小波變換的降噪原理及性能仿真

基于MATLAB的小波變換的降噪原理及性能仿真按小波變換的發(fā)展過程劃分，大致可以劃分三個(gè)階段：第一階段：孤立應(yīng)用時(shí)間。主要特征是一些特殊構(gòu)造的小波在某些科學(xué)研究領(lǐng)域的特定問題上的應(yīng)用。這個(gè)時(shí)代最典型的代表工作是法國地球物理學(xué)家J.Morlet和A.Grossmann第一個(gè)把“小波"用于分析處理地質(zhì)數(shù)據(jù)，引進(jìn)了以他們的名字命名的時(shí)間一尺度小波，即Grossmann-Morlet小波。這個(gè)時(shí)期的另一個(gè)代表性工作是1981年J.Stromberg對(duì)A.Haar在1910年所給出的Haar（哈爾）系標(biāo)準(zhǔn)正交小波基的改進(jìn)。同時(shí)，著名的計(jì)算機(jī)視覺專家D.Marr在他的“零交叉"理論中使用的可按“尺寸大小”變化的濾波算子，現(xiàn)在稱為“墨西哥帽”的小波也是這個(gè)時(shí)期有名的工作之一，這部分工作和后來成為S.Mallat的正交小波構(gòu)造理論支柱之“多尺度分析”或“多分辨分析”有密切聯(lián)系。這個(gè)時(shí)期一個(gè)有趣的現(xiàn)象是各個(gè)領(lǐng)域的專家、學(xué)者和工程師所從事的領(lǐng)域廣泛分布于科學(xué)和技術(shù)研究的許多方面。因此，這個(gè)現(xiàn)象從另一個(gè)側(cè)面預(yù)示了小波分析理論研究和應(yīng)用熱潮的到來，說明了小波理論產(chǎn)生的歷史必然性。第二階段：國家性研究熱潮和統(tǒng)一構(gòu)造時(shí)期。真正的小波熱潮開始與1986年，當(dāng)時(shí)法國數(shù)學(xué)家Y.Meyer成功地構(gòu)造出具有一定衰減性質(zhì)的光滑函數(shù)，這個(gè)函數(shù)（算子）的二進(jìn)尺度伸縮和二進(jìn)整倍數(shù)平移產(chǎn)生的函數(shù)系構(gòu)成著名的2-范數(shù)函數(shù)空間的標(biāo)準(zhǔn)正交基。這項(xiàng)成果標(biāo)志“小波分析”新時(shí)代的到來。第三階段：全面應(yīng)用時(shí)期。從1992年開始，小波分析方法進(jìn)入全面應(yīng)用階段。在前一階段研究工作基礎(chǔ)上，特別是數(shù)字信號(hào)和數(shù)字圖像的Mallat分解和重構(gòu)算法的確定，使小波分析的應(yīng)用迅速波及科學(xué)研究和工程技術(shù)應(yīng)用研究的幾乎所有的領(lǐng)域。編輯部是在美國的TexasA&M大學(xué)的國際雜志《AppliedandComputationHarmonicAnalysis》從1993年創(chuàng)刊之日起就把小波分析的理論和應(yīng)用研究作為其主要內(nèi)容，編輯部的三位主編C.K.Chi、R.Coifman與I.Daubechies都在小波分析的研究和應(yīng)用中有獨(dú)到的貢獻(xiàn)。時(shí)至今日，小波分析的應(yīng)用范圍還在不斷擴(kuò)大，許多科技期刊都刊載與小波分析有關(guān)的論文，各個(gè)學(xué)科領(lǐng)域的地區(qū)性和國際性學(xué)術(shù)會(huì)議都有設(shè)計(jì)小波分析的各種類型的論文、報(bào)告。同時(shí)，在國際互聯(lián)網(wǎng)和其他有較大影響的網(wǎng)絡(luò)上，與小波有關(guān)的書籍、論文、報(bào)告、軟件、隨時(shí)隨地有可以找到并可以免費(fèi)下載，甚至頗有國際影響的軟件公司MathWorks在它的“科學(xué)研究和工程應(yīng)用”軟件MATLAB中，特意把小波分析作為其“ToolBox”的單獨(dú)一個(gè)工具箱。由此可以大致了解小波分析廣泛應(yīng)用狀況。從小波變換的思想來源劃分按小波變換的思想來源劃分，大致可以分為兩個(gè)階段：第一階段：小波變換的思想來源于伸縮與平移方法。小波分析方法的提出，最早應(yīng)屬1910年Haar提出的規(guī)范正交基，但當(dāng)時(shí)并沒有出現(xiàn)“小波”這個(gè)詞。1936年Littlewood和Paley對(duì)傅立葉級(jí)數(shù)建立了二進(jìn)制頻率分量分組理論，對(duì)頻率按二進(jìn)制進(jìn)行劃分，其傅立葉變換的相位變化并不影響函數(shù)的大小，這是多尺度分析思想的最早來源。1946年Gabor提出的加窗傅立葉變換（或稱短時(shí)傅立葉變換）對(duì)彌補(bǔ)傅立葉變換的不足起到了一定的作用。后來，Galderon、Zygmund、Stem等將L—P理論推廣到高維，并建立了奇異積分算子理論；1965年Galderon發(fā)現(xiàn)了再生核公式，它的離散形式已接近小波展開，只是還無法得到一個(gè)正交系的結(jié)論。1981年，Sterm對(duì)Haar系數(shù)進(jìn)行了改進(jìn)，證明了小波函數(shù)的存在性。1982年Battle在構(gòu)造量子場(chǎng)論中采用了caldem再生核公式的展開形式。第二階段：1984年，法國地球物理學(xué)家J.Morlet在分析地震數(shù)據(jù)時(shí)提出將地震波按一個(gè)確定函數(shù)的伸縮、平移系展開，他與A.Grossman共同研究，發(fā)展了連續(xù)小波變換的幾何體系。1985年，法國的大數(shù)學(xué)家Meyer首先提出了光滑小波的正交基，1986年，Meyer及其學(xué)生Memaarie提出了多尺度分析的思想。1987年Mallat將計(jì)算機(jī)視覺領(lǐng)域內(nèi)的多尺度分析思想引入到小波分析中，提出了多分辨分析的概念，統(tǒng)一了在此之前的所有正交小波基的構(gòu)造，并提出了相應(yīng)的分解與重構(gòu)快速算法。1988年，年輕的女?dāng)?shù)學(xué)家Dallbechies提出了具有緊支集的光滑正交小波基Daubechies基，為小波的應(yīng)用研究增添了催化劑。同年，Daubechies在美國主辦的小波專題討論會(huì)上進(jìn)行了10次演講，引起了廣大數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家甚至某些企業(yè)家的重視，由此將小波的理論和實(shí)際應(yīng)用推向了一個(gè)高潮。小波變換的應(yīng)用領(lǐng)域事實(shí)上小波分析的應(yīng)用領(lǐng)域十分廣泛，它包括：數(shù)學(xué)領(lǐng)域的許多學(xué)科；信號(hào)分析［1~4］、圖象處理［5,6］；量子力學(xué)、理論物理；軍事電子對(duì)抗與武器的智能化；計(jì)算機(jī)分類與識(shí)別［7~10］，音樂與語言的人工合成；醫(yī)學(xué)成像與診斷；地震勘探數(shù)據(jù)處理［11］；大型機(jī)械的故障診斷等方面；例如，在數(shù)學(xué)方面，它已用于數(shù)值分析、構(gòu)造快速數(shù)值方法、曲線曲面構(gòu)造、微分方程求解、控制論等。在信號(hào)分析方面的濾波［12~15］、去噪聲［16~19］、壓縮、傳遞等。在圖象處理方面的圖象壓縮、分類、識(shí)別與診斷、去污等。在醫(yī)學(xué)成像方面的減少B超、CT、核磁共振成像的時(shí)間等。小波分析在地球物理勘探中的應(yīng)用（1） 地震數(shù)據(jù)壓縮。將地震記錄作小波變換，變換后的結(jié)果做閾值量化，去除大量接近于零的值，用一定的記錄方式把結(jié)果存儲(chǔ)起來，達(dá)到壓縮的目的。當(dāng)需要再利用這些地震數(shù)據(jù)時(shí)，作小波逆變換恢復(fù)原來的地震記錄。（2） 油氣預(yù)測(cè)。地球物理勘探中，尋求地殼物質(zhì)物性參數(shù)的奇異性是非常有意義的。例如，斷層會(huì)使重力異常產(chǎn)生的較大變化；在地殼介質(zhì)的分界面處，地震波的傳播會(huì)產(chǎn)生速度和方向的變化，這些都是地球物理信號(hào)的奇異性。判斷出奇異性的大小和位置就可以對(duì)異?，F(xiàn)象做出解釋。應(yīng)用中：通常是將分形幾何理論和模式識(shí)別理論與小波變換的突變點(diǎn)原理相結(jié)合，通過確定表征奇異性的數(shù)檢測(cè)地震道的奇異性，預(yù)測(cè)儲(chǔ)層所在的位置。通過計(jì)算地震道的分維數(shù)或提取小波變換域的地震特征參數(shù)，建立關(guān)聯(lián)維數(shù)或地震的特征參數(shù)與含油氣的關(guān)系，利用模式識(shí)別的原理確定油氣井的位置。小波分析用于信號(hào)和圖像處理（1） 數(shù)據(jù)壓縮。隨著科學(xué)技術(shù)特別是計(jì)算機(jī)技術(shù)的發(fā)展以及互聯(lián)網(wǎng)的普及，許多應(yīng)用領(lǐng)域（如衛(wèi)星監(jiān)測(cè)、地震勘探、天氣預(yù)報(bào)）都存在海量數(shù)據(jù)傳輸或存儲(chǔ)問題，如果不對(duì)數(shù)據(jù)進(jìn)行壓縮，數(shù)量巨大的數(shù)據(jù)就很難存儲(chǔ)、處理和傳輸。因此，伴隨小波分析的誕生，數(shù)據(jù)壓縮一直是小波分析的重要應(yīng)用領(lǐng)域之一，并由此帶來巨大的經(jīng)濟(jì)效益和社會(huì)效益。（2） 語音分析與處理。小波理論應(yīng)用于語音分析與處理的主要內(nèi)容包括：清/濁音分割；基音檢測(cè)與聲門開啟時(shí)刻定位；去噪、壓縮、重建幾個(gè)方面。小波分析在其他領(lǐng)域的應(yīng)用從數(shù)學(xué)的角度講，小波分析的發(fā)展，對(duì)微分方程、積分方程的數(shù)值解、統(tǒng)計(jì)學(xué)等學(xué)科也注入了新的活力。因此，小波分析在流體力學(xué)的模型建立和求取數(shù)值解、醫(yī)學(xué)細(xì)胞識(shí)別、線性系統(tǒng)計(jì)算、物理學(xué)分析、工程計(jì)算［20,21中］也得到了應(yīng)用。由于小波分析處于高速發(fā)展階段，新的理論和應(yīng)用領(lǐng)域不斷涌現(xiàn)。小波分析應(yīng)用前景（1）瞬態(tài)信號(hào)或圖像的突變點(diǎn)常包含有很重要的故障信息，例如，機(jī)械故障、電力系統(tǒng)故障、腦電圖、心電圖中的異常、地下目標(biāo)的位置及形狀等，都對(duì)應(yīng)于測(cè)試信號(hào)的突變點(diǎn)。雖然這些問題發(fā)生的背景不同，但都可以歸結(jié)到如何提取信號(hào)中突變點(diǎn)的位置及判定其奇異性（或光滑性）的問題。對(duì)圖像來說，急劇變化的點(diǎn)通常對(duì)應(yīng)于代表圖像結(jié)構(gòu)的邊緣部位，也就是圖像信息的主要部分。掌握了它，也就掌握了圖像的基本特征，因此，小波分析在故障檢測(cè)和信號(hào)的多尺度邊緣特征提取方面的應(yīng)用具有廣泛的應(yīng)用前景。（2）神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與小波分析相結(jié)合，分形幾何與小波分析相結(jié)合是國際上研究的熱點(diǎn)之一?；谏窠?jīng)網(wǎng)絡(luò)的智能處理技術(shù)，模糊計(jì)算、進(jìn)化計(jì)算與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的研究，沒有小波理論的嵌入很難取得突破。非線性科學(xué)的研究正呼喚小波分析，也許非線性小波分析是解決非線性科學(xué)問題的理性工具。（3） 小波分析用于數(shù)據(jù)或圖像的壓縮，目前絕大多數(shù)是對(duì)靜止圖像進(jìn)行研究的。面向網(wǎng)絡(luò)的活動(dòng)圖像壓縮，長期以來是采用離散余弦變換DCT）加運(yùn)動(dòng)補(bǔ)償（Me）作為編碼技術(shù)，然而，該方法存在兩個(gè)主要的問題：方塊效應(yīng)和蚊式噪聲。利用小波分析的多尺度分析不但可以克服上述問題，而且可首先得到粗尺度上圖像的輪廓，然后決定是否需要傳輸精細(xì)的圖案，以提高圖像的傳輸速度。因此研究面對(duì)網(wǎng)絡(luò)的地速率圖像壓縮的小波分析并行算法，具有較高探索性和新穎性。同時(shí)也具有較高的應(yīng)用價(jià)值和廣泛的應(yīng)用前景。（4） 目前使用的二維及高維小波基主要是可分離的。不可分離二維及高維小波基的構(gòu)造、性質(zhì)應(yīng)用研究，由于理論上較為復(fù)雜，這方面的成果甚少。也許向量小波及高維小波的研究能夠?yàn)樾〔ǚ治龅膽?yīng)用開創(chuàng)一個(gè)新天地。小波分析面臨的主要問題小波分析雖然在許多應(yīng)用領(lǐng)域已取得了一定的成果但事實(shí)上小波分析仍面臨的一些問題，主要問題如下：（1）小波理論尚不完善，除一維小波理論比較成熟以外，高維小波、向量小波的理論還遠(yuǎn)非人們所期待的那樣，特別是各類小波，如正交小波、雙正交小波及向量小波、二進(jìn)小波、離散小波的構(gòu)造和性質(zhì)的研究。（2）最優(yōu)小波基選取方法的研究。雖然國內(nèi)外已有一些最優(yōu)基選取方法的研究但缺乏系統(tǒng)規(guī)范的最佳小波基選取方法，即針對(duì)不同的問題能最優(yōu)地選擇不同的小波基以實(shí)現(xiàn)最好的應(yīng)用效果。我們知道不存在一種小波基能適應(yīng)所有的情況，因此，小波基的優(yōu)化選擇始終是小波理論研究的重要內(nèi)容。（3）小波分析的應(yīng)用范圍雖然很廣，但真正取得極佳應(yīng)用效果的領(lǐng)域并不多，人們正在挖掘有前景的應(yīng)用領(lǐng)域。（4） 目前小波分析軟件遠(yuǎn)不如有限差分方法（FDM）、有限元方法（FEM）、邊界元方法（EEM）等軟件成熟和完善，更無大型系統(tǒng)權(quán)威的小波分析軟件，作為商品的高水平小波分析軟件幾乎沒有。（5） 小波分析在數(shù)據(jù)圖像壓縮方面已取得很好的成績，人們期待利用小波能夠?qū)崿F(xiàn)高壓縮比、高重現(xiàn)度圖像的壓縮，并探索在圖像的邊緣檢測(cè)、分類與描述中的應(yīng)用。1.5小波分析與傅里葉對(duì)比小波分析是20世紀(jì)80年代后期形成的一種新興的數(shù)學(xué)分支，是當(dāng)前應(yīng)用數(shù)學(xué)和工程學(xué)科中一個(gè)迅速發(fā)展的新領(lǐng)域，經(jīng)過近10年的探索研究，重要的學(xué)形式化體系已經(jīng)建立，理論基礎(chǔ)更加扎實(shí)。小波分析是在傅里葉分析的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，但小波分析與傅里葉分析存在著極大的不同，與Fourier變換相比，小波變換是空間（時(shí)間）和頻率的局部變換，因而能有效地從信號(hào)中提取信息。通過伸縮和平移等運(yùn)算功能可對(duì)函數(shù)或信號(hào)進(jìn)行多尺度的細(xì)化分析，解決了Fourier變換不能解決的許多困難問題。小波變換聯(lián)系了應(yīng)用數(shù)學(xué)、物理學(xué)、計(jì)算機(jī)科學(xué)、信號(hào)與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個(gè)學(xué)科。數(shù)學(xué)家認(rèn)為，小波分析是一個(gè)新的數(shù)學(xué)分支，它是泛函分析、Fourier分析、樣調(diào)分析、數(shù)值分析的完美結(jié)晶；信號(hào)和信息處理專家認(rèn)為，小波分析是時(shí)間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術(shù)，它在信號(hào)分析、語音合成、圖像識(shí)別、計(jì)算機(jī)視覺、數(shù)據(jù)壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學(xué)意義和應(yīng)用價(jià)值的成果。1.6本章小結(jié)在本章中，對(duì)小波進(jìn)行了基本的介紹。先對(duì)小波變換的發(fā)展從兩個(gè)方面進(jìn)行了介紹包括小波變換的發(fā)展及小波變換的思想。接下來分別從小波分析在地球物理勘探、信號(hào)和圖像處理及在其他領(lǐng)域的應(yīng)用說明了小波變換的如今的應(yīng)用領(lǐng)域。最后簡(jiǎn)單的介紹了小波分析的應(yīng)用前景及面臨的主要問題并且把小波分析和傅里葉進(jìn)行了簡(jiǎn)單的對(duì)比。第二章小波變換的基本原理小波變換是一種信號(hào)的時(shí)間——尺度（時(shí)間——頻率）分析方法，它具有多分辨分析的特點(diǎn)，而且在時(shí)頻兩域都具有表征信號(hào)局部特征的能力，是一種窗口大小固定不變但其形狀可改變，時(shí)間窗和頻率窗都可以改變的時(shí)頻局部化分析方法。即在低頻部分具有較低的時(shí)間分辨率和較高的頻率分辨率，在高頻部分具有較高的時(shí)間分辨率和較低的頻率分辨率，很適合于分析非平穩(wěn)的信號(hào)和提取信號(hào)的局部特征，所以小波變換被譽(yù)為分析處理信號(hào)的顯微鏡。在處理分析信號(hào)時(shí)，小波變換具有對(duì)信號(hào)的自適應(yīng)性。小波變換的應(yīng)用是與小波變換的理論研究緊密地結(jié)合在一起的?，F(xiàn)在，它已經(jīng)在科技信息產(chǎn)業(yè)領(lǐng)域取得了令人矚目的成就。電子信息技術(shù)是六大高新技術(shù)中重要的一個(gè)領(lǐng)域，它的重要方面是圖象和信號(hào)處理?，F(xiàn)今，信號(hào)處理已經(jīng)成為當(dāng)代科學(xué)技術(shù)工作的重要部分，信號(hào)處理的目的就是：準(zhǔn)確的分析、診斷、編碼壓縮和量化、快速傳遞或存儲(chǔ)、精確地重構(gòu)（或恢復(fù)）。從數(shù)學(xué)地角度來看，信號(hào)與圖象處理可以統(tǒng)一看作是信號(hào)處理（圖象可以看作是二維信號(hào)），在小波變換地許多分析的許多應(yīng)用中，都可以歸結(jié)為信號(hào)處理問題。現(xiàn)在，對(duì)于其性質(zhì)隨實(shí)踐是穩(wěn)定不變的信號(hào)，處理的理想工具仍然是傅立葉分析。但是在實(shí)際應(yīng)用中的絕大多數(shù)信號(hào)是非穩(wěn)定的，而特別適用于非穩(wěn)定信號(hào)的工具就是小波分析。傅里葉變換、短時(shí)傅里葉變換到小波變換傳統(tǒng)的信號(hào)分析是建立在傅里葉變換的基礎(chǔ)之上的，在眾多科學(xué)領(lǐng)域，特別是在信號(hào)處理、圖像處理、量子物理等方面，傅里葉變換是重要的應(yīng)用工具之一。其定義為若fCLL2（R）（L2（R）表示平方可積的實(shí)數(shù)空間，即能量有限的信號(hào)空間），則F f（t）e-jQdt—g（2-1）fC）二丄廣gF（co）ejotd?2兀一g2-2)它的基expjt）為一組正交基，它體現(xiàn)的是一種全局變換，且具有鮮明的物理意義。其中fC）表示時(shí)域信號(hào)，F(xiàn)G）表示信號(hào)fC）的傅里葉變換，傅里葉變換實(shí)現(xiàn)了時(shí)域和頻域的轉(zhuǎn)換，許多在時(shí)域難以分清和解決的問題在頻域可以一目了然。雖然，傅里葉變換能夠?qū)⑿盘?hào)的時(shí)域特征和頻域特征聯(lián)系起來，可以在時(shí)域或者頻域?qū)π盘?hào)進(jìn)行分析，但是它缺乏時(shí)間和頻率的定位功能。因?yàn)楦道锶~變換是整個(gè)時(shí)間域內(nèi)的積分，所以沒有局部化分析信號(hào)的功能，即傅里葉分析只能分析信號(hào)在整個(gè)時(shí)域的頻譜，無法反映信號(hào)的局部特征。而信號(hào)的時(shí)頻局域性，正是非平穩(wěn)信號(hào)最根本最關(guān)鍵的性質(zhì)。為了克服傅里葉變換的這一缺點(diǎn)，人們尋求了一系列新的信號(hào)分析理論，其中短時(shí)傅里葉變換和小波變換就是在這樣的情況下產(chǎn)生的。短時(shí)傅里葉變換（Short-timeFourierTransform）是DennisGabor于1946年提出的一種時(shí)頻分析方法。其定義為SF6,t）=j+sfC）g（t—d-j^dt—g（2-3）fC）=— SF6,T）g（t—t\j?d0dT2?！猤—g（2-4）它的基本思想是：把信號(hào)劃分成許多小的時(shí)間間隔，假定非平穩(wěn)信號(hào)在分析窗函數(shù)gQ的一個(gè)短時(shí)間間隔內(nèi)是平穩(wěn)（準(zhǔn)平穩(wěn)）的，并移動(dòng)窗函數(shù)，從而計(jì)算出各個(gè)不同時(shí)刻的頻譜。但是，短時(shí)傅里葉變換從本質(zhì)上看，它是一種單一分辨率的信號(hào)分析方法，因?yàn)樗褂玫氖且粋€(gè)固定的短時(shí)窗函數(shù)，這也就是它在信號(hào)分析上的缺陷。小波分析是傅里葉分析思想方法的發(fā)展與延拓。它既繼承和發(fā)展了短時(shí)傅里葉變換的局部化思想，同時(shí)又克服了窗口大小不隨頻率變化的缺點(diǎn)，是對(duì)信號(hào)進(jìn)行時(shí)頻分析以及處理時(shí)變非平穩(wěn)信號(hào)的比較理想的工具。2.2小波變換的基本概念小波變換是近幾十年發(fā)展起來的能同時(shí)在時(shí)域和頻域內(nèi)進(jìn)行局部化信號(hào)分

析的數(shù)學(xué)方法，它在分析原始信號(hào)時(shí)，在時(shí)域和頻域上都具有良好的局部化性質(zhì)，對(duì)不同信號(hào)采用相應(yīng)的時(shí)域取樣步長，能夠聚焦到信號(hào)的任意微小細(xì)節(jié)，是一種優(yōu)于傅里葉變換和窗口傅里葉變換的信號(hào)處理方法。2.2.1小波定義設(shè)fC）eL2（R）'其傅里葉變換為屮6）。當(dāng)屮6）滿足條件[22]2-5)或其等價(jià)條件J或其等價(jià)條件J8屮(t)dt=0（2-6）2-6)的函數(shù)屮C）稱為一個(gè)母小波函數(shù)（MotherWaveletFunction），式（2-5）、2-6)小波容許條件。將母小波屮C）經(jīng)伸縮和平移后，可得到小波序列屮（）=亠屮a，T va（t）稱為小波基函數(shù)。a,T（t）稱為小波基函數(shù)。a,T其中a尺度因子，t平移，a,tgR，a>0。屮2.2.2小波特性小波基函數(shù)在時(shí)域和頻域都具有有限或近似有限的定義域，所以經(jīng)伸縮和平移后的小波基函數(shù)在時(shí)域和頻域仍是局部性的，小波基函數(shù)的窗口隨尺度因子的不同而伸縮，當(dāng)a增大時(shí)小波基函數(shù)的時(shí)間窗口變大，而對(duì)應(yīng)的頻域窗口相應(yīng)變小，中心頻率降低。相反，當(dāng)a減小時(shí)，小波基函數(shù)的時(shí)間窗口變小，而對(duì)應(yīng)的頻域窗口相應(yīng)變大，中心頻率升高。定義小波母函數(shù)屮C）的窗口寬度為At0，窗口中心為，其相應(yīng)傅里葉變換的窗口寬度為，窗口中心為。小波基函數(shù)時(shí)域的窗口中心為，窗口寬度為At；頻域窗口中心為，窗口寬度為。則有下式成立

2-8)12-8)10— at0+TAt=aAto*? ?0?—_00―a2-9)由此，有如下結(jié)論[23]尺度a的倒數(shù)在一定意義上對(duì)應(yīng)頻率s，即尺度越小，對(duì)應(yīng)頻率越高,尺度越大，對(duì)應(yīng)頻率越低。如果尺度a對(duì)應(yīng)時(shí)間窗口，則小尺度信號(hào)為短時(shí)間信號(hào)，大尺度信號(hào)為長時(shí)間信號(hào)。在任意時(shí)刻t上,小波的時(shí)一頻窗口的大小At和都隨尺度a的變化而變化，這正是小波變換比傅里葉變換優(yōu)越的地方。在任意尺度a,時(shí)間點(diǎn)t上，窗口面積AtxA?保持不變，即時(shí)間、尺度分辨率是相互制約的，不可能同時(shí)提高。小波基函數(shù)作為帶通濾波器，其品質(zhì)因數(shù)不隨尺度a變化,*數(shù))??數(shù))Q——— o-AwA?02-10)因此，它是一組頻率特性等Q的帶通濾波器組。2.2.3小波變換原理如果f如果fC)wL2(R)，且Cq/(?)2 d?<g貝y?W(a,t)—fgf(打(t)dta,T2-11)fC)二丄卜卜afC)二丄卜卜a-2W(a,T如C—g屮C)dadTa,T2-12)其中，屮C)其中，屮C)a,T是基本小波的位移與尺度伸縮。尺度因子a，平移t為連續(xù)變量，所以式(2-11)稱為連續(xù)小波變換(ContinuousWaveletTransform)。小波變換對(duì)fC）而言是以屮好C）為核函數(shù)的線性變換。2.3本章小結(jié)本章首先介紹了由傅里葉變換到短時(shí)傅里葉變換再到小波變換的發(fā)展過程然后對(duì)小波基函數(shù)的特性進(jìn)行了仔細(xì)討論，了解到了小波變換與傅里葉變換不同，小波變換通過平移小波（MotherWavelet）可獲得信號(hào)的時(shí)間信息，而通過縮放小波的寬度（或者叫做尺度）可獲得信號(hào)的頻率特性（對(duì)母小波的縮放和平移操作是為了計(jì)算小波的系數(shù)，這些系數(shù)代表小波和局部信號(hào)之間的相互關(guān)系），連續(xù)小波屮C）的時(shí)頻窗口中心和寬度可以精確定位，且都隨尺度a的變化而伸a,b縮。若將時(shí)頻窗口綜合考慮，根據(jù)公式推導(dǎo)可得時(shí)頻窗口的面積與尺度a無關(guān)，即時(shí)間分辨率和頻率分辨率是相互制約的。最后給出了小波變換的公式wf(t)wf(t)rC)dt為小波降噪原理的介紹提供了鋪墊。a,T第三章小波降噪原理在實(shí)際工程問題中，我們通過實(shí)驗(yàn)得到的原始信號(hào)總會(huì)混雜著一定的噪聲，而噪聲的存在嚴(yán)重地干擾了信號(hào)的本質(zhì)特征，不利于進(jìn)一步的信號(hào)處理和分析。因此，在對(duì)原始信號(hào)進(jìn)行預(yù)處理時(shí)，對(duì)噪聲加以消除或減小，以便最大程度的提取原始信號(hào)中的有用信息，是非常有必要的。本文主要考慮與信號(hào)無關(guān)的白噪聲的去噪問題，信號(hào)經(jīng)過去噪處理后，不但信噪比得到了提高，同時(shí)信號(hào)的一些細(xì)節(jié)特征也突現(xiàn)出來了。我們把去除信號(hào)中含有的噪聲并恢復(fù)原始信號(hào)的過程稱為信號(hào)去噪，在信號(hào)處理領(lǐng)域中，人們根據(jù)實(shí)際信號(hào)的特點(diǎn)和噪聲的統(tǒng)計(jì)特征，基于統(tǒng)計(jì)估計(jì)原理，提出了各式各樣的信號(hào)去噪方法。這些去噪方法中，有的是在時(shí)域中進(jìn)行的，有的是在頻域中進(jìn)行的，這些方法的基本思想是根據(jù)噪聲和信號(hào)在時(shí)域或頻域上分布的不同而進(jìn)行的?，F(xiàn)有的一般去噪方法有基于Fourier變換的信號(hào)去噪方法，也即低通濾波方法；基于信號(hào)的自相關(guān)去噪方法；基于小波變換的信號(hào)去噪方法等。其中，在實(shí)際問題中最常用的是濾波方法和基于小波變換的信號(hào)去噪方法。由上一章節(jié)的討論，我們知道小波變換是在傅里葉變換的基礎(chǔ)上發(fā)展起來的，小波變換是比傅里葉變換更為突出的優(yōu)點(diǎn)是其具有時(shí)頻局部分析功能。將小波變換的思想用到信號(hào)去噪中，也即基于小波變換的信號(hào)去噪方法也是本文所要研究的一個(gè)內(nèi)容。白噪聲的特性與信號(hào)去噪性能的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)在實(shí)際問題中，我們所要考慮的噪聲信號(hào)大多是白噪聲［24~27］，本文也是在白噪聲的基礎(chǔ)上來討論信號(hào)去噪方法的。信號(hào)去噪方法各式各樣，我們有必要提出一些評(píng)價(jià)信號(hào)去噪性能好壞的標(biāo)準(zhǔn)。3.1.1白噪聲的特性假設(shè)我們?cè)趯?shí)驗(yàn)中獲得的原始信號(hào)中含有白噪聲qG),則c(t)有以下一些特性［28］：(1)Q(t)可以看做一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)信號(hào)，它在各采樣點(diǎn)處的取值q(tn)是一

個(gè)隨機(jī)變量，b(t丿取值的大小與其它采樣點(diǎn)處的隨機(jī)取值無關(guān)，白噪聲之間無相關(guān)性，即任意的兩個(gè)白噪聲b1(t)和b2C)是不相關(guān)的。bG)可以看做是能量無限且零均值的，白噪聲在時(shí)域中沒有衰減性，白噪聲也是隨機(jī)變動(dòng)的，且有》◎《)/Eb2Cn)=o。相對(duì)于某一個(gè)確定的信號(hào)而言，b(t)在時(shí)域里的表現(xiàn)是均勻密集的。b(t)包含著全部的頻譜，即b6)=1。3.1.2信號(hào)去噪性能的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)本節(jié)主要介紹文獻(xiàn)中較為常見的三種評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)：信噪比、信噪比增益和均方根誤差。(1)信噪比(SignalNoiseRatio，簡(jiǎn)記為SNR)信噪比是測(cè)量信號(hào)中的噪聲量的傳統(tǒng)方法，常被用來作為信號(hào)去噪性能好壞的評(píng)價(jià)標(biāo)準(zhǔn)。國際上信噪比的單位是分貝(dB),信噪比通常的定義為rp)SNR=I0log10仝IPn丿表示原始(3-1)表示原始其中，ps=1Ef2(n)表示原始信號(hào)的功率,snn信號(hào)中混雜的噪聲的功率，fC)表示原始信號(hào)，fC)表示去噪以后的