(shù)學(xué)中研究的向量是自由向量，所以兩個相等的非零向量可以在同一直線上，而此時就構(gòu)不成四邊形，根本不可能是一個平行四邊形的四個頂點(diǎn)，所以B不正確；向量的平行只要方向相同或相反即可，與起點(diǎn)是否相同無關(guān)，所以Ｄ不正確；對于C，其條件以否定形式給出，所以可從其逆否命題來入手考慮，假若ａ與ｂ不都是非零向量，即ａ與ｂ至少有一個是零向量，而由零向量與任一向量都共線，可有ａ與ｂ共線，不符合已知條件，所以有ａ與ｂ都是非零向量，所以應(yīng)選C.例3.如右圖所示，設(shè)O是正六邊形ABCDEF的中心，分別寫出圖中與向量相等的向量。解：按照向量相等的定義可知：向量的加法運(yùn)算及其幾何意義１．向量的加法：求兩個向量和的運(yùn)算，叫做向量的加法.２．三角形法則（記憶口訣：“首尾相接，從頭指尾”）3.三角形法則的來由如圖，已知向量a、ｂ.在平面內(nèi)任取一點(diǎn)，作＝a，＝ｂ，則向量叫做a與ｂ的和，記作a＋ｂ，即a＋ｂ，規(guī)定：a+0-=0+aAABCa+ba+baabbaｂba+ba4.向量加法的字母公式：5.平行四邊形法則圖1如圖1,以同一點(diǎn)O為起點(diǎn)的兩個已知向量a、b為鄰邊作平行四邊形,則以O(shè)為起點(diǎn)的對角線就是a與b的和.我們把這種作兩個向量和的方法叫做向量加法的平行四邊形法則.6.平行四邊形法則與三角形法則的區(qū)別：平行四邊形法則是將兩個向量的起點(diǎn)放在一起做出平行四邊形，最終和向量的結(jié)果的起點(diǎn)和兩個分向量的起點(diǎn)是同一起點(diǎn)。三角形法則要求第一個向量終點(diǎn)和第二個向量的起點(diǎn)連接在一起，然后連接第一個向量的起點(diǎn)和第二個向量的終點(diǎn)組成三角形，最終和向量的結(jié)果是：由第一個向量的起點(diǎn)指向第二個向量的終點(diǎn)。一般結(jié)論當(dāng)a,b不共線時,|a+b|<|a|+|b|(即三角形兩邊之和大于第三邊);當(dāng)a,b共線且方向相同時,|a+b|=|a|+|b|;當(dāng)a,b共線且方向相反時,|a+b|=|a|-|b|(或|b|-|a|).其中當(dāng)向量a的長度大于向量b的長度時,|a+b|=|a|-|b|;當(dāng)向量a的長度小于向量b的長度時,|a+b|=|b|-|a|.一般地,我們有|a+b|≤|a|+|b|.二．例題講解例1、已知正方形ABCD的邊長為1,=a,=b,=c,則|a+b+c|等于（）A．0 B．3 C．2 D．2.解：DCA作出正方形ABCD的圖形如上圖所示，那么：a+b=c,所以a+b+c=2c,所以|a+b+c|=|2c|=2|c|=2,所以選D.例2.化簡:(1)+;(2)++;(3)++++.例3.如圖所示,已知矩形ABCD中,||=4,設(shè)=a,=b,=c,試求向量a+b+c的模.解:過D作AC的平行線,交BC的延長線于E,∴DE∥AC,AD∥BE.∴四邊形ADEC為平行四邊形.∴=,=.于是a+b+c=++=+==+=2,∴|a+b+c|=2||=8.1．判斷下列命題是否正確，若不正確，請簡述理由。①向量AB與CD是共線向量，則A、B、C、D四點(diǎn)必在一直線上；②單位向量都相等；③任一向量與它的相反向量不相等；④一個向量方向不確定當(dāng)且僅當(dāng)模為0；⑤共線的向量，若起點(diǎn)不同，則終點(diǎn)一定不同。2.（1）．判斷下列式子是否正確，若不正確請指出錯誤原因.①=0②.-=0若將所有單位向量的起點(diǎn)歸結(jié)在同一起點(diǎn)，則其終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是___________.將所有共線向量移至同一起點(diǎn)，終點(diǎn)構(gòu)成的圖形是什么圖形？___________3．下列說法正確的是（）A.平行向量是方向相同的向量B.長度相等的向量叫相等向量C.零向量的長度為0D.共線向量是在同一條直線上的向量4．若非零向量與共線，則以下說法下確的是（）A.與必須在同一直線上B.與平行，且方向必須相同`C.與平行，且方向必須相反D.與平行1、在四邊形中，若，則四邊形的形狀一定是()(A)平行四邊形(B)菱形(C)矩形(D)正方形2、兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯誤的一個是（）A、與為平行向量B、與為模相等的向量C、與為共線向量D、與為相等的向量3、下列命題中正確的是()A.單位向量都相等B.長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>bD.對于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|平面向量的加法運(yùn)算用三角形法則和平行四邊形法則分別畫出2、下列命題中正確的是()A.單位向量都相等B.長度相等且方向相反的兩個向量不一定是共線向量C.若a，b滿足|a|>|b|且a與b同向，則a>bD.對于任意向量a、b,必有|a+b|≤|a|+|b|3、已知正方形的邊長為1，=a，=b，=c,則|a+b+c|等于()A.0B.3C.D.24、兩列火車從同一站臺沿相反方向開去，走了相同的路程，設(shè)兩列火車的位移向量分別為和，那么下列命題中錯誤的一個是A、與為平行向量B、與為模相等的向量C、與為共線向量