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江蘇省泰州等四市2022-2023學(xué)年招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)試題模擬試卷(一)注意事項1.考試結(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回.2.答題前,請務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號用0.5毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置.3.請認(rèn)真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準(zhǔn)考證號與本人是否相符.4.作答選擇題,必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑;如需改動,請用橡皮擦干凈后,再選涂其他答案.作答非選擇題,必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答,在其他位置作答一律無效.5.如需作圖,須用2B鉛筆繪、寫清楚,線條、符號等須加黑、加粗.一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,如果在區(qū)間上單調(diào)遞減,那么實數(shù)的最大值為()A. B. C. D.2.設(shè)、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),且,則()A. B.0 C.1 D.33.若(),,則()A.0或2 B.0 C.1或2 D.14.函數(shù)fxA. B.C. D.5.命題“”的否定是()A. B.C. D.6.有一改形塔幾何體由若千個正方體構(gòu)成,構(gòu)成方式如圖所示,上層正方體下底面的四個頂點是下層正方體上底面各邊的中點.已知最底層正方體的棱長為8,如果改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是()A.8 B.7 C.6 D.47.已知盒中有3個紅球,3個黃球,3個白球,且每種顏色的三個球均按,,編號,現(xiàn)從中摸出3個球(除顏色與編號外球沒有區(qū)別),則恰好不同時包含字母,,的概率為()A. B. C. D.8.已知,則的大小關(guān)系為()A. B. C. D.9.已知向量,,當(dāng)時,()A. B. C. D.10.已知集合,則()A. B. C. D.11.如圖,在平面四邊形ABCD中,若點E為邊CD上的動點,則的最小值為()A. B. C. D.12.已知函數(shù),,,,則,,的大小關(guān)系為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)點P在函數(shù)的圖象上,點Q在函數(shù)的圖象上,則線段PQ長度的最小值為_________14.若,則__________.15.(5分)在平面直角坐標(biāo)系中,過點作傾斜角為的直線,已知直線與圓相交于兩點,則弦的長等于____________.16.為了抗擊新型冠狀病毒肺炎,某醫(yī)藥公司研究出一種消毒劑,據(jù)實驗表明,該藥物釋放量與時間的函數(shù)關(guān)系為(如圖所示),實驗表明,當(dāng)藥物釋放量對人體無害.(1)______;(2)為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過______分鐘人方可進(jìn)入房間.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知為橢圓的左、右焦點,離心率為,點在橢圓上.(1)求橢圓的方程;(2)過的直線分別交橢圓于和,且,問是否存在常數(shù),使得成等差數(shù)列?若存在,求出的值;若不存在,請說明理由.18.(12分)已知.(1)若是上的增函數(shù),求的取值范圍;(2)若函數(shù)有兩個極值點,判斷函數(shù)零點的個數(shù).19.(12分)在直角坐標(biāo)系中,已知圓,以原點為極點,x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系,已知直線平分圓M的周長.(1)求圓M的半徑和圓M的極坐標(biāo)方程;(2)過原點作兩條互相垂直的直線,其中與圓M交于O,A兩點,與圓M交于O,B兩點,求面積的最大值.20.(12分)唐詩是中國文學(xué)的瑰寶.為了研究計算機(jī)上唐詩分類工作中檢索關(guān)鍵字的選取,某研究人員將唐詩分成7大類別,并從《全唐詩》48900多篇唐詩中隨機(jī)抽取了500篇,統(tǒng)計了每個類別及各類別包含“花”、“山”、“簾”字的篇數(shù),得到下表:愛情婚姻詠史懷古邊塞戰(zhàn)爭山水田園交游送別羈旅思鄉(xiāng)其他總計篇數(shù)100645599917318500含“山”字的篇數(shù)5148216948304271含“簾”字的篇數(shù)2120073538含“花”字的篇數(shù)606141732283160(1)根據(jù)上表判斷,若從《全唐詩》含“山”字的唐詩中隨機(jī)抽取一篇,則它屬于哪個類別的可能性最大,屬于哪個類別的可能性最小,并分別估計該唐詩屬于這兩個類別的概率;(2)已知檢索關(guān)鍵字的選取規(guī)則為:①若有超過95%的把握判斷“某字”與“某類別”有關(guān)系,則“某字”為“某類別”的關(guān)鍵字;②若“某字”被選為“某類別”關(guān)鍵字,則由其對應(yīng)列聯(lián)表得到的的觀測值越大,排名就越靠前;設(shè)“山”“簾”“花”和“愛情婚姻”對應(yīng)的觀測值分別為,,.已知,,請完成下面列聯(lián)表,并從上述三個字中選出“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字并排名.屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類總計含“花”字的篇數(shù)不含“花”的篇數(shù)總計附:,其中.0.050.0250.0103.8415.0246.63521.(12分)在中,內(nèi)角,,所對的邊分別是,,,,,.(Ⅰ)求的值;(Ⅱ)求的值.22.(10分)已知數(shù)列{an}的各項均為正,Sn為數(shù)列{an}的前n項和,an2+2an=4Sn+1.(1)求{an}的通項公式;(2)設(shè)bn,求數(shù)列{bn}的前n項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1、B【解析】
根據(jù)條件先求出的解析式,結(jié)合三角函數(shù)的單調(diào)性進(jìn)行求解即可.【詳解】將函數(shù)圖象上所有點向左平移個單位長度后得到函數(shù)的圖象,則,設(shè),則當(dāng)時,,,即,要使在區(qū)間上單調(diào)遞減,則得,得,即實數(shù)的最大值為,故選:B.【點睛】本小題主要考查三角函數(shù)圖象變換,考查根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù),屬于中檔題.2、C【解析】
先根據(jù)奇偶性,求出的解析式,令,即可求出。【詳解】因為、分別是定義在上的奇函數(shù)和偶函數(shù),,用替換,得,化簡得,即令,所以,故選C?!军c睛】本題主要考查函數(shù)性質(zhì)奇偶性的應(yīng)用。3、A【解析】
利用復(fù)數(shù)的模的運算列方程,解方程求得的值.【詳解】由于(),,所以,解得或.故選:A【點睛】本小題主要考查復(fù)數(shù)模的運算,屬于基礎(chǔ)題.4、A【解析】
由f12=e-14>0排除選項D;【詳解】由f12=e-14>0,可排除選項D,f-1=-e【點睛】本題通過對多個圖象的選擇考查函數(shù)的圖象與性質(zhì),屬于中檔題.這類題型也是近年高考常見的命題方向,該題型的特點是綜合性較強(qiáng)、考查知識點較多,但是并不是無路可循.解答這類題型可以從多方面入手,根據(jù)函數(shù)的定義域、值域、單調(diào)性、奇偶性、特殊點以及x→05、D【解析】
根據(jù)全稱命題的否定是特稱命題,對命題進(jìn)行改寫即可.【詳解】全稱命題的否定是特稱命題,所以命題“,”的否定是:,.故選D.【點睛】本題考查全稱命題的否定,難度容易.6、A【解析】
則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,以此類推,能求出改形塔的最上層正方體的邊長小于1時該塔形中正方體的個數(shù)的最小值的求法.【詳解】最底層正方體的棱長為8,則從下往上第二層正方體的棱長為:,從下往上第三層正方體的棱長為:,從下往上第四層正方體的棱長為:,從下往上第五層正方體的棱長為:,從下往上第六層正方體的棱長為:,從下往上第七層正方體的棱長為:,從下往上第八層正方體的棱長為:,∴改形塔的最上層正方體的邊長小于1,那么該塔形中正方體的個數(shù)至少是8.故選:A.【點睛】本小題主要考查正方體有關(guān)計算,屬于基礎(chǔ)題.7、B【解析】
首先求出基本事件總數(shù),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”,記事件“恰好不同時包含字母,,”為,利用對立事件的概率公式計算可得;【詳解】解:從9個球中摸出3個球,則基本事件總數(shù)為(個),則事件“恰好不同時包含字母,,”的對立事件為“取出的3個球的編號恰好為字母,,”記事件“恰好不同時包含字母,,”為,則.故選:B【點睛】本題考查了古典概型及其概率計算公式,考查了排列組合的知識,解答的關(guān)鍵在于正確理解題意,屬于基礎(chǔ)題.8、A【解析】
根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,可得,再利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性,將與對比,即可求出結(jié)論.【詳解】由題知,,則.故選:A.【點睛】本題考查利用函數(shù)性質(zhì)比較大小,注意與特殊數(shù)的對比,屬于基礎(chǔ)題..9、A【解析】
根據(jù)向量的坐標(biāo)運算,求出,,即可求解.【詳解】,.故選:A.【點睛】本題考查向量的坐標(biāo)運算、誘導(dǎo)公式、二倍角公式、同角間的三角函數(shù)關(guān)系,屬于中檔題.10、A【解析】
考慮既屬于又屬于的集合,即得.【詳解】.故選:【點睛】本題考查集合的交運算,屬于基礎(chǔ)題.11、A【解析】
分析:由題意可得為等腰三角形,為等邊三角形,把數(shù)量積分拆,設(shè),數(shù)量積轉(zhuǎn)化為關(guān)于t的函數(shù),用函數(shù)可求得最小值。詳解:連接BD,取AD中點為O,可知為等腰三角形,而,所以為等邊三角形,。設(shè)=所以當(dāng)時,上式取最小值,選A.點睛:本題考查的是平面向量基本定理與向量的拆分,需要選擇合適的基底,再把其它向量都用基底表示。同時利用向量共線轉(zhuǎn)化為函數(shù)求最值。12、B【解析】
可判斷函數(shù)在上單調(diào)遞增,且,所以.【詳解】在上單調(diào)遞增,且,所以.故選:B【點睛】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判定,指數(shù)函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的性質(zhì),利用單調(diào)性比大小等知識,考查了學(xué)生的運算求解能力.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
由解析式可分析兩函數(shù)互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,則點到的距離的最小值的二倍即為所求,利用導(dǎo)函數(shù)即可求得最值.【詳解】由題,因為與互為反函數(shù),則圖象關(guān)于對稱,設(shè)點為,則到直線的距離為,設(shè),則,令,即,所以當(dāng)時,,即單調(diào)遞減;當(dāng)時,,即單調(diào)遞增,所以,則,所以的最小值為,故答案為:【點睛】本題考查反函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用,考查利用導(dǎo)函數(shù)研究函數(shù)的最值問題.14、【解析】
因為,由二倍角公式得到,故得到.故答案為.15、【解析】
方法一:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,解得或,從而得或,則.方法二:依題意,知直線的方程為,代入圓的方程化簡得,設(shè),則,故.方法三:將圓的方程配方得,其半徑,圓心到直線的距離,則.16、240【解析】
(1)由時,,即可得出的值;(2)解不等式組,即可得出答案.【詳解】(1)由圖可知,當(dāng)時,,即(2)由題意可得,解得則為了不使人身體受到藥物傷害,若使用該消毒劑對房間進(jìn)行消毒,則在消毒后至少經(jīng)過分鐘人方可進(jìn)入房間.故答案為:(1)2;(2)40【點睛】本題主要考查了分段函數(shù)的應(yīng)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)存在,.【解析】
(1)由條件建立關(guān)于的方程組,可求得,得出橢圓的方程;(2)①當(dāng)直線的斜率不存在時,可求得,求得,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,設(shè)聯(lián)立直線與橢圓的方程,求出線段,再由得出線段,根據(jù)等差中項可求得,得出結(jié)論.【詳解】(1)由條件得,所以橢圓的方程為:;(2),①當(dāng)直線的斜率不存在時,,此時,②當(dāng)直線的斜率存在且不為0時,設(shè),聯(lián)立消元得,設(shè),,直線的斜率為,同理可得,所以,綜合①②,存在常數(shù),使得成等差數(shù)列.【點睛】本題考查利用橢圓的離心率求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程,直線與橢圓的位置關(guān)系中的弦長公式的相關(guān)問題,當(dāng)兩直線的斜率具有關(guān)系時,可能通過斜率的代換得出另一條線段的弦長,屬于中檔題.18、(1)(2)三個零點【解析】
(1)由題意知恒成立,構(gòu)造函數(shù),對函數(shù)求導(dǎo),求得函數(shù)最值,進(jìn)而得到結(jié)果;(2)當(dāng)時先對函數(shù)求導(dǎo)研究函數(shù)的單調(diào)性可得到函數(shù)有兩個極值點,再證,.【詳解】(1)由得,由題意知恒成立,即,設(shè),,時,遞減,時,,遞增;故,即,故的取值范圍是.(2)當(dāng)時,單調(diào),無極值;當(dāng)時,,一方面,,且在遞減,所以在區(qū)間有一個零點.另一方面,,設(shè),則,從而在遞增,則,即,又在遞增,所以在區(qū)間有一個零點.因此,當(dāng)時在和各有一個零點,將這兩個零點記為,,當(dāng)時,即;當(dāng)時,即;當(dāng)時,即:從而在遞增,在遞減,在遞增;于是是函數(shù)的極大值點,是函數(shù)的極小值點.下面證明:,由得,即,由得,令,則,①當(dāng)時,遞減,則,而,故;②當(dāng)時,遞減,則,而,故;一方面,因為,又,且在遞增,所以在上有一個零點,即在上有一個零點.另一方面,根據(jù)得,則有:,又,且在遞增,故在上有一個零點,故在上有一個零點.又,故有三個零點.【點睛】本題考查函數(shù)的零點,導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用.在研究函數(shù)零點時,有一種方法是把函數(shù)的零點轉(zhuǎn)化為方程的解,再把方程的解轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點,特別是利用分離參數(shù)法轉(zhuǎn)化為動直線與函數(shù)圖象交點問題,這樣就可利用導(dǎo)數(shù)研究新函數(shù)的單調(diào)性與極值,從而得出函數(shù)的變化趨勢,得出結(jié)論.19、(1),(2)【解析】
先求出,再求圓的半徑和極坐標(biāo)方程;(2)設(shè)求出,,再求出得解.【詳解】(1)將化成直角坐標(biāo)方程,得則,故,則圓,即,所以圓M的半徑為.將圓M的方程化成極坐標(biāo)方程,得.即圓M的極坐標(biāo)方程為.(2)設(shè),則,用代替.可得,【點睛】本題主要考查直角坐標(biāo)和極坐標(biāo)的互化,考查極徑的計算,意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平.20、(1)該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最??;屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為(2)填表見解析;選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序為“花”,“簾”【解析】
(1)根據(jù)統(tǒng)計圖表算出頻率,比較大小即可判斷;(2)根據(jù)統(tǒng)計圖表完成列聯(lián)表,算出觀測值,查表判斷.【詳解】(1)由上表可知,該唐詩屬于“山水田園”類別的可能性最大,屬于“其他”類別的可能性最小屬于“山水田園”類別的概率約為;屬于“其他”類別的概率約為;(2)列聯(lián)表如下:屬于“愛情婚姻”類不屬于“愛情婚姻”類共計含“花”的篇數(shù)60100160不含“花”的篇數(shù)40300340共計100400500計算得:;因為,,所以有超過95%的把握判斷“花”字和“簾”字均與“愛情婚姻”有關(guān)系,故“花”和“簾”是“愛情婚姻”的關(guān)鍵字,而“山”不是;又因為,故選擇“花”,“簾”作為“愛情婚姻”類別的關(guān)鍵字,且排序為“花”,“簾”.【點睛】本題主要考查統(tǒng)計圖表、頻率與概率的關(guān)系、用樣本估計總體、獨立性檢驗等知識點.考查了學(xué)生對統(tǒng)計圖表的識讀與計算能力,考查了學(xué)生的數(shù)據(jù)分
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