上極限和下極限

*§3

上極限和下極限數(shù)列的上極限與下極限是非常有用的概念,通過(guò)一、上(下)極限的基本概念程來(lái)說(shuō),上(下)極限也是不可缺少的工具.極限或下極限來(lái)解決問(wèn)題.此外,對(duì)于不少后繼課考慮的某些數(shù)列不存在極限的情形,那時(shí)需要用上冊(cè)第十二、十四章討論級(jí)數(shù)收斂性時(shí),常會(huì)遇到所它們可得出數(shù)列極限存在的另一個(gè)充要條件.

在下二、上(下)極限的基本性質(zhì)返回目前一頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)一、上(下)極限的基本概念注點(diǎn)集的聚點(diǎn)與數(shù)列的聚點(diǎn)之間的區(qū)別在于:定義1若數(shù)列滿(mǎn)足:在數(shù)的任何一個(gè)鄰域內(nèi)均含有

中的無(wú)限多項(xiàng),則稱(chēng)x0是數(shù)列常數(shù)列只有一個(gè)聚點(diǎn):a.

的一個(gè)聚點(diǎn).限多個(gè)項(xiàng)”.現(xiàn)舉例如下:前者要求“含有無(wú)限多個(gè)點(diǎn)”,后者要求“含有無(wú)目前二頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)定理7.4有界數(shù)列至少存在一個(gè)聚點(diǎn),并且有最大但作為數(shù)列來(lái)說(shuō),它卻有兩個(gè)聚點(diǎn):有五個(gè)聚點(diǎn):數(shù)列從數(shù)列聚點(diǎn)的定義不難看出,x0是數(shù)列的聚作為點(diǎn)集來(lái)說(shuō)它僅有兩個(gè)點(diǎn),故沒(méi)有聚點(diǎn);點(diǎn)的一個(gè)充要條件是:存在的一個(gè)子列聚點(diǎn)和最小聚點(diǎn).目前三頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)又設(shè)由于E非空有界,故由確界原理,存在下面證明是{xn}的最大聚點(diǎn),亦即證設(shè)為有界數(shù)列,由致密性定理,存在一個(gè)的一個(gè)聚點(diǎn).收斂子列于是首先,由上確界的性質(zhì),存在使目前四頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)存在使存在使的無(wú)限多項(xiàng).現(xiàn)依次令存在使因?yàn)槭堑木埸c(diǎn),所以對(duì)任意正數(shù)在區(qū)間目前五頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)這樣就得到了{(lán)xn}的一個(gè)子列滿(mǎn)足:同理可證定義2有界數(shù)列的最大聚點(diǎn)與最小聚點(diǎn)分別稱(chēng)為的上、下極限,記為即證得目前六頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)注由定理7.4得知,有界數(shù)列必有上、下極限.提供了一個(gè)新的平臺(tái).的上、下極限總是存在的,這為研究數(shù)列的性質(zhì)極限來(lái)研究該數(shù)列往往是徒勞的;但是有界數(shù)列數(shù)列若有界,它的極限可以不存在,此時(shí)想通過(guò)這樣,上、下極限的優(yōu)越性就顯現(xiàn)出來(lái)了:一個(gè)目前七頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)例1考察以下兩個(gè)數(shù)列的上、下極限:從中可大致看出數(shù)列的極限和數(shù)列的上、下極限之間存在著的內(nèi)在聯(lián)系.詳細(xì)討論請(qǐng)見(jiàn)下文.目前八頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)二、上(下)極限的基本性質(zhì)由上、下極限的定義,立即得出:定理7.5對(duì)任何有界數(shù)列有下面這個(gè)定理刻畫(huà)了極限與上、下極限之間的關(guān)系.定理7.6有界數(shù)列存在極限的充要條件是:(1)(2)目前九頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)證設(shè)對(duì)于任意正數(shù)在之外只有有限項(xiàng).這樣,對(duì)任意的若只有有限項(xiàng).這就是說(shuō),B不是的聚點(diǎn),故僅有一個(gè)聚點(diǎn)A,從而那么在內(nèi)(此時(shí)必取反之,若上式成立,則的聚點(diǎn)惟一(設(shè)為A),目前十頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)一的假設(shè)相矛盾.另一聚點(diǎn),導(dǎo)致與聚點(diǎn)惟性定理,這無(wú)限多項(xiàng)必有的無(wú)限多項(xiàng).由致密之外含有使得在倘若不然,則存在此時(shí)易證目前十一頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)定理7.7設(shè)為有界數(shù)列,則有的充要條件是:對(duì)于任意的(i)存在N,當(dāng)n>N時(shí),的充要條件是:對(duì)于任意的(i)存在N,當(dāng)n>N時(shí),證在形式上是對(duì)稱(chēng)的,所以?xún)H證明.目前十二頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)必要性設(shè)因?yàn)锳是的一個(gè)聚點(diǎn),使得所以存在故對(duì)于任意的存在當(dāng)k>K時(shí)，將中的前面K項(xiàng)剔除,這樣就證明了(ii).上,至多只含的有限項(xiàng).不然的話,因?yàn)橛薪?故在上還有聚點(diǎn),這與A是最大聚點(diǎn)相矛盾.設(shè)這有限項(xiàng)又因A是的最大聚點(diǎn),所以對(duì)上述在區(qū)間,e目前十三頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)的最大下標(biāo)為N,那么當(dāng)n>N時(shí),充分性任給綜合(i)和(ii),在上含有{xn}的無(wú)限項(xiàng),即A是{xn}的聚點(diǎn).而對(duì)于任意的這說(shuō)明在目前十四頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)定理7.8(保不等式性)設(shè){xn},{yn}均為有界數(shù){xn}的有限項(xiàng),故

不是{xn}的上也至多只有從而有聚點(diǎn),所以

A是的最大聚點(diǎn).列,并且滿(mǎn)足:存在當(dāng)n>N0時(shí),

有則取上(下)極限后,原來(lái)的不等號(hào)方向保持不變:目前十五頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)證設(shè)因?yàn)锽是{yn}的聚點(diǎn),所以存在,特別若則更有故存在的一個(gè)收斂子列,(3)(4)目前十六頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)同理可證關(guān)于上極限的不等式;而(4)式則可由又因(1)與(3)式直接推得.的最小聚點(diǎn)

A理應(yīng)滿(mǎn)足的聚點(diǎn),

它與也是.由于的極限,便得取目前十七頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)證這里只證明(i),(ii)可同理證明.設(shè)由定理7.7,存在N,當(dāng)n>N時(shí),(5)(6)例1都是有界數(shù)列,那么設(shè)目前十八頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)再由定理7.8的(4)式,得因?yàn)槭侨我獾?故注這里嚴(yán)格不等的情形確實(shí)會(huì)發(fā)生,例如故目前十九頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)例2設(shè),且求證的全體聚點(diǎn)的集合為證設(shè)E是的全體聚點(diǎn)的集合,顯然有內(nèi)僅含的有限項(xiàng):在任給,欲證如若不然,則存在目前二十頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)之內(nèi).又因所以存在這就是說(shuō),當(dāng)時(shí),所有的均不在當(dāng)

n>K時(shí),由(7)導(dǎo)致所有的或者都有或者都有前者與B是的聚點(diǎn)矛盾;后者與A是目前二十一頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)的聚點(diǎn)矛盾.故證得,即從而定理7.9

設(shè){xn}為有界數(shù)列.則有(i)A是{xn}的上極限的充要條件是(ii)B是{xn}的下極限的充要條件是證這里僅證(i).設(shè),顯然是一(8)(9)目前二十二頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)遞減數(shù)列,并且有界,一方面,因?yàn)榱硪环矫?由于根據(jù)上確界定義,又因所以有同理,

由于目前二十三頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)這樣得到的子列因仍為有界的,故其上極限因是任意的,所以又得.從而證得照此做下去,可求得使使得求上極限,由不等式性質(zhì)(4),得出亦存在,

設(shè)為(10)式關(guān)于k目前二十四頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)例3用上、下極限證明:若為有界發(fā)散數(shù)列,注本例命題用現(xiàn)在這種證法,可以說(shuō)是最簡(jiǎn)捷的.

使得為于是存在的兩個(gè)子列證由定理7.6,有界數(shù)列發(fā)散的充要條件則存在的兩個(gè)子列,收斂于不同的極限.目前二十五頁(yè)\總數(shù)二十八頁(yè)\編于二十點(diǎn)例4證明:對(duì)任何有界數(shù)列有(11)(12)證根據(jù)定理7.9的(8)與(9),可得若能證明便不難得出結(jié)果.分析將(11)