2010年全國入學(xué)統(tǒng)一考試數(shù)學(xué)二試題及解析

將（1）0——————————————（3）由（2（3）可得1。故應(yīng)選（A）2評評注：設(shè)y1,y2 ,ys是一階線性非齊次微分方程ypxyqx的解，則對于常k1k2 ks⑴若k1k2 ks1，則k1y1k2y2⑵若k1k2 ks0，則k1y1k2y2ksysypxyqxksysypxy0曲線yx2yalnx(a0相切，則a (B) (C) 【分析】利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義（切點處斜率相等）及兩條曲線都經(jīng)過切點可求得【詳解】設(shè)切點為(x0y0，則(x0y0yy y0alnx0由此可求得a2e。故應(yīng)選（C 2x0 1mln2(11mln2(1 n

dx僅與m取值有 (B)僅與n取值有(C)與m,n取值都有 (D)與m,n取值都無1mln2(1 1mln2(1 n【分析】考查兩類反常積分的斂散性。將 dx寫成2 dx n1mln21mln2(112n【詳解

1mln2(11mln2(11mln2(1 n1mln2(112n2 n2 1mln2(12 n

mln2(1nmln2(1n

2 由于f(x) 0n

xmn(x0

p ，則nmln2(1n 1mln2(1nlim(xp

)limxm0，由極限審斂法知：2 dx收斂1m1mln2(112n

mln2(1n1mln2(1n

n 2由于f(x) 0，lim(1x)2 lim(1x)2lnm(1x)0，由極

1m1mln2(112n

n xb）f(xlim(xapf(xl（lim(bxpf(xl）P10l時，瑕積 f(x)dx收斂ba設(shè)函數(shù)zz(xy)由方程Fy,z)0確定,其中F為可微函數(shù),F0x xzyz (B) (C) (D)y 【詳解】法一：方程F ,)0兩端微分得：F1d()F2d()0，從x F(xdyydxF(xdzzdx0dzyF1zF2)dxxF1dy xF zxF1

xxyyz。故應(yīng)選F ,法二：令W yz，則WF ,

yF

zF、W1F、W1Fx

x2

x x

zz從 xWzz

yW

xxyyz。故應(yīng)選 lim n

j1(n

j 0dx0(1x)(1y2

0dx0(1x)(1

0dx0(1x)(1

0dx0(1x)(1y2nn【分析】考查和的極限，用定積分定義求nn 【詳解】由于lim

lim(1

1)(1 n

j1(n

j

ni11

nj1

(j (lim1

1 1

)

1

1 dyn

i11

n

j11j

01x01((所以應(yīng)選（7）I:1,2,,r可由向量組II:1,2,,s線性表示,是(A)若向量組I線性無關(guān),r(C)若向量組II線性無關(guān),則r【分析】本題考查向量組的線性相關(guān)性

(B)若向量組I線性相關(guān),則r(D)若向量組II線性相關(guān),則r【詳解】因向量組I能由向量組II線性表示，所以

，r(1,2,,r）r(1,2,,s)若向量組Ir(1,2,,r)rrs.故應(yīng)選評注：評注：“若1,2,,r1,2,,r1,2,,srs這是線性代數(shù)中的一個重要定理，對定理熟悉的考生可直接得正確答案A4階對稱矩陣,A2A0A3,A

(B)

(C) (D)

【分析】考查矩陣特征值、特征值的性質(zhì)及實對稱矩陣的性質(zhì)【詳解】A2A0AAE0A3AE不可逆，從而A0,AE0，所以1021A的特征值。假設(shè)A的特征值，則20，則只能是0或1二、填空題：9-14小題，每小題4分，共24分，請將答案寫在答題紙指定位置上。3階常系數(shù)線性齊次微分方程y2yy2y0的通解為y 【分析】3階常系數(shù)線性齊次微【詳解】特征方程為32220，即(2)(21)0122,3i

yCe2xCcosx

sin y

x2

的漸近線方程 【分析】曲線只有斜漸近線，直接計算即可【詳解】函數(shù)的定義域是全體實數(shù)，于是不存在垂直漸近線又limyalim

2，blim(y2x)

2x)0y2x

x

x2函數(shù)yln(12x)在x0處的n階導(dǎo)數(shù)y(n)(0) 【分析】利用函數(shù)yln(axb)的高階導(dǎo)數(shù).寫出y(n)(x)，代入x0即可

an(1)n1(n【詳解】由于[ln(ax

(ax

(n)(2)n(1)n1(n (2x

y(n0)2n(n1)!當(dāng)0時,對數(shù)螺線re的弧長為 【分析】直接用極坐標(biāo)下的弧長計算2e【詳解】由弧2eS

r2()[r()]2d

e2e2d

2(e 已知一個長方形的長l2cms的速率增加,w3cms l12cm,w5cm時,它的對角線增加的速率為 【詳解】設(shè)t時刻長方形長為l(t，寬為(t2(t)2(t)22(t)2 S(t)(t)2(t)2

l

(t)(t)(t)

(t(t(t(t

3。2(t)2(t)2設(shè)A,B為3階矩陣,且A3,B2,|A1B|2,則|AB1| .【分析】本題考查矩陣的運算、行列式的性質(zhì)【詳解】

|AB1ABEB1(ABAA1)B1A(BA1)B1A|A1B||B1|32213。因此應(yīng)填3評注：也可以由評注：也可以由|A||A1BEABAB1|B得|AB1|三、解答題：15-23小題94分。請將解答寫在答題紙指定的位置上。解答應(yīng)寫出文字(本題滿分10分x2xf(x)

t)et2dt的單調(diào)區(qū)間與極值【分析f(x

2

【詳解f(x)

(x dtx

dt

dt f(x)2xx2et2dt2x3ex42x3ex42xx2et2dt x(,01fx(,01f000f由表可見函數(shù)單減區(qū)間為(1和(0,1(10和(1。f(1f(0)1tet2dt1(1e1) (10分比較1lnt[ln(1t)]ndt與1tnlntdt(n1, )的大小,說明理由 1記u lnt[ln(1t)]ndt,(n1, )求極限limu

n【分析】考查定積分性質(zhì)、分部積分法和定理。對(1)比較被積函數(shù)的大??；對用分部積分法計算積分1tnlntdt再 定理求極限0【詳解】(1)，由于t00ln(1t)t，所以0[ln(1t)]ntn0lnt[ln(1t)]ntnln從而由積分的保號性定理可得1lnt[ln(1t)]ndt1tnlntdt(n1, )(2)由(1)0un

1tnlntdt01tnlntdt1tnlntdt11lntdtn111ln n1

n11[(tn1lnt)11tndt] n

(n1又因為 20，從而 定理可得：limun01n(n

評注：若一題有多問，一定要充分利用前面提供的信息評注：若一題有多問，一定要充分利用前面提供的信息(本題滿分11分

x2tt2yf(x由參數(shù)方程y

t1(t2 5

d2y

2 6

，4(1【分析】本題是函數(shù)方程求解,綜合考查了參數(shù)方程表示的函數(shù)求一階、二d2 d2分方程求解.先 ，

可得關(guān)于(t的微分方程，進而求出

4(1【詳解

(2

2d2y

d22t)d

(1t)(t)dt(1

1(1t)(t)

(21(1t)(t)

(1(1t)(t)由題設(shè)可得

4(1t),

3, (t)3 1所以(t)3tC,由(16可得C0,故(t)3t,1 1(t)3t上式兩端積分得:(tt33t2C,由(1)5,得C0 綜上可得所求函數(shù)(t)t33t22(10分一個高為l的柱體形貯油罐，底面是長軸為2a，短軸為2b的橢圓。先將儲油罐平放3b時(如圖),計算油的質(zhì)量2（長度單位為m，質(zhì)量單位為kgkgm3【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系.

1MV，其中油的體積VlSS底S橢圓S1, y

1cos Sb 2cos2Sb 2cos2tdt2dt

S底S橢圓abab

3ab2ab

3 故Ml(2ab 3 (11分設(shè)函數(shù)uf(x,y具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),且滿足等式

5

0.ab的值,使等式在變換xay,xby下化簡為 【分析】考查多元抽象函數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù).x2xyy2 22ab u u 【詳解】xxx u u

yy

ab2u

2u 2u

) x 2 2

，2u

2u

2u

)

)

2 2 2

2a22ab

2

2u 2u

) y 2 2

a2(ab)b將以上式子代入

5

0(412a5a2

(812a12b

(412b5b2

412a5a2

a

b

0,須滿足812a12b10ab0,解得

2 a

412b5b2b

b

從而a,b的值為 2或 2b a 評注評注:本題實質(zhì)是求抽象函數(shù)的二階偏導(dǎo)數(shù),由于函數(shù)uf(x,y具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),其二階混合偏導(dǎo)數(shù)相等(20)(本題滿分10分Ir2D

1r2cos2drd,D(r,)0rsec,04 4 【詳解】D0x10yx,所Ir2D

1r2cos2D

1x2y211dx

1x2y2d(1x2y22 1

1 030

(1x2y2

xdx

3

[1(1x2)2 1

1

113 (1x22dx 2cos4tdt 3

3

324 ,即2n1n30sinxdx cosxdxn2n n0n1n3 n23(本題滿分10分f(x在閉區(qū)間[0,1(0,1f(0)0,f(1)13(0,),(,1f(f(22 [0,【詳解】由題設(shè)知F(x)f(x)1x3 [0,

日中值定理得：存在1

1(0,2

F()F

F()從而f()

[f()2

12又G(x)1x3 在

f3

[2得：存在

(2

G(212

G()

f() [ 1 1

f

合并（1）與（2）f(22f(f(f(22評注:對存在兩個不同點滿足某個關(guān)系式的問題,一般需通過構(gòu)造輔助函數(shù),日中值定理,(11分 1

設(shè)A0 0，b1已知線性方程組AXb存在兩個不同的解 求aAXb的通解【分析】本題考查方程組解的判定與通解的求法.2個不同解【詳解】(1)AXbrA)rA