數(shù)學(xué)模型概論1市公開課金獎市賽課一等獎?wù)n件

數(shù)學(xué)模型

主講：王秀蓮張東麗（理論）黃淵豐（軟件、實踐）第1頁第1頁教材及主要參考書姜啟源,謝金星,葉俊.數(shù)學(xué)模型(第三版).高等教育出版社.徐全智，楊晉浩.數(shù)學(xué)建模（第二版）.高等教育出版社.

（新西蘭）MarkM.Meerschaert著.劉來福，楊淳，黃海洋譯.數(shù)學(xué)建模辦法與分析（原書第二版）.機械工業(yè)出版社.劉來福,曾文藝.數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)建模.北京師范大學(xué)出版社.雷功炎.數(shù)學(xué)模型八講.北京大學(xué)出版社.第2頁第2頁數(shù)學(xué)建模發(fā)展史美國從1938年以來，在大學(xué)生中舉行了50多屆普特南(Putnam)數(shù)學(xué)競賽，這項競賽對培養(yǎng)青年數(shù)學(xué)家有主動作用，但弗薩羅教授發(fā)覺這項競賽有三個問題：一是過于純正，而大多數(shù)學(xué)生將從事各種領(lǐng)域應(yīng)用問題；二是不能用計算工具，不能看參考書，與時代發(fā)展，與真正科研條件不同；三是個人獨立做，而當(dāng)代科學(xué)研究往往要一個團體合作進行。第3頁第3頁于是他和一些見解相同同行發(fā)起，在1985年舉辦了美國大學(xué)生首屆數(shù)學(xué)建模競賽(MathematicalCompetitioninModeling)，1988年后改稱為MathematicalContestinModeling，均縮寫為MCM，以后每年舉辦一次，它吸引了世界上許多國家和地域大學(xué)生參與。第4頁第4頁自1989年以來，我國學(xué)生還積極參與美國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽，近年來我國參賽隊數(shù)靠近于其總數(shù)三分之一，并且還取得了較好成績，充足展示出我國大學(xué)生智慧和創(chuàng)造性。我國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模競賽是從1992年開始，由中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會舉辦。這一新生事物從一開始就受到廣大師生歡迎和各級教育部門關(guān)懷與注重。并從1994年起改由教育部高教司和中國工業(yè)與應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)會聯(lián)合舉辦，并成立了全國組委會來詳細組織競賽。第5頁第5頁課程簡介

數(shù)學(xué)建模當(dāng)前我國高等教育基礎(chǔ)課程教學(xué)改革前沿課程之一。它為學(xué)生正確理解數(shù)學(xué)教育主要性以及數(shù)學(xué)學(xué)科與其它諸多專業(yè)課之間內(nèi)在聯(lián)系有著非常主要作用，它是學(xué)生在學(xué)期間彌合基礎(chǔ)理論與各應(yīng)用學(xué)科之間鴻溝一座橋梁。第6頁第6頁建模競賽題目A題儲油罐變位辨認與罐容表標(biāo)定B題上海世博會影響力定量評估C題輸油管布置D題對學(xué)生宿舍設(shè)計方案評價第7頁第7頁1.現(xiàn)實狀況:

數(shù)學(xué)建模是一門新興學(xué)科，20世紀(jì)70年代初誕生于英、美等當(dāng)代工業(yè)國家。在短短幾十年歷史瞬間輻射至全球大部分國家和地域。

80年代初，我國高等院校也陸續(xù)開設(shè)了數(shù)學(xué)建模課程，伴隨數(shù)學(xué)建模教學(xué)活動（包括數(shù)學(xué)建模課程、數(shù)學(xué)建模競賽和數(shù)學(xué)（建模）試驗課程等）開展，這門課越來越得到注重，也深受廣大學(xué)生愛慕。第8頁第8頁原因：一是由于新技術(shù)尤其是計算機技術(shù)飛速發(fā)展，大量實際問題需要用計算機來處理，而計算機與實際問題之間需要數(shù)學(xué)模型來溝通。二是社會對大學(xué)生要求越來越高，大學(xué)生畢業(yè)后要適應(yīng)社會需求，一到工作崗位就能創(chuàng)造價值。第9頁第9頁2課程特點很強實用性：教材內(nèi)容來自于實際。知識廣泛性：依賴于各方面基礎(chǔ)知識。內(nèi)容趣味性：有些問題就象是做游戲，引人入勝。教學(xué)方式多樣性：教師講授方式，小組討論方式，學(xué)生匯報方式，課堂教學(xué)方式等。第10頁第10頁3教學(xué)目培養(yǎng)學(xué)生處理實際問題綜合能力。1）“雙向翻譯”能力2）利用數(shù)學(xué)思想進行綜合分析能力3）結(jié)合其它專業(yè)尤其是應(yīng)用計算機處理問題能力4）觀測力和想象力5）提升撰寫科研論文能力6）團結(jié)協(xié)作精神第11頁第11頁數(shù)學(xué)模型：1）近藤次郎（日）定義：數(shù)學(xué)模型是將現(xiàn)象特性或本質(zhì)給以數(shù)學(xué)表述數(shù)學(xué)關(guān)系式。它是模型一個。2）本德（美）定義：數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一個特殊目的而作一個抽象簡化數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。3）姜啟源（中）定義：是指對于現(xiàn)實世界某一特定對象，為了某個特定目的，依據(jù)特有內(nèi)在規(guī)律，做出一些必要簡化和假設(shè)，利用適當(dāng)數(shù)學(xué)工具得到一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。第12頁第12頁數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)：是指數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等，這些基于數(shù)學(xué)思想與辦法數(shù)學(xué)問題?？傊?，數(shù)學(xué)模型是對實際問題一個抽象，基于數(shù)學(xué)理論和辦法，用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)關(guān)系式、數(shù)學(xué)命題、圖形圖表等來刻畫客觀事物本質(zhì)屬性與其內(nèi)在聯(lián)系。第13頁第13頁數(shù)學(xué)建模過程航行問題：甲乙兩地相距750千米，船從甲到乙順?biāo)叫行?0小時，從乙到甲逆水航行需50小時，問船速、水速各多少？用分別代表船速、水速，能夠列出方程解方程組，得答：船速、水速分別為20千米/小時、5千米/小時。第14頁第14頁當(dāng)然，實際問題數(shù)學(xué)模型通常要復(fù)雜得多，但是建立數(shù)學(xué)模型基本思想已經(jīng)包括在解這個代數(shù)應(yīng)用題過程中了。那就是：依據(jù)建立數(shù)學(xué)模型目的和問題背景做出必要簡化假設(shè)（航行中設(shè)船速和水速為常數(shù)）；用字母表示待求未知量（x，y代表船速和水速）；利用相應(yīng)物理或其它規(guī)律（勻速運動距離等于速度乘以時間），列出數(shù)學(xué)式子（二元一次方程）；求出數(shù)學(xué)上解（x=20，y=5)；用這個答案處理問題（船速和水速分別為20km/h和5km/h)；最后還要用實際現(xiàn)象來驗證上述結(jié)果。第15頁第15頁數(shù)學(xué)建模過程現(xiàn)實對象信息數(shù)學(xué)模型解答現(xiàn)實對象解答數(shù)學(xué)模型表述（歸納）求解（演繹）解釋驗證現(xiàn)實對象與數(shù)學(xué)模型關(guān)系第16頁第16頁建立數(shù)學(xué)模型辦法和環(huán)節(jié)1、辦法機理分析法：以典型數(shù)學(xué)為工具，分析其內(nèi)部機理

規(guī)律。統(tǒng)計分析法：以隨機數(shù)學(xué)為基礎(chǔ)，通過對統(tǒng)計數(shù)據(jù)進行分析，得到其內(nèi)在規(guī)律。如：多元統(tǒng)計分析。系統(tǒng)分析法：對復(fù)雜性問題或主觀性問題研究辦法。把定性思維和結(jié)論用定量手段表示出來。如：層次分析法。第17頁第17頁數(shù)學(xué)建模示例

建模示例之一椅子穩(wěn)定性問題

問題：將四條腿同樣長正方形椅子放在不平地面上，是否總能設(shè)法使它四條腿同時著地，即放穩(wěn)？事實上：將四條腿同樣長正方形椅子放在不平地面上，通常只有三只腳著地，方不穩(wěn)，然而只要稍微挪動幾次，就能夠使四只腳同時著地，放穩(wěn)了。如何用數(shù)學(xué)工具來證實？第18頁第18頁假設(shè)

1）地面為光滑曲面；

2）相對地面彎曲程度而言，椅子腿是足夠長；

3）只要有一點著地就視為已經(jīng)著地，即將與地面接觸視為幾何上點接觸；

4）椅子中心不動。第19頁第19頁xyAABBCCDDO2建模分析表示A,C與地面距離之和表示B,D與地面距離之和則由三點著地，有不失普通性，設(shè)初始時：表示椅子繞中心旋轉(zhuǎn)角度第20頁第20頁假設(shè)：是連續(xù)函數(shù)，且對任意，求證：至少存在，使得數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)命題：第21頁第21頁4模型求解證實：將椅子轉(zhuǎn)動，對角線互換，由可得令由連續(xù)性，依據(jù)介值定理，在中至少存在一點,使得,即又因此結(jié)論：能放穩(wěn)。第22頁第22頁思考題1：長方形椅子會有同樣性質(zhì)嗎？第23頁第23頁建模環(huán)節(jié)模型準(zhǔn)備模型假設(shè)模型建立模型求解模型分析模型檢查模型應(yīng)用第24頁第24頁1）模型準(zhǔn)備：理解問題實際背景，明確建模目，掌握對象各種信息如統(tǒng)計數(shù)據(jù)等，弄清實際對象特性。有時需查資料或到相關(guān)單位理解情況等。建模環(huán)節(jié)第25頁第25頁2）模型假設(shè)：依據(jù)實際對象特性和建模目標(biāo)，對問題進行必要地合理地簡化。不同假設(shè)會得到不同模型。假如假設(shè)過于簡樸可能會造成模型失敗或部分失敗，于是應(yīng)該修改或補充假設(shè)，如“四足動物體重問題”；假如假設(shè)過于詳細，試圖把復(fù)雜實際現(xiàn)象各個原因都考慮進去，可能會陷入困境，無法進行下一步工作。分清問題主要方面和次要方面，抓主要原因，盡可能將問題均勻化、線性化。第26頁第26頁3）模型建立：分清變量類型，恰當(dāng)使用數(shù)學(xué)工具；抓住問題本質(zhì)，簡化變量之間關(guān)系；要有嚴(yán)密數(shù)學(xué)推理，模型本身要正確；要有足夠準(zhǔn)確度。4）模型求解：能夠包括解方程、畫圖形、證實定理以及邏輯運算等。會用到老式和近代數(shù)學(xué)方法，計算機技術(shù)（編程或軟件包）。尤其地近似計算辦法（泰勒級數(shù)，三角級數(shù)，二項式展開、代數(shù)近似、有效數(shù)字等）。第27頁第27頁6）模型檢查：把模型分析結(jié)果“翻譯”回到實際對象中，用實際現(xiàn)象、數(shù)據(jù)等檢查模型合理性和適應(yīng)性檢查結(jié)果有三種情況：符合好，不好，階段性和部分性符合好。7）模型應(yīng)用：應(yīng)用中也許發(fā)覺新問題，需繼續(xù)完善。5）模型分析：結(jié)果分析、數(shù)據(jù)分析。變量之間依賴關(guān)系或穩(wěn)定性態(tài)；數(shù)學(xué)預(yù)測；最優(yōu)決議控制。第28頁第28頁模型分類1）按變量性質(zhì)分：離散模型擬定性模型線性模型單變量模型連續(xù)模型隨機性模型非線性模型多變量模型2）按時間改變對模型影響分靜態(tài)模型參數(shù)定常模型動態(tài)模型參數(shù)時變模型第29頁第29頁3）按模型應(yīng)用領(lǐng)域（或所屬學(xué)科）分人口模型、交通模型、生態(tài)模型、城鄉(xiāng)規(guī)劃模型、水資源模型、再生資源利用模型、污染模型、生物數(shù)學(xué)模型、醫(yī)學(xué)數(shù)學(xué)模型、地質(zhì)數(shù)學(xué)模型、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)模型、數(shù)學(xué)社會學(xué)模型等。4）按建立模型數(shù)學(xué)辦法（或所屬數(shù)學(xué)分支）分初等模型、幾何模型、線性代數(shù)模型、微分方程模型、圖論模型、馬氏鏈模型、運籌學(xué)模型等。第30頁第30頁5）按建模目分描述性模型、分析模型、預(yù)報模型、優(yōu)化模型、決策模型、控制模型等。6）按對模型結(jié)構(gòu)理解程度分白箱模型：其內(nèi)在機理相稱清楚學(xué)科問題，包括力學(xué)、熱學(xué)、電學(xué)等?；蚁淠Ｐ停浩鋬?nèi)在機理尚不十分清楚現(xiàn)象和問題，包括生態(tài)、氣象、經(jīng)濟、交通等。黑箱模型：其內(nèi)在機理（數(shù)量關(guān)系）很不清楚現(xiàn)象，如生命科學(xué)、社會科學(xué)等。第31頁第31頁練習(xí)1某甲早8時從山下旅店出發(fā)沿一條路徑上山，下午5時到達山頂并留宿；次日早8時沿同一條路徑下山，下午5時回到旅店。某乙說，甲必在兩天中同一時刻通過路徑中同一地點。為何？AB甲乙第32頁第32頁37支球隊進行冠軍爭奪賽，每輪比賽中出場每兩支球隊中勝者及輪空者進入下一輪，直至比賽結(jié)束。問共需進行多少場比賽？共進行多少輪？假如是n支球隊呢？普通思維：第33頁第33頁逆向思維：每場比賽淘汰一名失敗球隊，只有一名冠軍，即就是淘汰了36名球隊，因此比賽進行了36場。共進行6輪比賽。n隊需要n-1場比賽若，則需要k輪。第34頁第34頁3某人家住T市在他鄉(xiāng)工作，天天下班后乘火車于6時到達T市車站，它妻子駕車按時到車站接他回家。一日他提前下班搭早一班火車于5時半到達T市車站，隨后步行回家，它妻子像往常同樣駕車前來，在半路上碰到他接回家時，發(fā)覺比往常提前了10分鐘。問他步行了多長時間？車站家5：30相遇早10鐘5分鐘5分鐘6：005：55共走了25分鐘。第35頁第35頁甲乙兩站有電車相通，每隔10分鐘甲乙兩站互發(fā)一趟車，但發(fā)車時間不一定相同。甲乙兩站有一中間站丙，某人天天在隨機時刻到達丙站，并搭乘最先通過丙站那趟車，結(jié)果發(fā)覺100天中約有90天到達甲站，僅約有10天到達乙站。問開往甲乙兩站電車通過丙站時刻表是如何安排？8:008:108:208:30甲至乙乙至甲xX-8:00=0:09x=8:098:098:19第36頁第36頁一男孩和一女孩分別在離家2km和1km且方向相反兩所學(xué)校上學(xué)，天天同時放學(xué)后分別以4km/h和2km/h速度步行回家。一小狗以6km/h速度由男孩處奔向女孩，又從女孩處奔向男孩，如此往返直至回到家中。問小狗奔波了多少路程？假如男孩和女孩上學(xué)時小狗也往返奔波在他們中間，問當(dāng)他們到達學(xué)校時小狗在何處？第37頁第37頁6某人由A處到B處去，途中需到河邊取些水，以下圖。問走那條路最近？（用盡也許簡樸方法求解。）dAB河第38頁第38頁思考題

思考題1長方形椅子穩(wěn)定性問題第39頁第39頁oxyABCD思考題1長方形椅子穩(wěn)定性問題表示A,B與地面距離之和表示C,D與地面距離之和則由三點著地，有ACABCD第40頁第40頁討論題1大小包裝問題在超市購物時你注意到大包裝商品比小包裝商品廉價這種現(xiàn)象嗎？比如潔銀牙膏50g裝每支1.50元，120g裝每支3.00元，兩者單位重量價格比是1.2:1，試用百分比辦法結(jié)構(gòu)模型解釋這種現(xiàn)象。（1）分析商品價格C與商品重量w關(guān)系。（2）給出單位重量價格c與w關(guān)系，并解釋其實際意義。第41頁第41頁提醒：決定商品價格主要原因